多维随机变量

#第章多维随机变量3.13.2(1)了解多维随机变量及其分布函数的概念，理解二维随机变量的联合分布(分布函数，概率分布，概率密度)和边缘分布的概念与性质及它们之间的关系，并会用以求解具体问题。(2)了解二维随机变量的条件分布的概念及计算，了解密度函数、边缘密度函数和条件密度函数的关系。⑶理解随机变量独立性的概念，并能熟练运用独立性解决具体问题。(4)了解二维随机变量的函数的概念，会求两个独立随机变量的常用函数的分布，记住几个常用分布的和函数的分布。3.31)二维随机变量的分布函数：(1)定义：二维随机变量&E)的联合分布函数F(x,y)口P比Vx,n<y｝。(2)性质：①F(x,y)是单调不减函数：>ynF(x,y)>F(x,y),F(x,y)>F(x,y)；1 2 1 2 1②F(x,y)是有界函数：0WF(x,y)<i且8,y0；F(8,8)=1,F(8, 8)=F8,y0；③F(x,y)是右连续的：F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)。④Vx>x,y>ynF(x,y)+F(x,y)>F(x,y)+F(x,y)2 12 1 2 2 1 1 2 1 1 2

2)二维随机变量的边缘分布：若二维随机变量&E)的联合分布函数为F(x,y),则化内)的边缘分布函数为F(x)-F(x,+8)=limF(x,y),F(y)-F(+8,y)=limF(x,y)。1 nyf+8 1 xf+83)二维离散型随机变量：所有可能取值为有限多对或可列无穷多对的二维随机变量称为二维离散型随机变量。ij⑵化,n)的边缘分布:iji=1j=1(iij⑵化,n)的边缘分布:iji=1j=1(i-1,2,…)p化-x}-p{1-x,n<+8}-{p(i-1,2,…)i i ijP{n-y}-P{n-y}-p化<+8,n-y}-£ji-1Pij(j-1,".)⑶化,n)的条件分布:n-y下工的条件概率分布jP{之-x,n-y}Pt-xn-y}- i———i1j P{n-y}j匕-x下n的条件概率分布ij=1，2，•P{1-x,n-y}

P{n-yj=1，2，•ji P{己-x}i4)二维连续型随机变量(1)定义：设二维随机变量化,n)的分布函数为F(x,y)，若存在非负函数9(x,y)，使对

一切实数x,y成立F(x,y)=fxfy①(x,y)dxdy_g_g则称&,n)为二维连续型随机变量，①(x,y)称为&,n)的联合概率密度函数。(2)性质:(2)性质:②「J+s3x,y)dxdy=1；一g-sd2F(x.y)③在①(x,y)的连续点处有———-=①(x,y)d.xdyy④尸{(1，n)£G}=ffp(x,y)dxdy,G为xOy平面上的区域。G边缘分布:「834,y)dy,①(y)=卜力(4,y)dx。一g一一g(4)条件分布:(4)条件分布:①条件分布函数:fx①(x,y)dxn=y下m的条件分布函数为Fn(x|y)二一①⑴一，n1y3x,y)dy&=x下n的条件分布函数为F(y\x)二一———试 q(x)②条件分布密度:n=y下工的条件概率密度为.卜(xy)二己二x下n的条件概率密度为①|(y|x)="斗q(x)5)随机变量的独立性(1)定义：若二维随机变量(己,n)的联合分布函数等于边缘分布函数的乘积，即F(x,y)=F(x)F(y)

&n则称m与n是相互独立的。同样对n维随机变量化,己，…,己)，若有1 2nF(x,x,,x)=Hf(x)

