2021届高三数学冲刺模拟考试押题卷二

2021新高考数学押题卷(2)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合4={刈2<2},B={X|X2-3X<0},则40|8=()

A.(0,2)B.(0,3)C.(2,3)D.(-2,3)

2.已知i为虚数单位，a,6为实数，若"之=I+2i,则|a+6|=()

b-i

A.6B.26C.后D.6

3.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如

下统计数据表：

收入X(万元)8.28.610.011.311.9

支出y(万元)6.27.58.08.59.8

根据表可得回归直线方程9=a+0.76x,据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出

为()

A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元

32

4.已知函数/(X)=圆+工2,«=/(0.2),fr=/(0.3),c=/(log030.2),则()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

5.已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次，在第一次取到合

格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为()

3223

A.-B.-C.-D.

553W

6.若a>0,b>0,a+2h=\,则^+卫士1的最小值为()

ab

A.8B.6C.12D.9

7.已知抛物线V=4x的焦点厂，准线为/,过点F且斜率为g的直线交抛物线于点

在第一象限)，MN^U于点N,直线N5交y轴于点。，则|Affi>|=()

A.4B.2KC.2D.Q

8.如图，在长方体AB8-A4GA中，AD=DDt=1,AB=£,E,尸分别是45,BC

棱靠近3点的三等分点，G是C£棱靠近G的三等分点，P是底面ABCD内一个动点，若

直线2P与平面£FG平行，则周长的最小值为()

D4+V3+V7

C.3+有

24

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9.在某次高中学科竞赛中，从4000名考生中随机抽取100人，其参赛成绩统计如图所示(每

组为左闭右开的区间)，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值代表,

则下列说法中正确的是()

A.。的值为0.030

B.不及格考生人数的估计值为1000

C.考生竞赛成绩的平均分的估计值为70.5分

D.考生竞赛成绩的中位数的估计值为75分

10.将函数f(x)=sinx的图象向右平移上个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来

6

的工(得到函数的图象.若在［

0>0),g(x)g(x)0,万］上的值域为贝4(

A.g(x)在［0,初上有两个零点B.g(x)在［0,万］上有两个极值点

C.g(x)在区间［0,§上单调递增D.o的取值范围为心，-I

II.将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《戏曲

论丛》7本书放在一排，下面结论成立的是()

A.戏曲书放在中间的不同放法有7!种

B.诗集相邻的不同放法有2x6!种

C.四大古典名著互不相邻的不同放法有4!x3!种

D.四大古典名著不放在两端的不同放法有4x3!种

12.定义在R上的函数/(x)满足f(x)=2f(x-2),且xe[O,1)时，/(x)=(/(1))*,xe[l,

2]时，/(%)=-.令g(x)=/(x)—x—a,xe[-2,6],若函数g(x)的零点有8个，则。的

X

可能取值为()

A.2.5B.2.6C,2.8D.3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在(寸+二一2)’的展开式中，所有项的系数和为—，常数项为—.

X

14.若函数/(x)='d—广⑴4-x,则/(1)的值为__.

15.已知｛““｝是公差不为零的等差数列，G=14,且4，4，4成等比数列，设〃=(T)"%"，

数列出,｝的前”项的和为5/则SzgL

16.设mwR,过定点M的直线4:x+叼-3m-l=0与过定点N的直线

/2：，姒-丫-3,〃+1=0相交于点/3,线段四是圆C:(x+l)2+(y+l>=4的一条动弦.且

\AB\=2A/2.给出下列四个结论：

①4一定垂直4；

②|PM|+1PN|的最大值为4；

③点尸的轨迹方程为(x-2)2+(>-2)2=1；

@\PA+PB\的最小值为472.

其中所有正确结论的序号是—.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在AABC中，Z4=60。，AB=8,BC=7.

(1)求AC；

(2)若AA8C为锐角三角形，在8c的延长线上取一点。，使得/区4。=90。，求AACD的

面积.

18.已知数列｛4｝的前"项和为S“,Sn=2an-1,数列电｝是等差数列，且仿=%,%=%.

（1）求数列｛《,｝和｛么｝的通项公式；

（2）若呢=4，记数列｛%｝的前"项和为7；,证明：7；＜8.

