2021届人教A版平面向量 单元测试

平面向量

一、单选题

1.已知点A(l,1),B(4,2)和向量。=(2,团，若方〃获，则实数2的值为()

23八23

A.--B.-C.一D.--

3232

【答案】C

【解析】

试题分析：根据A、B两点的坐标可得A8=(3,1),-：a//AB,.*.2x1-371=0,

2

解得2=—,故选C.

3

考点：考查了向量共线的条件.

点评：解本题的关键是掌握两个向量共线的条件，代入两个向量的坐标进行计算.

2.AA8C中，A(2,l),8(0,4),C(5,6),贝iJAg-4C=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出两个向量的坐标，利用数量积坐标公式得到结果.

【详解】

•••4(2,1),以0,4),C(5,6),

UUUUUU

A8=(-2,3),4C=(3,5)

UUUUU1U

•••AB-AC=-2x3+3x5=9

故选：c

【点睛】

本题考查数量积坐标运算，考查计算能力，属于基础题.

2

3.设)工=4,若“在〃方向上的投影为孑，且人在。方向上的投影为3,则“和人的

夹角等于()

【答案】A

【解析】

22

试题分析：若〃在〃方向上的投影为］,••.|4cose=§,匕在。方向上的投影为3,

/.|/?|cos^=3,

,.114I,I..cab1.c71

ci,h=4..1间1=—,/?—6..cos3——；~r——..8=—

3'l।\a\\b\23

考点：向量的数量积

4.已知向量a与人的夹角为30°,且忖=6,忖=2,则ab等于（）

A.2A/3B.3

C.V6D.G

【答案】B

【解析】

试题分析：aZ?=WWcos（a,b）=2x6x曰•=3,故选B.

考点：平面向量的数量积.

5.已知点。是ABC内部一点，并且满足2Q4+3O8+5OC=0，OAC的面积为鸟，

S.

ABC的面积为则于=

A.3B.3

108

24

C.-D.—

521

【答案】A

【解析】

2OA+3OB+50C=0，：.2（OA+OC）=-3（OB+OC）.

设AC中点为M,8C中点为N,则2QW=—3ON，

0M3

•:MN为ABC的中位线，且-----=一,

ON2

、313c5,3

••g§CMN=MsABC"皿，即厂方选A.

54

试卷第2页，总15页

6.已知向量Z=(x,l),b=(4,x),若五不=5,则x的值为()

A.1B.2C.±1D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可.

【详解】

解：向量1=(x,1),b-(4,x)>若五不=5，

可得5x=5,解得％=1.

故选：4

【点睛】

本题考查向量的数量积的坐标表示，是基本知识的考查.

7.已知向量。=(3,1),。=(2攵一1次)，且(a+b)_L力，则A的值是

122

A.-1B.一—或一1C.一1或一D.-

255

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量坐标的加法运算得到a+b=(2k+2,1+k),再由向量垂直关系得到方程

(2k—l)(2k+2)+k(l+k)=0,从而解得k值.

【详解】

向量a=(3,l),b=(2k-l,k),.-.a+b=(2k+2,l+k),

(a+b)±b,.•.(a+b)-b=O,则(2k-l)(2k+2)+k(l+k)=0,

即5k2+3k-2=0得(k一l)(5k+2)=0,得卜=一1或卜=1，

故选：C.

【点睛】

(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运

用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是

向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转

化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体

作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题;

②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

8.下列说法正确的是()

A.与向量A5(|A6卜0)共线的单位向量只有网

B.向量“与。平行，则”与。的方向相同或相反

C.向量A8与向量BA是两平行向量

D.单位向量都相等

【答案】C

【解析】

【分析】

由单位向量的概念判断A,D;利用平行向量判断B,C

【详解】

与向量AB(\AB\^O)共线的单位向量有±*-,故A项错误.因为零向量与任一向量

平行，因此，若〃与6中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故B项错误.因为向

量A8与区4方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确;单位向量的长度都相等，

方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同，故D项错误.

故选：C

【点睛】

本题考查单位向量的概念，考查平行向量的性质，是基础题

9.已知a=(-1,1)/=(1,0),则a在/，上的投影为()

A.显B.一立C.1D.-1

22

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用投影公式计算得到答案.

【详解】

试卷第4页，总15页

-1

4=(一1,1)/=(1,0),则a在上的投影为：W=T=-1.

故选：D.

【点睛】

本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影的理解.