1 2 n 自.ii=1•••成立，则称匕工，工是相互独立的。1 2 n(2)判别方法：…离散型随机变量匕与n相互独立oV(x,y),P{匕=x,n=y}=P{^=x}P{n=y}。.j .j . j连续型随机变量匕与n相互独立o①(x,y)=Q(x和(y)自n6)随机变量函数的分布(1)和g=己+n的分布:①卷积公式：化,n)是连续型随机变量，其概率密度为中(x,y)，则g的概率密度,(z)=当匕与n相互独立时有f+M9(x,z—x)dx=f+M9(z—y,y)dy一g一g中(z)='中(x)9(z—x)dx』+再(z—y)9(y)dyg 己n 己 n—^ —^②当匕与n相互独立时，有下列结论：若m~吗,P必~励2M)，则gY+n~b(n1+n2,P)；若工~P(~加~P氏)，则gY+n~P(~十^；若工~N(了12)，n~Ng。；)，则0n~N(/112+o；)；更一般地，若工〜N(R,o2),(i=1,2, ,n)且相互独立，c(i=1,2, ,n)是常数，则i ii i工自iii=1c202)

iii=1 i=1也就是说，服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布。(2)U=max比,己,,己｝,V=min比,己,,己｝的分布:

1 2 n 1 2 n设32,工n相互独立,则随机变量UJV的分布函数分别为F(x)=Hf(x),F(x)=1—H(1—F(x))UqV qi=1 i=1特别地,如果连续型随机变量马q2,,qn独立同分布，q的分布函数和概率密度分别F(x)=[F(x)],F(x)=[F(x)],F(x)=1-11—F(x)]U VnI-F(x)[t叭x)①(x)=n[F(x)[-1叭x),nI-F(x)[t叭x)U V3.4、判断题(对用“+”，错用“-").设二维随机变量值,n)的联合分布函数为F(x,y)，则F(x,y)=尸化<x,n<y}=1-尸比>x,n>y}。.设二维随机变量值，n)的联合分布函数为F(x,y)，则P[x<&<x,y<n<y}=F(x,y)-F(x,y)。.二维连续型随机变量化,n)的边缘概率密度为p(x),p(y)，若己与H相互独立，则其联合g口TOC\o"1-5"\h\z概率密度p(x,y)可分解为p(x,y)=p(x),p(y)。 ( )自 口.设己与「的概率密度分别为p(x),p(y)，而p(x,y)=p(x)p(y)+f(x,y)g 口 g口是随机变量(1，n)的概率密度，则f(x,y)>-p(x)p(y)且卜小sf(x,y)dxdy=0。( )gn -s-s.设随机变量g与n相互独立，它们的概率分布分别为g-1g-11p1122则P{g=n}=1。6.设(g,n)的概率分布为V01n\03310101311010则g与n相互独立。n-11p1122.设化E）的概率分布如上题所示，则在1=1的条件下，”的条件概率分布为n|[=101p3144.在第6题中，U=己+”的概率分布为U012p3104103 。10min（t,n）的概率分布为V上1P一。9.在第6题中，V=10.若化E）的联合概率密度e-(x+y) x>0,y>00其他则:与“相互独立。1已知^1，X2， ，*.独立且服从于相同的分布F（X），若令TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"H=max(X,X；..,X)，则F(X)=Fn(X)。1 2 n n.匕与n相互独立，工服从0-1分布，n服从普阿松分布，则1+n是离散型随机变量。（ ）.设G、n是两个随机变量，则t+n是二维随机变量。 （ ）二、填空题.设二维随机变量化,n）的联合概率分布为则p{tn=。}=.设二维随机变量化,n）的概率密度