19.如图1,由正方形ABC£＞、直角三角形和直角三角形C"组成的平面图形，其中

AB=AE=DF=2,将图形沿A3、8折起使得E、F重合于P,如图2.

（1）判断图2中平面和平面PCD的交线/与平面的位置关系，并说明理由;

（2）求二面角3-PC-。大小的余弦值.

20.为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和

小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方

记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是2.

3

（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；

（2）若现在是小明以6:2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及

期望.

21.已知圆加：/+3-$2=4与抛物线芯：*2=相义机＞0）相交于点4,B,C,。，且在

四边形ABCZ）中，AB//CD.

（1）若04©方="，求实数m的值；

4

（2）设AC与a）相交于点G,△G4£＞与AGBC组成蝶形的面积为S,求点G的坐标及S的

最大值.

22.已知函数f(x)=(9+a)/nr-ar2+or有两个极值点.

(1)求a的取值范围；

(2)求f(x)极小值的取值范围.

2021新高考数学押题卷(2)答案

1.解：•・•集合A={x||x|<2}={x|-2<xv2},

B={x|x2-3x<O}={x|O<x<3},

/.A^\B={x\0<x<2].

故选：A.

2.解：•.•竺卫=1+2"

b-i

:.a+3i=(1+2i)(b—i)=b+2bi—i+2=(b+2)+(2b—l)z,

解得：仁,

\3=2b—\\b=2

a+bi|=|4+2z|=^42+22=2布,

故选：B.

3.解：由题意可得无=((8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10,

y=-(6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8,

代入回归方程可得&=8-0.76x10=0.4,

，回归方程为y=0.76x+0.4,

把x=15代入方程可得y=0.76x15+0.4=11.8,

故选：B.

4.解：•."(x)=/nx+x2在(0,+oo)上单调递增,

2

且0co.2、<0.3<1=log030.3<log030.2,

32

/(0.2)</(0.3)</(log0.30.2),

即a<Z?<c.

故选：A.

5.解：记事件A=｛第一次取到的是合格高尔夫球｝,事件B=｛第二次取到不合格高尔夫球

｝，

由题意可得事件B发生所包含的基本事件数〃(人「|8)=4x2=8,事件A发生所包含的基本

事件数〃(A)=4x5=20,

〃(Ap|B)_8_2

所以P(例A)=

"(A)-20-5

故选：B.

/23a+12a+4b3a+a+2b.4b4a__f4b_4a_.,

6.解：-+---=-------+----------=4+一+—..4+2-x一=12.(z当且a仅当a=b

ahabab\ah

时取“=”).

故选：C.

7.解：由题意，可知：F(l,0).

直线％：y=6(x-i).

联立卜=6(1),

y2=4x

整理,得3/一10x+3=0.

解得工=」,或x=3.

3

当x=g时，丁=一^^；当工=3时，y=26.

・•.点M坐标为(3,26).

•准线=.,.点N坐标为(-1,2收.

：.直线FN斜率儿=友_=.

lFN:y=_6(x-l),

点。坐标为(0,6).

.[MD|=7(3-0)2+(2^3->/3)2=2^/3.

故选：B.

8.解：连接4R,AC,CDt,则AC//E尸，ADJIFG,

二.平面4c。//平面EFG,

•.•。///平面£尸6,二尸点轨迹为线段47,

将AACq绕AC旋转到平面ABC上，如图所示:

由题意可知A8=6，BC=\,AC=2,故NB4c=30。,

l4+4-23

又Aq=2,B、C=d2,AC=2,/.cosZC4B=-----------=-,

12x2x24

/.sinZ.CAB.=—^,

14

,/DAD_(/r\O_1_QHOX_^币\_3g-布

..cos/BAB1=cos(NC4B[+30)=—x-----------x—=-------------,

''42428

=j4+3-2x2x/x辱固G+/

BP+qP的最小值为8片

-2~

二△8与尸周长的最小值为+1=2+1+”

故选：A.

