2021届人教a版（文科数学） 空间向量与 立体几何 单元测试

2021届人教A版（文科数学）空间向量与立体几何单元测试

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1、已知。=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是()

A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)

2、直三棱柱ABC—4B|G中，若场=久函=上工'=c,则“=()

A.a+b-cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c

3、若白，就｝是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）

A.a,2b,3cB.a+b,b+c,c+a

C.a+b+c,b+c,cD.a+2b,2b+3c,3a—9c

4、已知点A点,-2,11）,B（4,2,3）,C（6,-1,4）则三角形ABC的形状是（）

（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）斜三角形

5、如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2,

/ACB=90°,F、G分别是线段AE、BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为（）

送6B-46C*3D—喙3

6、如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是

2=（1,01）,万=（0,1,1）那么这条斜线与平面所成的角是（）

A、90°B、60°C、45°D、30°

8

7、若向量a=。，2，2）3=（2,7,2）,且］与后的夹角余弦为5,则N等于（）

A.2B.-2

2_2_

C.一2或55?D.2或55

8、已知平面a过点4(3,0,0),8(0,3,0),C(0,0,3),则原点。到平面a的距离为

()

A.3B.6C.也D.2百

9、已知£=(4+1,0,24),B=(6,2"—1,2),£〃反则尢〃的值分别为()

A.一,-B.5,2C.—,D.-5,-2

5252

10、已知向量。=(1』，°),则与［共线的单位向量3=()

(一也一也0)

A.2'2')B.(°，L°)

J272

C.(彳亍。)D(1,1,1)

11、下列命题中不正确的命题个数是()

①.如果。，反守共面，瓦如［也共面，则第瓦共面;

②.已知直线a的方向向量G与平面a,若汗〃a,则直线a〃a；

③若尸、M、A、8共面，则存在唯一实数使砺=为的+)，砺，反之也成立；

④.对空间任意点0与不共线的三点A、B、C,若加=x^+y砺+z玩

(其中x、y、zeR),贝l］P、A、B、C四点共面

A.3B.2C.1D.0

12、已知A(l,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为()

A.(-7,10,24)B.(7,-10-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)

13>已知a=3m—2n—4p,b=(x+l)m+8n+2yp,其中bWO且m,n,p两两不共

线，若2〃匕则实数x,y的值分别为.

14、若3=(0,1,—1)石=(1,1,0)且［+忘)，3,则实数几的值是.

15、已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA_L平面ABC,则点P的

坐标为.

16、已知向量Q=(0,-1,1),ft=(4,1,0),|而+耳=而且4>0,则

A—.

17、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的

两点为起点和终点的向量中.

(1)单位向量共有多少个？

(2)试写出模为小的所有向量.

(3)试写出与加相等的所有向量.

->

(4)试写出AA1的相反向量.

18、已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1)求以AB和后为邻边的平行四边形的面积；

⑵若|a|=4,且a分别与京,AC垂直,求向量a的坐标.

19、如图，46(力是块矩形硬纸板，其中4斤2/庆2&,£为火中点，将它沿4£折

成直二面角D-AE-B.

(I)求证：平面BDE；

(II)求二面角6-力。-£的余弦值.

20、如图，在三棱锥户一/a'中，ABVBC,AB=BC=

kPA,点、0、〃分别是%的中点，底面力6C.

(I)求证：0〃〃平面为8；

(II)当左=工时，求直线均与平面府所成角的大小；

2

(III)当在取何值时，。在平面胸内的射影恰好为的重心？

21、如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为乙

(1)求正方体各顶点的坐标;

(2)求A'的长度.

22、如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABCD为菱形，NBA。=60°,Q是AD的中

点.

(I)若PA=PD,求证：平面PQBJ_平面PAD；

(11)若平面APD,平面ABCD,且B4=PD=A£>=2,点M在线段PC上，试确定

点M的位置，使二面角M-8Q—C的大小为60°,并求出名的值.

参考答案

1、答案B

利用向量共线定理即可得出.

详解

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解：若方=(-4,6,-2),则b=-2(2,-3,1)=-2%所以a〃瓦

故选：B.

名师点评

本题考查空间向量共线的充要条件，熟练掌握向量共线定理是解题的关键.

2、答案D

要表示向量福，只需要用给出的基底ab,C表示出来即可，要充分利用图形的直观

性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算.

