2022-2023学年浙江省绍兴市县豫才中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年浙江省绍兴市县豫才中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数，则函数在定义域内单调递减的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C详解：由题意，在时，恒成立，即，又，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为3，∴，从而，∴所求概率为．

2.设m、n是两条不同的直线，、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)A．若m∥n，m∥，则n∥

B．若⊥β，m∥，则m⊥βC．若⊥β，m⊥β，则m∥

D．若m⊥n，m⊥，n⊥β，则⊥β参考答案：D3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于()A．－2

B．2

C．－98

D．98

参考答案：A4.已知集合，集合，则（

）A．{1,π}

B．{0,1}

C．{0,π}

D．{1}参考答案：B5.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”即是面积.意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.已知某不规则几何体与如图（1）所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（图（1）中的网格纸中的小正方形的边长为）（

）A．20

B．16

C.8

D．4参考答案：B由题意可得，不规则几何体与三视图所对应的几何体的体积相同，根据三视图，可得该几何体是四棱柱，AH⊥平面ABCD，H∈AB，且该四棱柱的底面是长方形，长为BC=6，宽为AB=2，四棱锥的高为PH=4，其中，AH=2，如图所示.故它的体积为.本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

6.设等比数列的前项和为，已知，且，则(

)

(A)0

(B)2011

(C)2012

(D)2013参考答案：C略7.设全集U＝R，，，则A．

B.

C.

D.参考答案：D略8.已知偶函数在区间上单调递增，则满足不等式的的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．

10.设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有两个极值点x1，x2，若点P（x1，f（x1））为坐标原点，点Q（x2，f（x2））在圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上运动时，则函数f（x）图象的切线斜率的最大值为（）A．3+ B．2+ C．2+ D．3+参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求出c=0，d=0，得到x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，判断出a＜0，b＞0，得到kmax=，根据二次函数的性质求出的最大值，从而求出k的最大值即可．【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若点P（x1，f（x1））为坐标原点，则f′（0）=0，f（0）=0，故c=0，d=0，∴f′（x）=3ax2+2bx=0，解得：x2=﹣，∴f（x2）=，又Q（x2，f（x2））在圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上，∴x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，∴a＜0，b＞0，∴kmax=﹣=，而表示⊙C上的点Q与原点连线的斜率，由，得：（1+k2）x2﹣（6k+4）x+12=0，得：△=0，解得：k=，∴的最大值是2+，∴kmax=3+，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数x＝（1＋ai）（2＋i）的实部与虚部相等，则实数a＝参考答案：

【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．L4解析：，因为实部与虚部相等，所以，解得，故答案为【思路点拨】利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，把复数化为最简形式，由实部和虚部相等，求出实数a．12.,,则的概率

.参考答案：13.（4分）（2015?上海模拟）设f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数f（x）的图象过点（1，2），且f﹣1（2x+1）=1，则x=．参考答案：【考点】：反函数．【专题】：计算题．【分析】：由反函数的性质知，函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），由于f﹣1（2x+1）=1故可得2x+1=2，解即可解：由题意函数f（x）的图象过点（1，2），则其反函数的性质一定过点（2，1），又f﹣1（2x+1）=1，故2x+1=2，解得x=，故答案为：．【点评】：本题考查反函数，求解本题关键是理解反函数的性质，由此得出2x+1=2．14.给出以下四个命题：①已知命题

；命题则命题是真命题；②“，”的否定是“，”；③函数在定义域内有且只有一个零点；④若直线和直线垂直，则角.其中正确命题的序号是_

___．参考答案：①③略15.若复数z满足z＝i(2-z)（i是虚数单位），则z＝

.参考答案：【解析】由.答案：16.对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x1，x2，使得xif（xi）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）=具有性质P，则实数a的取值范围为．参考答案：【考点】函数的值．【分析】由题意将条件转化为：方程xex=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xex并求出g′（x），由导数与函数单调性的关系，判断出g（x）在定义域上的单调性，求出g（x）的最小值，结合g（x）的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图象求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意知：若f（x）具有性质P，则在定义域内xf（x）=1有两个不同的实数根，∵，∴，即方程xex=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xex，则g′（x）=ex+xex=（1+x）ex，由g′（x）=0得，x=﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，+∞）上递增，∴当x=﹣1时，g（x）取到最小值是g（﹣1）=，∵x＜0，g（x）＜0、x＞0，g（x）＞0，∴当方程xex=a在R上有两个不同的实数根时，即函数g（x）与y=a的图象有两个交点，由图得，∴实数a的取值范围为，故答案为：．17.已知数列{an}的前n项和公式为，则数列{an}的通项公式为

．参考答案：由可知，当时，．当且时，，则数列的通项公式为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过A，B分别作抛物线的切线且相交于点C，则△ABC的面积的最小值为

．参考答案：4点在抛物线的准线上，设直线，，则联立进而得：易得以为切点的方程为：，处的切线方程为：解得：当时.19.广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB=，记该设施平面图的面积为S（x）m2，∠AOB=xrad，其中＜x＜π．（1）写出S（x）关于x的函数关系式；（2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？参考答案：【考点】弧度制的应用．【专题】函数思想；三角函数的图像与性质．【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面积，然后，求和即可得到相应的解析式；（2）根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可．【解答】解：（1）∵扇形AOB的半径为2m，∠AOB=xrad，∴S扇形=x?22=2x，过点B作边AC的垂线，垂足为D，如图所示：则∠BOD=π﹣x，∴BD=2sin（π﹣x）=2sinx，OD=2cos（π﹣x）=﹣2cosx，∵∠ACB=，∴CD=BD=2sinx，∴S△BOC=CO?BD=（2sinx﹣2cosx）×2sinx=2sin2x﹣2sinxcosx=1﹣cos2x﹣sin2x，∴S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x，（2）根据（1），得到S（x）=1﹣cos2x﹣sin2x+2x，∴S′（x）=2sin2x﹣2cos2x+2，令S′（x）=0，∴2sin（2x﹣）=﹣2，∴sin（2x﹣）=﹣，∴2x﹣=，∴x=，根据实际意义知，当x=时，该函数取得最大值，故设计∠AOB=时，此时S（x）有最大值．【点评】本题重点考查了三角形的面积公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．20.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是平行四边形，A1A⊥平面ABCD，，，E为A1B1中点.（1）求证：平面平面；（2）求多面体的体积.参考答案：（1）见解析（2）试题分析：（1）根据余弦定理求，底面满足勾股定理，所以，又可证明，所以平面，即证明面面垂直；（2）取的中点，分别连接，这样多面体可分割为三棱柱和三棱锥，所以分别求体积.试题解析：（1）在中，，由余弦定理得.∴.∴.∵平面平面，∴.，∴平面.平面.∴平面平面.（2）设的中点分别为，连接，∵分别为的中点，∴多面体为三棱柱.∵平面，∴为三棱柱的高.，三棱柱体积为.在四棱锥中，.

∴底面.，四棱锥的体积为，∴多面体的体积为.21.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，DA=DP，BA=BP．（1）求证：；（2）若，求二面角D—PC—B的正弦值．

参考答案：（1）设AB中点为O,连接因为DA=DP，BA=BP，所以所以所以.┈┈┈┈┈┈5分(2)