9.解：对于A,由频率分分布直方图的性质得：

(0.010+0.015+0.020+4+0.015+0.010)x10=1,解得a=0.030,故A正确；

对于8,不及格考生的人数的估计值为：

(0.010+0.015)x10x4000=1000人，故3正确；

对于C,考生竞赛成绩的平均分的估计值为：

45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5^,故C正确；

对于。，［40,70)的频率为(0.010+0.015+0.020)x10=0.45,

［70,80)的频率为：0.03x10=0.3,

.•.考生竞赛成绩的中位数的估计值为：70+°$一045*10。71.67分,故D错误.

0.3

故选：ABC.

10.解：将函数f(x)=sinx的图象向右平移工个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为

6

原来的，3>0),

(O

得至I」函数g(x)=sin(ox—工)的图象.

6

当TC］,a>x,

666

若g(x)=sin(«wx-令在［0,乃］上的值域为［-；1］,故^■麴切1一.?，［融？g,故£)

正确；

显然，g(x)在［0,万］上至多有两个零点，故A不一定正确：

g(x)在［0,乃］上只有一个极值点，故B不正确；

由于当x［0,工］时，cox--e［-->rfuo<(y---—»

26626262

故g(x)在区间［0,自上单调递增，故C正确，

故选：CD.

11.解：根据题意，依次分析选项：

对于A,戏曲书放在中间，有5种情况，将剩下的6本书全排列，其排法有5x6!种，A错

误；

对于B,7本书中有2本诗集，将看成一个整体，与其他5本书全排列，其排法有2x6!种,

3正确；

对于C,先将四大名著全排列，排好后除去两端，有3个空位，将三本其他书放入空位中,

其不同放法有4!x3!种，C正确；

对于。，四大古典名著放在中间，有4种放法，剩下的3本书全排列，放在剩下的位置，

其排法有(x3!种，。正确，

故选：BCD.

12.解：•.•/(x)=2/(x-2),.•.自变量每增加2个单位，纵坐标扩大为原来的2倍，

4

vxe[O,1)时，/(X)=(7(1))X=4X,xe[l,2]时,/(%)=-.

作出/(x)的图象如图:

g(x)=/(x)-x—a的零点有8个,即/(X)与〃(x)=x+a在［-2,6］上有8个交点,

由图可知，/?(-1)<2,h(1)<4,h(3)<8,h(5)<16,h(-2)>-,

2

/j(0)>1,h(2)>2,h(4)>4,h(6)>8.

解得

2

a可求2.6,2.8.

故选：BC.

13.解：二项式，+二一2)4=。一与，

XX

令x=l可得：(1-1)8=0,

展开式的通项公式为号+i=c；x=c《TAfg，

X

令8-2r=0,解得r=4,则展开式的常数项为C；<7)4=70,

故答案为：0；70.

14.解：■.•f\x)=x2-2f'(1)x-1,

:.f(1)=-2f'(1),解得:(1)=0.

故答案为：0.

15.解:由4,a3,a”成等比数列,得色?—

设等差数列｛«„｝的公差为d(d。0),

(6-2d丁=(a5-4d)(4+6d),

整理得3%=14d,

•.•为=14,.-.(1=3,则4=为-44=14-12=2,

.•.%=2+3(n-1)=3〃-1,得2=(-1严(3"1),

2t+l

则b2k+b2k+l=(-l)(6k-1)+(-严⑻+3-l)=3.

$2021=b\+b2+...+Z?202|=Z>|+(b2+by)+(J74+々)+...+(^2020+^2021)

=2+3+3+...+3=2+3x1010=3032,

故答案为：3032.

16.解：直线4:x+/y—3〃?—1=0与4:—y—3，"+1=0垂直，满足1•，〃+/«♦(—1)=0,所

以①正确；

过定点"(3,1),《过定点N(l,3),

在AWVP中，设ZPMN=5

则|PM|+1PN|=25/2cos。+20sin。=4sin«9+-)„4,所以②不正确；

4

由尸庙•丽=0,可得点P轨迹方程为(x-2)2+(y-2f=2(xw3).所以③不正确：

作81.AB,则8=应，

.•.点D轨迹方程为(x+1)2+(y+1尸=2.

•••I⑸+PM=2|R万I，|而|的最小值为0,

|崂+「分|的最小值为2夜，所以④正确.

故答案为：①④.