解答：解:4月_AjA+AB=—OCj+CB—CA

=-a+b-c

故选D

3、答案D

根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进

行判断即可。

详解

对于4:2,2瓦32,B:R+Mb+/+2,C:怎+5+2石+工£,每组都是不共面的向量，能构成空

间的一个基底，

对于0：a+232日+3c,3a-9c满足：

3a-9c=3[(^+2b)-(2b+3^],是共面向量，不能构成空间的一个基底，

故选D

名师点评

本题主要考查了向量的相关知识，考查了空间向量共面的判断与应用问题，熟练掌握向

量基底的定义以及判断条件是解题的关键，属于基础题。

4、答案A

5、答案A

6、答案B

7、答案C?

1=(1以2)万二(2,7,2)

8、答案C

9、答案A

由题意得，a//b,所以Z=即(/1+1,0,2/1)=X(6,2M—1,2),解得a=；,“=(,

故选A.

考查目的：空间向量的运算.

10、答案AC

根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法，网，即可求出.

详解

设与z共线的单位向量为工,所以力工,因而卜卜㈤=凶，得到'=±忖.

e=±TTn"<.____—^25/2—^2-

\a\a=Vi+T=V2e=(-^-,~y,O)、e=(--—,---,0)

故।।,而"，所以22或22

故选：AC.

名师点评

本题主要考查单位向量的求法以及共线向量定理的应用.

11、答案D

不妨令5与e共线，a与5不共线，4与2不共线，满足反反c共面，瓦机I也共

面，但。，瓦口，不一定共面，故①不正确；已知直线。的方向向量a与平面a,若G//2,

则直线a//a或aua,故②不正确；不妨令M,A,3三点共线，点尸史AB,则不存在

实数使旃=》词+>碗成立，故③不正确，由共面向量基本定理的推论，可得

对空间任意点。与不共线的三点A8,C，若。户=xC4+y丽+zOC(其中

x+y+z=l),则P,A,8,C四点共面，由于缺少条件+x+y+z=\,故④不正确，正

确的命题个数是0,故选D.

12、答案D

根据1=(-3,4,12),且AB=2「，可得&的值，同时已知A(l,-2,0),可得B的坐标.

详解

解：•••a=(-3,4,12),且AB=2a,AB=(-6,8,24),

•••A(l,-2,0),•••B=(-6+l,8-2,24+0)=(-5,6,24),

故选D.

名师点评

本题考查空间向量的数乘运算，是一个基础题，解题的关键是牢记公式，在数字运算的

时候要细心.

13、答案一138

因为a〃b,

所以3m—2n—4p=X[(x+l)m+8n+2yp]

所以x(x+1)=3,8入=—2,2y入=-4,

所以x=-13,y—8.

14、答案一2

15、答案(T,0,2)

根据题意算出反，的，前的坐标，由PA,平面ABC得

P^1京且反1■京，建立关于x、y的方程组，解之即可得出点P的坐标.

详解

由题意得加(-x,1,-z),AB=(-1,-1,-i),AC=(2,0,1),由PX1京，得PX-ALXT+Z=0,

由PAlAb,得pX-Ab=_2x-z=0,解得iz=2.故点P的坐标为(T,0,2).

名师点评

本题给出点A、B、C的坐标，在PA_L平面ABC的情况下求点P的坐标.着重考查了空间

向量的坐标运算、向量语言表述线面的垂直与平行的关系等知识，属于基础题.

16、答案3

(龙+B)2=29,化简得：^a2+2Aab+b2=29,代入坐标运算，

22(O2+(-1)2+12)+2/1(0X4-1X1+1X0)+42+12+O2=29,22-A-6=0,(2>0),

解得：4=3.

考查目的：1.空间向量的坐标运算；2.模的运算

17、答案:：(1)根据定义模为1的向量即为单位向量(2)在长方体中求出对角线长为

由，即可写出所求向量(3)根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出(4)大小相

等，方向相反的向量即为相反向量.

详解

(1)模为1的向量有A1A，AA1，B1B,BB],C£CC1，D1D,DD1,共8个单位向量.

(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为小,因此模为小的向量为AD1，D1A,A1U

DA],BC],C]B,B]C,CB]

->->->

(3)与向量6B相等的向量(除它自身之外)为A[B],DC及D]C].

(4)向量AA1的相反向量为AIA,BIB,C]C,D]D

名师点评

本题主要考查了向量的模，相等向量，相反向量，及向量的相等，属于中档题.

18、答案⑴7&(2)a=(1,1,1)或(-1,-1,-1)

试题分析：(1)先写出两边表示向量坐标，再由向量夹角公式求角A的余弦值，由同角

关系求角A的正弦值，再由面积公式可求解。(2)设；=(x,y,z),由向量垂直则数量积为

0,待定系数法求得向量a坐标。

详解

(1)由题中条件可知,舱=(-2,-1,3),人工(1,-3,2),

ABAC-2+3+61

所以cos〈融辰>=|AB||扇麻用2

于是sin<AB,AC>=2.