10.在ABC中，AB=2,AC=3,ABAC=5>则BC=()

A.V3B.77C.272D.V23

【答案】A

【解析】

因为AB•AC=|A。cosAB,AC=\AB\|cosA=6cosA=5,

cos=-,由余弦定理可得：

6

BC?=4。2+482-24。-45©0$4=9+4-2乂2乂3><3=3,所以

6

BC=g，故选A.

考点：平面向量的数量积及余弦定理.

11.已知向量4=(24),/?=(-1,1),则2。一/?=()

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

【答案】A

【解析】

因为2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-l,l)=(5,7),故选A.

考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.

12.已知向量a=(3,4),a—26=(11,4),若向量a与向量分的夹角为。，则cos9=()

33C44

AA.-D—C.-Dn«----

5555

【答案】B

【解析】

试题分析：由于向量a=(3,4),a—2b=(ll,4),设6=G,y)，则a—强=6—2x,

4-2y)=(11,4),3-2%=11,4-2y=4,x=—4,y=0,则b=(―4,0),

a•b3x(—4)+4x0

所以cos0=选B

\a\'kl5x45

考点：平面向量的坐标运算

二、填空题

13.已知向量；=（1,2），向量/；=（3,-4），则向量£在向量「方向上的投影为.

【答案】-1

【解析】

向量a在向量b方向上的投影为讨=丁亨喜口=一1,故答案为-1.

14.中，M为线段OC的中点，AM交3。于点。，若AQ=九

【解析】

由DQM~BQ4可得：AQ=2QM

：.AQ=-AM=-xl（AZ）+AC）=-^D+-AC

332、>33

,2

A+//=~

r22

15.已知双曲线C：一■一与=l（a>8>0）的右焦点为F,过户且斜率为出的直线交

ab~

C于A、B两点,若A尸=4用3,则。的离心率为.

【答案】I

【解析】

【分析】

设A（玉,％）,B（x2,y2）,将直线的方程和双曲线的方程联立消元得出

,+%=芈丝，,必=二^7,由AE=4EB可得X=T%，这几个式子再结

*-3a2-b23a2-b2

试卷第6页，总15页

合-化简可得c=1a

【详解】

因为直线A8过点R(C,O),且斜率为G

所以直线A8的方程为：y=43(x-c)

x2y2

与双曲线二=1联立消去工,得

CT

y2+^^-b2cy+b4=0

设4(%,%),3(/,%)

2屉2c_-3b4

所以，+%

^^'"2二^7^

因为AF=4EB，可得

代入上式得—3%=名"

-3a2-〃力3a2_b2

4c3oo

消去％并化简整理得：-c2=-(3a2-b2)

36o

将〃=c2_/代入化简得：co2=—a2

解之得c=(a

c6

因此，该双曲线的离心率e=—=—

a5

故答案为：y

【点睛】

L直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横(纵)坐

标之和、积，然后再结合条件求解

2.求离心率即是求a与C的关系.

16.已知a=(l,l),Z?=(l,0),贝!J,一2目=.

【答案】V2

【解析】

由。_给=(-1,1)知卜一2*J(—l)2+F=0.

三、解答题

17.已知|之|二历|=1，W与与的夹角为120。，

求：（1）a*b;

⑵航-2之）*（4a+b）-

【答案】（1）awb=|a||b|cos^z~=

o乙

⑵（3b-21）•（41+b）=-8|a|2+10a-b+3|bI^-IO-

【解析】

试题分析：（1）（2）根据向量的运算性质计算即可.

解:⑴a,b=|a11b|cos-^z~=-4;

o乙

（2）（3b-2a）•（41+b）=-8|a|2+10a'b+3|bI^-IO-

考点：平面向量数量积的运算.

L兀

18.已知点。是ABC的外接圆的圆心，AB=3,AC=2。ZBAC^-.

（1）求外接圆。的面积.

（2）求BOBC

【答案】（1）彳57r；（2）5

22

【解析】

【分析】

（1）根据余弦定理求出BC.设外接圆的半径为「，由正弦定理得2r=,即

sinZBAC

求外接圆。的面积；

（2）设的中点为£,则EO_L8C，则8。-BC=（3E+E0）-BC,即可求出数

量积.

