线性代数课件

二.线性相关性三.向量组的秩一.n维向量空间

四.矩阵的秩第三章向量空间五.内积与正交化一.n维向量空间分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，1.n维向量定义：n个有次序的数所组成的有序数组称为一个n维向量。这n个数称为该向量的n个分量，第个数称为第

个分量。以后我们用小写希腊字母来代表向量。例如：n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量向量通常写成一行：有时也写成一列：称为行向量。称为列向量。它们的区别只是写法上的不同。分量全为零的向量称为零向量。2.向量的运算和性质向量相等：如果n维向量的对应分量都相等，即就称这两个向量相等，记为向量加法：向量称为向量的和，记为负向量：向量称为向量的负向量向量减法：数乘向量：设k为数域p中的数，向量称为向量与数k的数量乘积。记为满足运算律：注：（1）对任意的向量存在唯一的零向量使得（2）对任意的向量存在唯一的负向量使得（4）如果则（3）3.n维向量空间说明:定义：设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．集合对于加法及数乘两种运算封闭指例1：3维向量的全体是一个向量空间。n维向量的全体，也是一个向量空间。例2:判别下列集合是否为向量空间.解：所以，是向量空间。(2)不是向量空间。是否为向量空间.（这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间）一般地，由向量组所生成的向量空间为例3：设a，b为两个已知的n维向量，判断集合解：所以V是一个向量空间。1.线性组合与线性表示二.线性相关性1.线性组合与线性表示2.向量组等价3.线性相关、无关4.判断线性相关性的定理5.线性相关及表示的定理定义1：给定向量组对于任何一组实数向量称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。定义2：给定向量组和向量如果存在一组实数使得则称向量是向量组A的线性组合，或称向量能由向量组A线性表示。例如：有所以，称是的线性组合，或可以由线性表示。定理1:判断向量可否由向量组线性表示的定理。向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：以为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。线性方程组的矩阵表示和向量表示：令方程组可表示为则方程组的向量表示为2.向量组等价定义3：如果向量组中的每一个向量

都可以由向量组线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。即3.线性相关,线性无关及其几何说明几何意义：(1)两向量线性相关：两向量共线.(2)三向量线性相关：三向量共面.定义4：例1：用定义判断线性相关性。(1)向量线性______关。(2)向量线性______关。相相4.判断线性相关性的定理至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示

向量组线性相关定理2：推论：

向量组线性无关任一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示(1)(2)n维向量组线性相关定理3:推论：n维向量组线性无关例2:试讨论向量组及向量组的线性相关性.解：设数使得成立。即未知量为系数行列式齐次线性方程组有非零解，所以向量线性相关。向量对应分量不成比例，所以线性无关。例3:n维向量讨论它们的线性相关性.结论:线性无关解:上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.问题:n=3时,分别是什么？(3)则向量组也线性相关。则，向量组也线性无关。若向量组线性相关，定理4：若向量组线性无关，定理5：部分相关则整体相关整体无关则部分无关(4)定理6：n维向量组线性无关，把每个向量的维数增加后，得到的新向量组仍线性无关。定理7：n维向量组线性相关，把每个向量的维数减少后，得到的新向量组仍线性相关。5.线性相关及表示的定理则向量必能由向量组A线性表示，且表示式唯一.定理8：向量组线性无关,而向量组线性相关,6.一些结论(1)单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；(2)包含零向量的任何向量组线性相关；(4)有两个向量相等的向量组线性相关；(3)基本向量组线性无关;

(5)m>n时，

m个n维向量必线性相关.特别：m=n+1(6)n个n维向量线性无关(7)n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n向量.它们所构成方阵的行列式不为零.（书p81例10）例5：书p103/3.6例4：已知向量线性无关，证明：向量线性无关。例6：书p103/3.5三.向量组的秩向量组的一个基本性质极大线性无关组向量组的秩向量空间的基和维数1.向量组的一个基本性质定理：设与是两个向量组，如果(2)则向量组必线性相关。推论1：如果向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。(1)向量组线性表示；可以由向量组2.极大线性无关组定义1:注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.简称极大无关组。对向量组A，如果在A中有r个向量满足：（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示例如：在向量组中，首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。定理：3.向量组的秩定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的秩为2。（4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组线性无关向量组线性相关（3）如果向量组可以由向量组线性表示，则注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。4.向量空间的基与维数定义：设V是向量空间，如果r个向量且满足线性无关。（1）（2）V中任一向量都可由线性表示，那么，就称向量组是向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，记作dimV＝r并称V是r维向量空间。注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。（3）向量空间的基不唯一。四.矩阵的秩1.行秩、列秩、矩阵的秩2.矩阵秩的求法3.向量组的秩的求法4.矩阵秩的性质5.矩阵秩与行列式的关系1.行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;

矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。例如：矩阵的行向量组是可以证明，是A的行向量组的一个极大无关组，因为，由即可知即线性无关；而为零向量，包含零向量的向量组线性无关，线性相关。所以向量组的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。矩阵A的列向量组是可以验证线性无关，而所以向量组的一个极大无关组是所以向量组的秩是3，所以矩阵A的列秩是3。问题：矩阵的行秩＝矩阵的列秩引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列）（列）证：把按行分块，设（1）对换矩阵A的两行A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变，所以矩阵A的行秩不变。（2）用非零常数k乘以A的第i行显然，向量组可以由向量组线性表示；而向量组也可以由向量组线性表示。所以矩阵的行向量组与的行向量组等价，又等价的向量组有相同的秩，的行秩＝的行秩，即A的行秩不变。（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上显然，中的行向量组可以由的行向量组线性表示而的行向量组可以由中的行向量组线性表示。所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变，所以矩阵的行秩不变。引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列）（行）证：设矩阵A经过初等行变换变为B，即存在有限个初等矩阵使得令则把按列分块，设不妨设A的列向量组的极大无关组为（可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变）则下面证明A的列向量组的极大无关组经过初等行变换变为是矩阵B的列向量组的极大无关组。（1）先证线性无关。设数使得成立因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。又线性无关线性无关。（2）再证B的列向量组中任一向量可由向量组线性表示。是A的列向量组的极大无关组所以对于A中任一列向量都存在数使得等号两边左乘P有由(1)(2)可知是B的列向量组的一个极大无关组。所以，B的列秩＝r＝A的列秩综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩证：任何矩阵A都可经过初等变换变为形式，而它的行秩为r，列秩也为r。又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，所以，A的行秩＝r＝A的列秩定义2：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为r(A),或rankA，或秩A。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。2.矩阵秩的求法.行阶梯形矩阵：例如：特点：(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．行最简形矩阵：在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。例如：注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。例1：对矩阵作行初等变换,使成为行阶梯矩阵.解:解：看行秩例2：求上三角矩阵的秩看的线性相关性：线性无关，维数增加后得到的依然线性无关，而与都线性无关，所以矩阵的秩＝行向量组的秩＝3＝非零行的行数结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行是线性无关就行了。设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r。因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地变换列的顺序，不妨设其中显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。加上任一零行即相关，所以矩阵A的秩＝矩阵A的行向量组的秩＝非零行的行数求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。例3:求A的秩。由阶梯形矩阵有三个非零行可知3.向量组的秩、极大无关组的求法.（1）向量组作列向量构成矩阵A。（2）初等行变换（行最简形矩阵）r(A)=B的非零行的行数（3）求出B的列向量组的极大无关组（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。（根据见引理2，幻灯片7）例4：向量组求向量组的秩和一个极大无关组。解：又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组所以，是的一个极大无关组。考虑：是否还有其他的极大无关组？与例5：求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。解：设则B的1，2列为极大无关组，且所以为所求的一个极大无关组，且4.矩阵秩的性质(1)等价的矩阵，秩相同。(2)任意矩阵有(3)任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。可逆，有(4)当AB=0时，有（证明在习题课讲）5.矩阵的秩与行列式的关系定理:n阶方阵A，即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）A的n个行（列）向量线性无关A的n个行（列）向量线性相关定义3：矩阵A中，任取k行k列，交叉处的元素保持原来的相对位置不变而组成的一个k阶子式，称为矩阵A的k阶子式。矩阵的秩的另一种定义：定义4：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的r＋1阶子式（如果有的话）都为零，则r(A)=r.阶矩阵A的秩r是A中不等于零的子式的最高阶数。注：零矩阵的秩为零。例：问题：1)可研究它的几阶子式?2)各阶子式分别有几个?例6:解：例7：解：例8：书p95例3.4.3五.内积、正交化、正交矩阵.1.向量的内积、长度、夹角。2.Schmidt正交化、单位化法。3.正交矩阵。1.向量的内积、长度、夹角定义1：n维实向量称为向量与的内积。若为行向量，则向量内积的性质：线性性对称性等号成立当且仅当正定性定义2：实数称为向量的长度（或模，或范数）若称为单位向量。把向量单位化：若则考虑即的模为1，为单位向量，称为把单位化。向量长度的性质：（1）非负性：当时，当时，（2）齐次性：（3）柯西—施瓦兹不等式：（4）三角不等式：非零向量和的夹角余弦:定义3：非零向量的夹角是注：（1）零向量与任何向量都正交。（2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。当向量的内积为零时，即时，即时，称向量正交。定义4：2.Schmidt正交化、单位化法。定义5：正交向两组：非零实向量两两正交。正交单位向量组：（标准正交向量组）非零实向量两两正交，且每个向量长度全为1。即定理：正交向量组是线性无关的。schmidt正交化、单位化法：例：书p100例3.5.13.正交矩阵定义6：A是一个n阶实矩阵，若则称A为正交矩阵。定理：设A、B都是n阶正交矩阵，则或也是正交矩阵。也是正交矩阵。定理：n阶实矩阵A是正交矩阵A的列（行）向量组为单位正交向量组。证明：设将A按列分块，设A是正交矩阵即即A的列向量组是单位正交向量组。注：n个n维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行）向量构成的矩阵一定是正交矩阵。练习：书p1053.21第三章习题课一.向量组的线性相关性二.矩阵的秩、向量组的秩的求法三.关于向量组的秩、矩阵的秩的证明四.正交化与正交矩阵一.向量组的线性相关性1.向量间的线性运算：加法、数乘。把向量理解为列矩阵或行矩阵时，事实上就是矩阵的加法和数乘。注意:(1)同维向量做加减。