e-y 0<X<J0其他而n的边缘密度为①（y），则①（2）=n n.设二维随机变量值,n）的概率密度为10<X<1,0<y<1其他则概率P&<0.5,n<0.6}=.设二维随机变量值,n）的概率密度为4xy0<x<1,0<y<1其他,P比=n}p化<n}=5.设随机变量5.设随机变量己与n相互独立，其概率分布为11-11pn-1Pb则a则a=，b=，P{1=n}=6.已知随机变量1,n的联合概率分布为则当s则当s=，t=7.设相互独立的随机变量7.设相互独立的随机变量1,n的联合概率分布为贝"P二一,P二一,P=—，P4=一，P5=一夕二一，P88.若己8.若己，n相互独立，已知m〜U（0,2）n〜N（1,1），则色,n）的联合概率密度9.若己9.若己，n独立同分布，已知己〜E（2）则&，n）的联合分布函数F（九y）=io.设相互独立的两个随机变量己、n具有同一概率分布，且己的概率分布为1|o1~P~0.50.5，则C=max&，n｝的概率分布为11.设己，己相互独立，均服从0-1分布，且P&=1｝=P&=1｝=0.6，则TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 2n=min义工｝的概率分布为。1 2.设相互独立的两个随机变量看与n具有相同的分布，且看的概率分布为m-1 1 2~P-020.20.6则随机变量c=max&2，n2｝的概率分布为。.设工〜N（1，2），n〜N（0,3），C〜N（2，1），且工用工相互独立，则P｛0<24+3«<6｝=三、选择题.设己，n为随机变量，则事件也<1，n<1｝的逆事件为（）.（a坨〉1，n>1｝； （b坨〉1，n<1｝；（c用<1，n>1｝； （d坨〉1｝u1>1｝.（A）联合概率分布;p=尸化=%，n=y｝（，，j=1，2，）是离散型二维随机变量&，n）的（）。j i （A）联合概率分布;,（B）联合分布函数；

(C)概率密度； ①)边缘概率分布..设随机变量值,n)的分布函数为F(x,y)，其边缘分布函数F(x)是()。g(A)limF(x,y);(B)limF(x,y);(C)F(x,0);(D)F(0,x).yT-0 yf+8TOC\o"1-5"\h\z.设随机变量&R)的分布函数为F(x,y)=A(arctanx+B)(arctany+—),则A,B的值2 32分别为( )。/A、1—f、12 /…、1 — /c、1―(A )—丁 ； (B) ,—; (C )— -,- ;(D )—耳 .―2 —2— —4 —22.设随机变量g与n相互独立，服从相同的分布：g0 1n0 1P0.40.6 P\0.40.6则下列结论正确的是( )。(a)p{g=n}=0; (b)p{g=n}=0.5;(c)p{g=n}=0.52; (d)p{g=nl=1.6.设二维随机变量（6.设二维随机变量（g,n）的联合概率分布为b的值分别为（）。(A)a=—,b=—; (B)a=—,b=—;6 3 2 2(C)a=—,b=—; (D)a=—,b=—.3 6 4 4.随机变量g与n服从相同的分布，则()。(a)必有g=n；(B)对每个实数a,P{g<a}=P{n<a}；（C）事件｛g<a｝与事件｛n<a｝不相互独立；（D）只对某些实数a，事件｛g<a｝与事件｛n<a｝相互独立。.分布如下的二维随机变量中，g与n不相互独立的是（ ）。