【详解】

（1）由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2AB-ACCOS^=32+（2何一2x3x2血x/=5，

：.BC=y/5-

试卷第8页，总15页

2r_BC:也R

设外接圆的半径为，由正弦定理得sin/BA。-0~

2

所以外接圆的面积为5=万产

（2）设BC的中点为E,则EO_L5C，

BOBC（BEEOBCBEBCEOBCBC2

=\+/]=+=-2=2-.

【点睛】

本题考查正、余弦定理和向量的数量积，属于基础题.

19.在平面直角坐标系xOy中，点4（-1,2）,3（4,3）,C（3,6）,

AP=AB+AAC（AeR）.

（1）试求实数％为何值时，点P在第二、四象限的角平分线上；

（2）若点尸在第三象限内，求实数力的取值范围.

7/、

【答案】⑴4=-3；⑵1）

O

【解析】

【分析】

（i）根据向量线性运算和坐标运算可求得（?P=（4+4/1,3+42）,由此得到P点坐标，

由点P位置可知4+4几=一（3+4/1）,进而求得结果；

（2）根据第三象限点的坐标的特点可构造不等式组求得结果.

【详解】

（1）由题意得:AB=（5,1）,AC=（4,4）

UUUUL11UUIU

QAP=AB+AAC

OP=QA+AP=QA+AB+XAC=OB+4AC=（4,3）+X（4,4）=（4+44,3+4/1）

.•.*4+443+44)

7

P在第二、四象限的角平分线上.-.4+4l=-（3F4）,解得：2=--

O

(2)由(1)知：P(4+42,3+4/1)

f4+4X<0

「在第三象限内八八，解得：2<-1

[3+4A<0

.../I的取值范围为(-8,-1)

【点睛】

本题考查根据点的位置求解参数值和范围的问题，关键是能够通过向量的线性运算和坐

标运算求出点的坐标.

20.已知向量满足国=|4=1,限+司=码。一码，伏wA且k/0).

(I)求用k表示。力的解析式/(%)；

(U)若向量“与匕的夹角是锐角，求实数k的取值范围；

(ni)当k>o时，求向量“与/7的夹角的最大值.

【答案】(I)/(&)=t^(AwO)；(n)伙k>0且+6且左。2—J§｝；(HD

4k

7t

T,

【解析】

【分析】

(I)对加⑨卜四4|两边平方，化简后可求得/仕)的表达式.(H)当向量a与

〃的夹角是锐角时，ab>Q，即土二〉0,k>Q,再排除同向时k的值，可

4k

求得k的的取值范围.(HI)利用配方法，结合二次函数的性质，求得cos。的最小值,

从而求得。的最大值.

【详解】

解：([)由已知,+同=网”一闽，得：|3+同2=(6,_,,，即

k2a2+2ka-b+b2=3a2-6ka-b+3k2b2，又同=1|=1,

Skab=2k2+2,:.a-b=，即工0).

(H)当向量a与8的夹角是锐角时，4包>0,由(I)可知a电=匚^>0.；.Z>0.

4k

又当向量a与b同向时，a-b=\a\-\h\,由(I)可知幺上1=1,.•.左=2±6.

11妹

试卷第10页，总15页

当向量a与人的夹角是锐角时，攵的取值范围是伙|女〉0且ZH2+G且左。2—石｝.

（III）设向量a与b的夹角是。，

0abk1+\1（ni\CiV

则cos"丽=b=土+r五）+2，

当&=J=,即％=1时，cos。有最小值上，

又0«64%且丁=3。在［0,句上单调递减，

ITTT

,此时。有最大值为。=不，即向量a与人的夹角的最大值为7.

【点睛】

本小题主要考查向量的运算，考查两个向量夹角为锐角时参数的取值范围的求法，考查

二次函数型函数求最值的方法，属于中档题.

21.在平面直角坐标系中，已知。为坐标原点，点4的坐标为（。,勿，点8的坐标为

（COS5,sinox）,其中〈/十〃且。＞0.设/（幻二以心从

（1）若。=百，b=l,3=2,求方程/。）=1在区间［0,2可内的解集.

（2）若函数/*）满足：图象关于点（：,（）］对称，在x=5处取得最小值，试确定。、

b和。应满足的与之等价的条件.

,（兀11兀5兀23兀1A—广

【答案】（1）解集为:“丁5，1~，合卜（2）见解析.