(2)零向量参与运算时，维数与其它向量维数相同。2.线性组合、线性表示(1)判断向量可由向量组线性表示的常用方法方法1：只要证出就可得出方法2：证下列线性方程组有解其中方法3：利用矩阵的初等行变换行最简形矩阵(2)在判断或证明中，常用到的两个重要结论结论1：向量可由向量组线性表示结论2：若向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式唯一。(2)利用常用结论：1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。2个非零向量线性相关对应分量成比例n＋1个n维向量线性相关。部分相关整体相关；整体无关部分无关。3.线性相关性的判别方法(1)一般方法：设数使得成立转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关；原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。(3)利用向量组的秩判断：设向量组的秩为当时，线性无关。当时，线性相关；4.极大无关组的选取或证明(1)初等变换法（最常用）将列向量组写成矩阵初等行变换行阶梯或行最简形矩阵的一个极大无关组，例如：求向量组并把其余向量用该极大无关组线性表示。解：是一个极大无关组并且考虑：还有那些极大无关组？初等行变换(2)极大无关组的证明方法1：利用定义线性无关；其它向量都可由线性表示。（即向量组中任意r+1个向量都线性相关）方法2：已知是向量组A的一个极大无关组，又A中部分组与等价，则也是A的一个极大无关组。例如：设是向量组A的极大无关组，且证明也是A的极大无关组。证明：（往证与等价）向量组可由向量组线性表示。又向量组可由向量组线性表示。两个向量组等价也是极大无关组。二.矩阵的秩、向量组的秩的求法初等变换后，看非零行的行数。三.关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩的两个重要定理：（1）若向量组可以由向量组线性表示，则（2）若向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么1.向量组秩的不等式的证明例1：设向量组的秩为向量组的秩为向量组的秩为证明：（书p104/3.11）证：（比较向量组秩的大小，通常从各自的极大无关组考虑）当或时，结论显然成立。当时，不失一般性，设向量组A的极大无关组是设向量组B的极大无关组是设向量组B的极大无关组是显然可由线性表示，又线性无关，又可由线性表示，而线性无关，同理，可由线性表示，而线性无关，综上，有有关矩阵秩的重要结论：(2)设矩阵若则存在可逆矩阵使得即矩阵A可以经过初等变换化为形式。(3)若都可逆，则2.矩阵秩的不等式的证明例2：证明书p104/3.12证：（1）设把它么用列向量组表示设设A的列向量组的极大无关组为则设则设A的列向量组的极大无关组为则可知中任一列向量都可由向量组线性表示，又综上，（2）设把A用列向量组表示，设则即AB的列向量组可由线性表示，即可由矩阵A的列