17.解：(1)•.•AA8C中，ZA=60°,AB=S,BC=1,

由余弦定理可得：72=82+AC2-2x8xACxcos60°,可得：AC2-8AC+15=0,

二解得AC=5,或3.

(2)当AC=3时，AC2+BC2-AB2<0,ZAC3为钝角，舍去,

25+49-64_1

2x5x7-7

77

在AACD中，sinZADC=sin(ZC4£>+ZACD)=x(-1)+y-x,

ACAD540x/3

•sinZADC-sinZACZ)11

.cJ"g:40X/3.__o_50^

..Sue——•AC,AL),sinz_GAZ)——x5x----xsin30------.

MCD221111

18.解：(1)由5.=2%一1,可得〃=1时，q=E=2%-l,

解得4=1,

〃..2时，5“T=24T-1,又S,=2%-1，

两式相减可得a“=5„-S“T=2an-1-2an_t+1,

即有a„=2a,-,

可得数列｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列,

所以q=2"7；

设等差数列仍“｝的公差为"，且4=q=1,%=%=16,

可得d=^^L=3,

6-1

所以2=1+3(〃-1)=3〃-2；

b1

(2)证明:c„=-^=(3n-2)

a.2

T„=\-(―)°+4+7-(―)2+...+(3n-2)-(—,

g骞=1,(5)+4・(5)2+7-(5)3+...+(3"-2)-(万)”,

两式相减可得」7；=1+3•己+(-)2+...+(!)"-']-(3«-2)-(-)"

i

=1+3-^j——(3n-2)

1----

2

化简可得=8-(3"+4)心产.

因为(3“+4).(gyi>0,

所以7；<8.

19.解：(1)平面248和平面PCO的交线///平面ABCD.

理由如下：rABUCD,A8U平面P8,CDu平面PCD,

A8//平面PCD,

43u平面平面平面尸8=/,,

而Mu平面ABC£),/9平面ABC。，

r./〃平面ABC。；

(2)由图1可知，ABLAE,CDA,DF,

则图2中，AB±PA,AB±PD,

■：PA[\PD=P,..AB_L平面抬D,而45u平面438,

平面弘DJL平面ABC。，取AD中点O,3c中点G,

以O为坐标原点，分别以<9G、OD、O尸所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则8(2,-1,0),C(2,1,0),0(0,1,0),P(0,0,6),

方=（2,-1,-君），PC=（2,1,-73）,PD=（0,I,-A/3）,

设平面PBC的一个法向量为而=（x,y,z）,

由卜方=2xefz=。，取力2,得加=（4,0,2）；

设平面PCD的一个法向量为为=（芯,%，4）,

由卜r=2%+1属=0,取2,得”（。，⑸）.

万•PD=x-5/32,=0

m-n25/7

/.cos<m.n>=-------=—F=——=——.

\rh\-\ri\77x27

20.解：(1)恰好打了7局小明获胜的概率是q=或(|)5xg)2="/,

恰好打了7局小亮获胜的概率为6=屐(92xg)5=竽1,

比赛结束时恰好打了7局的概率为p=/J+6=竺红产@=郎，

(2)X的可能取值为2,3,4,5,

24

P(X=2)=(-)2=-,

P(X=3)=^x(|)2xl=A,

71113

P(x=4)=GX(-)2X($+UX(-)4=-

91Q

P(X=5)=C>-x(-)3=-,

.•.X的分布列如下：

X2345

p48138

9278?8?

…、c4c813,8236

E(X)=2x—F3xF4xF5x—=-----•

927818181

21.解：(1)依据圆与抛物线的对称性，四边形A8CD是以y轴为对称轴的等腰梯形,

不妨设|A8|<|C0,A,£>在第一象限，A(x「m)，D(x2,%)，

则8(-占，%),C(-x2,y2).

x2+(y--=4徂，/八9

联立2，得y-+Q〃-5)y+—=。.

x2=my4

A=(机-5)2-9>0

上述方程有互异两正根，贝上5-机>0,解得0<%<2.

->0

14

由。4・0万=?，得占%=见屈7+=弓，

3915,

—m+—=—，Bllm=\；

244

(2)由对称性，点G在y轴上，可设G(0,a),

由勉=加，得学