【解析】

分析：（1）由平面向量数量积公式、结合辅助角公式可得/（x）=2sin（2x+g］,令

（兀、］（兀、7E

sin2x+-=力，从而可得结果；（2）“图象关于点彳,0对称，且在尤=一处/（x）

it71Tn

取得最小值”.因此，根据三角函数的图象特征可以知道，---=~+-T,故有

3642

兀2兀2〃+1

—=--------

604

TT,

；.0=6〃+3,〃eN,当且仅当。=E,keZ时，/（x）的图象关于点对称;

37

此时a=0,［=±1,对b讨论两种情况可得使得函数/(x)满足“图象关于点(三,0)

对称，且在x=3处/(x)取得最小值的充要条件”是“b〉0,a=0时，0=12m+9,

6

meN；或当2<0。=0时，co=12m+3,mcN”.

详解：(1)根据题意/(x)=Q4・OB=/?sin5+acos5,

当。=百，b=l,G=2时,

/(x)=sinlx+V3cos2x=2sinf2x+(=1,nsin(2x+二

I3J2

TTTTTT5兀

则有2x+—=2E+—或2x+—=2R兀+—，keZ.

3636

717t

即工=&兀----或尢=女兀+一,keZ.

124

Ijriijr5冗237r

又因为工£［0,2可,故/(x)=l在［0,2兀］内的解集为，5

._____2兀

(2)解：因为/(司=。4。6=>/。2+。25m(8+。)，设周期丁=1.

因为函数/(x)须满足“图象关于点］,0)对称，且在x=弓处/(x)取得最小值”.

6

TTTtTn

因此，根据三角函数的图象特征可以知道，---=-+-7,

u一兀2兀2〃4-1

故有T=--------:一

6694

，3=6〃+3,neN,

又因为，形如〃x)=^a2+bhm(cox+^的函数的图象的对称中心都是/(x)的零点,

Tl、

故需满足sin-co+(/)=0,而当69=6/2+3,〃£N时,

13J

兀

因为§(6〃+3)+。=2〃兀+兀+。,neN；

所以当且仅当。=E,ZEZ时,

/.(X)的图象关于点泉0对称;

a

sin(/)-=0

此时，,

b

COS(/)=±1

J/+/

试卷第12页，总15页

b

tZ=0,777=±1

例

(i)当b〉0,a=0时，〃x)=s泳wx,进一步要使》=巴处/(x)取得最小值,

6

/X

71

则有/7=sin—­CD

(6

7

71兀

二.—co—2.kit—，故69=12k—3,kEZ.

62

又口＞0,则有刃=12攵—3,keN",

a)=6n+3,neN

因此，由《可得口=12m+9,tnwN.

①=12k-3,kGN

(ii)当。<0。=0时，f\x)^-sincox,进一步要使x=4处/(x)取得最小值,

6

兀、/、

则有/2〕=-sin.I71_,71._.

-co—1—co=ZKK+—69=12K；

6J(6)2

又口〉0,则有3=12攵+3,keN.

①=6n+3,neN

因此,由<可得啰=12m+3meN.

①=l2k+3,kGN

综上，使得函数/(X)满足“图象关于点对称，且在x处/(X)取得最小值

的充要条件"是“〃>0,。=0时，co=12m+9,meN；或当/?<0〃=0时，

CD=12m+3,msN”.

点睛：本题主要考查公式三角函数的图像和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利

______b

2

用该公式/(%)=asincox-^-bcoscox=y]a+/sin(s;+9)(tan^>=—)可以求

_2兀

出:①/(X)的周期T=L;②单调区间(利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求

得)；③值域(-正+b1a1+。2)；④对称轴及对称中心(由=A乃+:|•可

得对称轴方程，由(yx+e=z万可得对称中心横坐标.

22.(本题满分14分)设函数/(x)=mn,其中向量/n=(2cosx,l),

n=(cosx,5/3sin2x),XER.

(1)求/(x)的最小正周期与单调递减区间;

(2)在△ABC中，。、b、。分别是角A、B、C的对边，已知/(A)=2,b=l,

△ABC的面积为立，求一山一的值.

2sinB+sinC

【答案】(1)\-+k7T,—+k7T],k&Z;

63

⑵gc=2

sinB+sinC

【解析】

试题分析：(1)根据向量数量积的坐标运算以及二倍角公式、辅助角公式可得

/(x)—m-n—

re27r7i37r

2sin(2x+生)+1,故周期丁=’"=乃，再由三+2人乃＜2工+2＜二+2女乃，2£2,

62262

可得单调减区间为［三+版•，至+上乃］，左eZ；(2)由/(A