9.设9.设m〜N(1,3),9〜N(1,3),且看与n相互独立，则5+n〜( )。(A)N(2,8)；(B)N(2,6)；(C)N(1,18)；(D)N(2,18).10.设己与9是相互独立的随机变量，且己〜N(0,1),9〜N(1,1)，则( )(A)P{己+9<0}=P{己-9V0}； (B)P{己+9V1}=P{己一9V1}；(C)P{己+9<0}=P{己―9<1}； (D)P{己+9<1}=P{己一9<-1}..设随机变量m与9相互独立，且均服从标准正态分布 ，则下列正确的是（）。(A(A)P{^+9>0}=4；(C)p{max化E)>0}=4；(B)P{m-9>0}=L4(D)P{min化,9)>0}=L4.设匕与9独立同分布，匕~UQD，令。巷+92（z）为。的概率密度，则）。13.已知随机变量m和9相互独立（A）0； （B）2； （C）|；13.已知随机变量m和9相互独立其分布函数分别为F（x）与F（y）,则随机变量g0=max&0=max&9的分布函数Fz）等于（）。(A)max{仁z),勺(z)}；（B）仁z）勺（z）；(D)仁z)+F(z)-仁z勺z).3.52b+2―；6」心5 3 15 1015一■、1.-；2.-；3.+；4.；5.-；6.-；7.+8.-；9.+；2b+2―；6」心5 3 15 10150.7；2.2e-2；3.0.3；4.竺01；5.3/5,1/3,64,‘27.241311311,77,,,,,;8.9(%,y)=<12844423 "0<%<7.241311311,77,,,,,;8.9(%,y)=<12844423 "0<%<2,-8<y<+89.11.P5=1}=0.36,P5=0}=0.64；12.—P13.①(1)-①(0)=0.3413。、1.D；2.A；3.B；4.D；5.C；6.C;7.B；(01P0.250.75其他14)%N0,y20；10其他0.16 0.848.D；9.B；10.D；11.D；12.B；13.B。3.6例 口袋内有个球，分别标有号码12345从这个口袋中任意取出个球，设—取出球中的最大号码，n是取出球中的最小号码，求(—,n)的二维联合概率分布。解—可能取的值为，，5n可能取的值为，，。从个球中任取个球，共有C；种取法。取到球的最大号码为，・，最小号码为人相当于先取个号码为i的球和个号码为j的球，再从号码小于i大于j的i-j-1个球中取个球，有a。c1种取法。所以—=i，n=j的概率为1i-j-11, C1C1C1 C1P{—=i,n=j}=1匚j-11=i-j-1 (i=3,4,5；j=1,2,3)。C3 105将i=3,4,5和j=1,2,3代入上式，并注意到当m>n时有Cm=0,便可求得nP{—=3,n=1}=与=o1，P{—=3,n=2}二%=0,P{—=3,n=3}=g=0,10 10 10

P{1=4,”=1}=需=0.2,P也=4,"=2}=余=0.1,P{1=4,"=3}=余=0,P{匕—5,"=1}=^-3-=0.3,P{1=5,"=2}=^-2=0.2,P{匕—5,"=3}=―^=0.1。10 10 10所以&,n）的联合概率分布为"X12330.10040.20.1050.30.20.1例 设二维随机变量&,"）具有联合概率密度/ 、IAe-2(x+y) x>0,y>0。试求：（）常数A；叭。试求：（）常数A；I0其他（）心,"）的分布函数F（x,y）；（）心,"）落在图 中区域D内的概率。图3-2图3-2解()因为1=f+8f+8^(x,y)dxdy=f+8f+8Ae-2(x+y)dxdy-8-8所以A=4。心,"）的联合概率密度为4e-2(4e-2(x+y)0x>0,y>0

其他（）化,n）的分布函数F(x,y)=fx5①(（）化,n）的分布函数F(x,y)=fx5①(u,v)dvdu_g_g00fxfy4e-2(u+v)dvdu(1一e-2X)(1一e-2y)0x>0,y>0

