线性代数经管类重点难点总结

4184线性代数（经管类）——要点难点总结1、设n阶矩阵A的各行元素之和均为0，且A的秩为n-1，则齐次线性方程组Ax=0的通解为_K(1,1,1.1)T2、设A是mn矩阵，已知Ax0只有零解，则以下结论正确的选项是（A）A．mnB．Axb（此中b是m维实向量）必有独一解C．r(A)mD．Ax0存在基础解系若mn，即方程个数小于未知量个数，则Ax0必有非零解．3、实数向量空间V{(x1,x2,x3)|x1x2x30}的维数是_________．V就是齐次方程组x1x2x30的解向量组，它的基础解系（即极大没关组）含有nr312个向量，因此V的维数是2．a11x114、设线性方程组1a1x21有无量多个解，则a_________．11ax3211a211a20a11a30a11a3，002aa22a400(a2)(1a)2(a2)方程组有无量多个解，则a2．5、设向量(3,2)，求(T)101．解：(T)101(T)(T)(T)T(T)(T)(T)，101100因为T(3,2)3(13)，2因此(T)101T(13)10013100T131003(3,2)1310096（标准答案）．2646、已知1,2,3,4线性没关，证明：12,23,34,41线性没关．证：设k1(12)k2(23)k3(34)k4(41)0，即(k1k4)1(k1k2)2(k2k3)3(k3k4)40，k1k40因为1,2,3,k1k20，4线性没关，必有k2k30k3k4010011000101100110011011110111，|A|110011012000110111001100111只有k1k2k3k40，因此12，23，34，41线性没关．7、设A是n阶方阵，若对随意的n维向量x均知足Ax=0,则（）A.A=0/A/=0?B.A=EC.r(A)=nD.0<r(A)<(n)8、设A是m×n矩阵，Ax=0,只有零解，则r(A)=__n9、设二次型f(x)=xTAx正定,则以下结论中正确的选项是()A.对随意n维列向量,xTAx都大于零B.f的标准形的系数都大于或等于零C.A的特点值都大于零D.A的所有子式都大于零×20、求二次型f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3x12y12y2y3经可逆线性变换x22y12y2y3所x32y3得的标准形.12、设A、B为同阶方阵，且r( )=( )，则( )A与B合同r( )=( )PTAP=B,ArBArBP可逆A.A与B相像？B.|A|=|B|C.A与B等价D.A与B合同？13、若A、B相像，则以下说法错误的选项是(B)．．A.A与B等价B.A与B合同C.|A|=|B|D.A与B有同样特点值A、B相像A、B特点值同样|A|=|B|r(A)=r(B)；若A～B，B～C，则A～C（～代表等价）14、若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=________3_________.若矩阵A的队列式|A|0，则A可逆，即AA-1=E，E为单位矩阵。Ax=0只有零解|A|0，故A可逆若A可逆，则r(AB)=r(B)=3，同理若C可逆，则r(ABC)=r(B)15、问a为什么值时，线性方程组

x12x23x342x2ax32有唯一解？有无量多解？并在有解2x12x23x36时求出其解（在有无量多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示所有解）。四、证明题（此题6分）16、设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。D17、若四阶方阵的秩为3，则()A.A为可逆阵B.齐次方程组Ax=0有非零解C.齐次方程组Ax=0只有零解D.非齐次方程组Ax=b必有解18、设2阶实对称矩阵A的特点值为1，2，它们对应的特点向量分别为1=(1，1)T,2=(1，k)T，则数k=__________-1________.19、对非齐次线性方程组Am×nx=b，设秩（A）=r，则（A）A．r=m时，方程组Ax=b有解B．r=n时，方程组Ax=b有独一解C．m=n时，方程组Ax=b有独一解D．r<n时，方程组Ax=b有无量多解a11a12a13不行a11x1a12x2a13x30a21x1a22x2a23x30a21a22a23aaa为3阶非奇怪矩阵，则齐次线性方程组a31x1a32x2a33x30的解为___20、设A=313233零解___.