高中数学一轮复习考点专题56 数列中的整数问题 (含解析)

PAGE微专题56数列中的整数问题一、基础知识：1、整数的基本性质：（1）整数的和，差，积仍为整数（2）整数的奇偶性：若SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为奇数；若SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：①奇数SKIPIF1<0奇数SKIPIF1<0偶数②奇数SKIPIF1<0偶数SKIPIF1<0奇数③偶数SKIPIF1<0偶数SKIPIF1<0偶数④奇数SKIPIF1<0偶数SKIPIF1<0偶数⑤偶数SKIPIF1<0偶数SKIPIF1<0偶数⑥奇数SKIPIF1<0奇数SKIPIF1<0奇数（3）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（4）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若SKIPIF1<0，称SKIPIF1<0能被SKIPIF1<0整除，则有：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个因数（6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用：（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值只能是SKIPIF1<0。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个：①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量②将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：①所解得变量非整数，或不符合已知范围②等式两侧为一奇一偶3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前SKIPIF1<0项和的项数，均为正整数。二、典型例题：例1：已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0中的项，则SKIPIF1<0____思路：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的项为大于等于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的奇数，所以考虑将SKIPIF1<0向奇数形式变形：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0应该为大于等于4的偶数，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小炼有话说：（1）本题的亮点在于对SKIPIF1<0的变形，在有关整数的问题里，通常可对分式进行“分离常数”的变形，从而将复杂的分式简化，并能立刻找到需处理的部分。例如在本题中通过“分离常数”可迅速将目标锁定在SKIPIF1<0上。（2）本题对SKIPIF1<0的处理有多个角度，还可以从分母出发，观察到SKIPIF1<0应为奇数，而SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0的奇因数只有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，同样可确定SKIPIF1<0的值。例2：已知等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0的通项公式（2）求SKIPIF1<0的值，使得SKIPIF1<0例3：已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式（2）设SKIPIF1<0，是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0①SKIPIF1<0符合①SKIPIF1<0（2）思路：SKIPIF1<0按照奇偶分段，所以要确定SKIPIF1<0的奇偶。观察可发现无论SKIPIF1<0为何值，SKIPIF1<0均为一奇一偶，所以只需要对SKIPIF1<0的奇偶进行分类讨论，解出符合条件的SKIPIF1<0即可解：SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0为偶数SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0为奇数SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0（舍）综上所述：SKIPIF1<0例4：已知各项均为整数的数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式（2）求出所有的正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0解：（1）设前6项的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0成等比数列，SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）思路：由于数列SKIPIF1<0分为两部分，当SKIPIF1<0时，即为公比是SKIPIF1<0的等比数列，所以考虑对于数列的前几项可进行验证，SKIPIF1<0后成等比数列，从而可进行抽象的计算，看是否能够找到符合条件的SKIPIF1<0。解：由（1）可得：SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，假设存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0无解SKIPIF1<0时，不存在这样的SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0综上所述：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0例5：已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（3）是否存在整数对SKIPIF1<0，使得等式SKIPIF1<0成立？若存在，请求出所有满足条件的SKIPIF1<0；若不存在，请说明理由.解：（1）在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0再令SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0①，可得：SKIPIF1<0②①SKIPIF1<0②可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0从第二项开始成等比关系，公比为SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0符合上式SKIPIF1<0（3）思路：所成立的等式为SKIPIF1<0，考虑将SKIPIF1<0进行分离得到：SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0为整数可得SKIPIF1<0为整数，从而求出符合条件的SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0。解：由（2）得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0经计算可得：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0共有三组符合题意：SKIPIF1<0小炼有话说：（1）在第（2）问中，要注意SKIPIF1<0的取值范围变化，并且要把SKIPIF1<0所能取到的最小值代入到递推公式中以了解递推公式从第几项开始满足。（2）二元不定方程在求解时，参变分离是一种方式，通过变形让两变量分居不等号的两侧，这样可以以一侧作为突破口（比如本题中的整除问题），来求得变量的解例6：已知数列SKIPIF1<0是各项均不为0的等差数列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项和，且满足SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式及SKIPIF1<0（2）是否存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成等比数列？若存在，求出所有的SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由。