其他x>0,y>0

其他（）d,n）落在区域d内的概率p4e-2(x+y)dy(f1-x2e-2ydyjdx二=f12e-2x0f12e-2x(-e-2y)1-xdx0 0—fi2e-2x(1—e-2+2x)dx—f1(2e-2x-2e-2)dx—(-e-2x-2e-2x)1―1-e-2x-2e-2x0例袋中有个白球，个红球，每次从中任取一球，共取两次。设己、n分别是第一次、第二次取出的白球数，即0第一次取到的是红球0第一次取到的是红球1第一次取到的是白球0第二次取到的是红球1第二次取到的是白球°求化,求化,n）的联合概率分布及边缘概率分布，（）有放回取球（每次取球后仍放回）；（解（）有放回取球。一一一33一一一P{己=0,n―0}=5x——0.36J 2 3尸凭=1,n=0}——x——0.24考虑下列两种情况：）无放回取球（每次取球后不放回）。一一 一32一…,P{g=0,n=1}——x——0.24,~ . 一 22一一,尸{m=1,n=1}——x——0.16°&,n）的联合概率分布及边缘概率分布为,()无放回取球。P｛己,()无放回取球。P｛己=0R==0.3,一一23一一P{己=1R=0}=5x—=0.3尸{己=1R=1}=5x4=0.1。&R)的联合概率分布及边缘概率分布为在上面这个例子中，我们可以看到，“有放回取球”和“无放回取球”这两种情形，己，n的边缘概率分布是相同的，它们的联合概率分布却是不一样的，由此可见，联合分布可以唯一地确定边缘分布，而边缘分布却不能唯一地确定联合分布，即对单个随机变量己，n的研究，并不能代替对二维随机变量&,n)的整体研究。例 设二维随机变量&,n)具有联合概率密度, 、 [Ae-2(x+y)x>0,y>0叭x,y)=(10其他试求：二维随机变量d,n)的边缘概率密度9(x)和①(y)。匕n解9(x)」》(x,y)dy/14e-2(x+y)dyx>0二色-2->0，&-s I/。 x<0〔0x<0小/、f+s W+X4e-2(x+y)dxy>012e-2yy>09(y)=J9(x,y)dx=VJ0 J=V 。n-s I0 0y<0〔0y<0例 设&,n)的概率密度为①(羽y)=%0,X2+y2<1

其他求化,n)的边缘概率密度9(x)和①(y)。匕 n解2nli一x2一1<x<1=1k0其他_勺匚7-1<y<2nli一x2一1<x<1=1k0其他_勺匚7-1<y<1二、兀o其他当f 0其他zx 「+// w J'1一^—dx-1<y<19(y)=J9(x,y)dxJ力兀 )n- yo 其他在上例中，&,n)可以看作是落在圆心为(0,0)半径为的圆盘q中的一个点，它在该圆盘区域中服从(二维)均匀分布，即在圆盘q中的概率密度为常数，在圆盘q外的概率密度为0。也就是说，它的概率密度可以写成下列形式：c(x,y)eQ0其他1"『^『口9(x,y)dxdy=JJcdxdy=cS(S是区域Q的面积)—QQQ一口 1可得c=--SQ由于圆盘q的面积S°二兀，所以化，n)的概率密度函数为1 . 八一，x2+y2<1兀0,其他虽然化,n)的二维联合分布是均匀分布，但是它的边缘分布却不是均匀分布。

所以，在g=4条件下，n的条件概率分布为n1 2 3P{n=yjg=4}2 1 八- - 03 3例例中，已求得&,n）的联合概率分布，容易求出它的边缘分布如下:（）在己=4条件下，n的条件概率分布。p{己=31n—1}例例中，已求得&,n）的联合概率分布，容易求出它的边缘分布如下:（）在己=4条件下，n的条件概率分布。p{己=31n—1}二p{^=3,n―1}_0.1_1P{n=1}砺―6p{己=41n=1}=p化=4,n=1}0.21P{n=1}0.6p化―5in=1}=p化=5,n=1}_0.3_1P{n=1} 06—2g3 4 5p{g=xn=1}1 1 16 3 2所以，在n=1条件下，己的条件概率分布为p{n=1ig=4}=,P化=1,n=4}_0,2_2P{g=4} 03-3P{n=2ig=4}=P{g=2,n=4}_0,1_1""P{g=4} 03—3p{n=31g=4}=P{g=3,n=4} 0P{g=4} 0.3例 设二维随机变量&,n）具有联合概率密度4e-4e-2(x+y)0x>0,y>0

其他可求得它的边缘概率密度为2e-2e-2xx>00x<02e-2yy>00y<0在n=y（y>0）条件下己的条件概率密度k（x1y）；在己=x（x>0）条件下”的条件概率密度%（y।x）。4e-2(x+y) =2e-2x2e-2y，=02e-2y%(y%(yIx)=.=]

