高中数学一轮复习考点专题77 定点定直线问题 (含解析)

PAGE微专题77定点定直线问题一、基础知识：1、处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为SKIPIF1<0）（2）利用条件找到SKIPIF1<0与过定点的曲线SKIPIF1<0的联系，得到有关SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点SKIPIF1<0，使得无论SKIPIF1<0的值如何变化，等式恒成立。此时要将关于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等式进行变形，直至易于找到SKIPIF1<0。常见的变形方向如下：①若等式的形式为整式，则考虑将含SKIPIF1<0的项归在一组，变形为“SKIPIF1<0”的形式，从而SKIPIF1<0只需要先让括号内的部分为零即可②若等式为含SKIPIF1<0的分式，SKIPIF1<0的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去SKIPIF1<0的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）2、一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合。属于“先猜再证”。（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点。尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。例如：直线SKIPIF1<0，就应该能够意识到SKIPIF1<0，进而直线绕定点SKIPIF1<0旋转二、典型例题：例1：椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，其左焦点到点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程（2）若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0不是左右顶点），且以SKIPIF1<0为直径的圆过椭圆SKIPIF1<0的右顶点。求证：直线SKIPIF1<0过定点，并求出该定点的坐标解：（1）SKIPIF1<0，设左焦点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0（2）由（1）可知椭圆右顶点SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0①联立直线与椭圆方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入到①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒过SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒过SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0为椭圆右顶点，不符题意，故舍去SKIPIF1<0恒过SKIPIF1<0例2：已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且椭圆的离心率为SKIPIF1<0（1）求椭圆的方程（2）过椭圆的右焦点SKIPIF1<0作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，设线段SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0恒过一个定点解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0（2）由（1）可得：SKIPIF1<0当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，SKIPIF1<0所以可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴当SKIPIF1<0斜率存在时，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，联立方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理，联立SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，直线方程对SKIPIF1<0均成立SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0而SKIPIF1<0斜率不存在时，直线SKIPIF1<0也过SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0例3：如图，已知椭圆SKIPIF1<0的左右焦点为SKIPIF1<0，其上顶点为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0是边长为2的正三角形（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程（2）过点SKIPIF1<0任作一动直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，记SKIPIF1<0，若在线段SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，试判断当直线SKIPIF1<0运动时，点SKIPIF1<0是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由解：（1）由椭圆方程可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0为边长是2的三角形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0①联立方程组SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入到①可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0在定直线SKIPIF1<0上例4：已知椭圆SKIPIF1<0的中心在坐标原点，左，右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0的面积最大值为SKIPIF1<0，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线SKIPIF1<0相切（1）求椭圆的方程（2）若直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0且与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右顶点，直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0两点，试问以线段SKIPIF1<0为直径的圆是否过SKIPIF1<0轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由解：（1）SKIPIF1<0因为圆与直线相切SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为：SKIPIF1<0（2）当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设SKIPIF1<0，由椭圆方程可得点SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，联立方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，分别令SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0轴上的定点为SKIPIF1<0若SKIPIF1<0为直径的圆是否过SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0问题转化为SKIPIF1<0恒成立即SKIPIF1<0①由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入到①可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0圆过定点SKIPIF1<0当直线斜率不存在时，直线方程为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为直径的圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0所以以线段SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0轴上定点SKIPIF1<0例5：如图，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，离心率为SKIPIF1<0的椭圆SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，过原点SKIPIF1<0的直线（与坐标轴不重合）与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0两点，当直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程（2）试问以SKIPIF1<0为直径的圆是否过定点（与SKIPIF1<0的斜率无关）？请证明你的结论解：（1）由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0由对称性可知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0由对称性可知SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，联立直线与椭圆方程：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点SKIPIF1<0SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为直径的圆的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0SKIPIF1<0圆方程为：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0所以令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为直径的圆恒过SKIPIF1<0例6：已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线SKIPIF1<0相切，过点SKIPIF1<0且不垂直SKIPIF1<0轴的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程（2）若SKIPIF1<0点关于SKIPIF1<0轴的对称点是SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴相交于定点解：（1）SKIPIF1<0已知圆方程为：SKIPIF1<0因为与直线相切SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0（2）设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0联立方程可得：SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0考虑直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，代入可得：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于定点SKIPIF1<0例7：在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知椭圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0，四个点SKIPIF1<0中有三个点在椭圆SKIPIF1<0上，剩余一个点在直线SKIPIF1<0上（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程（2）若动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，过SKIPIF1<0作直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，使得SKIPIF1<0，再过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0恒过定点，并求出该定点的坐标解：（1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知：SKIPIF1<0必在椭圆上若SKIPIF1<0在椭圆上，则为椭圆的左顶点。但SKIPIF1<0，所以与SKIPIF1<0在椭圆上矛盾SKIPIF1<0在椭圆上SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0（2）依题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0共线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0在椭圆内部设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中垂线设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒过SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，过SKIPIF1<0SKIPIF1<0无论SKIPIF1<0位于哪个位置，直线SKIPIF1<0恒过SKIPIF1<0例8：已知圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0（1）求动点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0的方程（2）过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0交曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，在SKIPIF1<0轴上是否存在定点SKIPIF1<0，使得以SKIPIF1<0为直径的圆恒过这个点？若存在，求出SKIPIF1<0的坐标；若不存在，说明理由解：（1）由图像可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0点的轨迹为以SKIPIF1<0为焦点的椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与椭圆方程联立可得：SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，整理后可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，因为以SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入到①可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以只需：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0所以存在定点SKIPIF1<0例9：已知椭圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆的左顶点，下顶点和右焦点（1）点SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上位于第二象限的一点，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0（2）点SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0上位于SKIPIF1<0轴右侧的动点，且直线SKIPIF1<0的斜率是直线SKIPIF1<0斜率的2倍，求证：直线SKIPIF1<0恒过定点解：（1）由椭圆可得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在第二象限可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入圆方程可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与椭圆方程：SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入直线方程可得：SKIPIF1<