故以血和后为邻边的平行四边形的面积为

S=|AB||AC|sin<AB,AC>=i4X2=7亚

,222c

x+y+z=3,

-2x-y+3z=0,

(2)设a=(x,y,z),由题意得x-3y+2z=0,

(X=1,rX=-1,

y=1,或卜=-1,

解得|z=l(z=-1.

故a=(l,1,1)或a=(-l,T,T).

名师点评

-»T

-♦->a•b-»-♦

COS<a,b>=-------—<a,b>6[0,n]

求平面向量夹角公式：Ia「|b|，若,二名必七沈二与丛马)，则

「xz+yM+zR-

cos<a,b>=,——,：,<a,b>e[0,n]

x2+2+z2x2+2+z2

JiyiiJ2v22o

19、答案(I)证明：由题设可知AD,DE,取AE中点0,

连结0D、BE,VAD=DE=V2,A0D1AE,

又•.•二面角D—AE—B为直二面角，

.♦.0口_1_平面ABCE,AODIBE,AE=BE=2,AB=2a,

.*.AB2=AE2+BE2,AE±BE,0DnAE=0,，BE，平面ADE,

.'.BELAD,BECDE=E,，AD_L平面BDE.

(II)取AB中点F,连结OF,则OF〃EB,...OF_1_平面ADE,

以0为原点，0A,OF,0D为x、y、z轴建立直角坐标系(如图)，

z

贝0,0),D(0,0,1),B(—1,2,0),AD=(-1,0,1),BO=(l,-2,1),

设m-(x,y,z)是平面ABD的一个法向量，则/n•BD=0,

m-AD=0,<X2)+z。取x=i,则y=l,z=1,则加=(1,1,1),平面ADE的法向

-x+z=0

量而=(0,1,0),cosd=藐•而_]_V|

'|m||OF|1-V33

(I)V0>D分别为AC、PC的中点：，0D〃PA,又PAB平面PAB,

，0D〃平面PAB.

(II)VABlBC,OA=OC,.*.OA=OC=OB,又•.•OP_L平面ABC,，PA=PB=PC.

取BC中点E,连结PE,则BC_L平面POE,作0F1PE于F,连结DF,则()FJ_平面PBC

ZODF是0D与平面PBC所成的角.

又0D/7PA,APA与平面PBC所成角的大小等于NODF.

在RtaODF中，sinN0DF=427r

.•.PA与平面PBC所成角为arcsin

(III)由(II)知,0FL平面PBC,...F是0在平面PBC内的射影.

YD是PC的中点，若F是APBC的重心，则B、F、D三点共线,直线0B在平面PBC内的射

影为直线BD,VOB±PC.APC1BD,/.PB=BC,即k=l..反之,，当k=l时,三棱锥O-PBC为正

三棱锥，二。在平面PBC内的射影为APBC的重心.

解法二：

：(^，平面ABC,OA=OC,AB=BC,AOAIOB,OA±OP,OB1OP.

以0为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系0-xyz如图），设AB=a,则A（。a,0,0）.

B(0,0a,0)，(-0a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).

I)D为PC的中点

PA=(—a,0,-//),OD=一一所,而〃PW,...OD〃平面PAB.

22

(H)：k=g,则PA=2a,.•.h=0,.•.闪=(等可求得平面PBC的法向量

-(\1-、PA-nJ210

n=(1,-1,-,口/-)、,..cos(PA,n)=——=-----.

V|PA||n|30

—■-J210

设PA与平面PBC所成角为9,刚sin0=|cos(PA,n)=-----.

30

PA与平面PBC所成的角为arcsin由3.

30

(HI)APBC的重心G(--a,—：.OG=(-

663663

•.♦0GL平面PBC,.•.说_L而,又而=(0,也兄一力)，；.OCPB=-a2--h2=0,

263

：.h=—a,：.PK=y]o^+lr,即k=l,反之，当k=l时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.

2

AO为平面PBC内的射影为APBC的重心.

21、答案(1)详见；(2)2根

试题分析：(1)根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标；(2)要求空间中两点的距离,

可直接利用空间两点的距离公式=+(丫1一丫29.七一Z2产求解出来.

试题(1)正方体各顶点的坐标如下：

A](0,0,0),Bi(0,2,0),Ci(2,2,0),D](2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,2),C(222),D(2,0,2)

⑵解法-：子|=闪？77=2也

解法二：=2向