值 Q(x)4e-2(x+y) =2e-2y2e-2x，=02e-2x例设&,n）的联合分布函数为(e-x+1)(e-y+1)问&，n是否相互独立?解F(解F(x)=F(x,+8)=工limF(x,y)=limy-+(»(e-x+1)(e-y+1)F(y)=F(+8,y)=limF(x,y)=limn x.内 x-+»(e-x+1)(e-y+1)因为(e-x+1)(e-y+1)所以&，n相互独立。例例中，对于第一次取出的白球数己和第二次取出的白球数n,已经求得:（）有放回取球时，&,n）的联合概率分布和边缘概率分布为（）无放回取球时，色,n）的联合概率分布和边缘概率分布为在这两种情况下，分别考虑己与n是否相互独立。解（）有放回取球时，因为尸化=0,n=0}= 0.36=0.6X0.6 = P{^=0}P[n=0}，P{^=0,n=1}= 0.24=0.6x0.4 = P{^=0}P{n=1}，P七=1,n=0}= 0.24=0.4X0.6 = P也=1}P{n=0}，P{^=1,n=1}= 0.16=0.4X0.4 = P也=1}P{n=1}，所以，己与n相互独立。（）无放回取球时，因为P{m=0,n=0}=0.3中0.6X0.6=P{m=0}P{n=0}，所以，己与n不相互独立。例一个男孩和一个女孩约定晚上点到点在某地相会。设每人到达的时间是相互图3-3独立的，且到达时间服从这段时间上的均匀分布，求先到者要等待分钟以上的概率。解设男孩来到的时间为点己分，女孩来到的时间为点n分，己和n是相互独立的随机变量，它们都服从［0,60］上的均匀分布，概率密度分别为:0图3-3独立的，且到达时间服从这段时间上的均匀分布，求先到者要等待分钟以上的概率。解设男孩来到的时间为点己分，女孩来到的时间为点n分，己和n是相互独立的随机变量，它们都服从［0,60］上的均匀分布，概率密度分别为:0<x<60其他0<y<60其他因为己与n相互独立，所以化,n）的联合概率密度为f_1丫='叭x,y)二、(x即n(y)=j[60) 3600川 00<x<60,0<y<60其他根据题意，所求概率为-{1—n>10}+尸{n—己>10}。由对称性可知，它等于2P{^—n>10}=2JJ①(x,y)dxdy=2JJ3600x一y>10 y<x—102dxdy360010-10dy= J60(x—10)dx=25360010 36例 设&,n）的联合概率分布为求它们的和C=己+n的概率分布。解之的可能取值是，，n的可能取值是，，，容易看出，C=己+”的可能取值是，，，。p{Q=0}=p{m+n=0}=p{m=0,n=0}=0.2,p{Q=1}=尸凭+n=1}=p{m=0,n=1}+p{m=i,n=0}=0.1+0.3=0.4,p{C=2}=p{m+n=2}=p比=0,n=2}+p{m=1,n=1}=0.1+0.2=0.3,

p{C=3}=p{己+n=3}=p{己=1,n=2}=0.1。所以c=^+n的概率分布为C0 12 3P{C=z} 0.2 0.4 0.3 0.1k例 设随机变量己，n相互独立，己〜仇”），n〜b（n2M），证明CY+n〜b(nJn2,P)。证由于己〜bnjp）,n〜bn2,p）,所以己，n的概率分布分别为P{己=i}=CiPi（1-P）n「 （i=0,1,2，…,n）n1 1和P{n=j}=Cjpj（1-p）n2-j（j=0,1,2，…，n）。

n2 2因为己，n相互独立，所以由定理 可知，C=匕+n的概率分布为P{CP{C=k}=£p{mi=0=i}P{n=k—i}=£Cipi(1—p)n1-iCk-ipk-i(1—p)n2-k+in1i=0=£CiCk-ipk(1—p)n1+n2-k=Ckpk(1—p)勺+n2-k (k=0,1,2，…，n+n