解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）思路：先假定存在满足条件的SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，无法直接得到不等关系，考虑变形等式：SKIPIF1<0，分离参数可得：SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为突破口可解出SKIPIF1<0的范围SKIPIF1<0，从而确定SKIPIF1<0的值后即可求出SKIPIF1<0解：假设存在SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成等比数列例7：已知各项均为正数的数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（1）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式（2）设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，并确定最小正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为整数解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是公比为2的等比数列（2）思路：由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式可求但是比较复杂，不利于求出SKIPIF1<0，但观察发现可将SKIPIF1<0中的项重新组合，进而能够和SKIPIF1<0找到联系。SKIPIF1<0，求和可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为整数，则SKIPIF1<0能被SKIPIF1<0整除，而SKIPIF1<0，考虑可将SKIPIF1<0写成SKIPIF1<0，通过二项式定理展开并找到最小的正整数SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0为整数，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0能被SKIPIF1<0整除SKIPIF1<0所以可得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0能被SKIPIF1<0整除SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0例8：已知SKIPIF1<0为等差数列，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0（2）对SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0中落入区间SKIPIF1<0内项的个数记为SKIPIF1<0①求SKIPIF1<0②记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和记为SKIPIF1<0，是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由解：（1）设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）①SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②思路：由①可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则所解方程变形为：SKIPIF1<0，得到关于SKIPIF1<0的不定方程，可考虑对SKIPIF1<0进行变量分离SKIPIF1<0，以等式左右边的符号作为突破口（左边为正数），得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，然后代入SKIPIF1<0解出符合条件的SKIPIF1<0即可解：由①可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，解得：SKIPIF1<0（舍）SKIPIF1<0时，解得：SKIPIF1<0（舍）SKIPIF1<0时，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0存在这样的SKIPIF1<0，满足所给方程小炼有话说：1、本题中②的方程，并没有在一开始就将SKIPIF1<0代入，否则运算会复杂的多，所采取的策略为先化简变形，变形完成之后再代入。可简化不必要的运算2、本题在解SKIPIF1<0的不定方程所用的方法为变量分离法，将两个只含某一字母的式子用等号连接，则两边式子的范围应当一致。以其中一个式子作为突破口（比如SKIPIF1<0），再结合变量必须取整数的条件，便可用不等关系将变量所能取的值确定下来。例9：已知数列SKIPIF1<0是等差数列，数列SKIPIF1<0是等比数列，且对任意的SKIPIF1<0，都有：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则：（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式（2）试探究：数列SKIPIF1<0中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它SKIPIF1<0项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由解：（1）SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②①SKIPIF1<0②可得：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以有：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）思路：首先要把命题翻译为等式，将其他SKIPIF1<0项可设为SKIPIF1<0，设存在某项SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则同除以SKIPIF1<0，就会出现左右两侧奇偶不同，从而假设不成立解：假设存在某项SKIPIF1<0及数列中的其他SKIPIF1<0项SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0两边同时除以SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，左边为偶数，右边为奇数。所以等式不成立所以不存在这样的项小炼有话说：（1）通过本题要学会如何表示数列中某一串项：如果是相邻项，则可表示为：SKIPIF1<0，如果不一定相邻，则可用SKIPIF1<0作角标，其中SKIPIF1<0体现出这一串项所成数列中项的序数，而SKIPIF1<0表示该项在原数列中的序数（2）本题还有一个矛盾点：题目中的SKIPIF1<0项不一定为相邻项，但是可通过放缩将右边的项补全，变为从SKIPIF1<0一直加到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。则SKIPIF1<0①，由整数性质可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，与①矛盾，所以不存在。例10：已知等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0均为大于1的正整数，且SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0，均存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0____________思路：本题的关键是求出SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0均为大于1的正整数，所以考虑从两个不等关系入手尝试求SKIPIF1<0的值或范围：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而根据不等号方向可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0。所以SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0三、历年好题精选1、（2014，山东师大附中五模）用部分自然数构造如图的数表：用SKIPIF1<0表示第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0个数（SKIPIF1<0），使得SKIPIF1<0，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第SKIPIF1<0行中的各数之和为SKIPIF1<0（1）写出SKIPIF1<0，并写出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的递推关系（不要求证明）（2）令SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0是等比数列，并求出SKIPIF1<0的通项公式（3）数列SKIPIF1<0中是否存在不同的三项SKIPIF1<0恰好成等差数列？若存在，求出SKIPIF1<0的关系，若不存在，说明理由2、（2016，泰州一模）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．（1）若数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式；（3）在（2）的条件下，设SKIPIF1<0，求证：数列SKIPIF1<0中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积3、已知数列SKIPIF1<0的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式（2）若SKIPIF1<0，求正整数SKIPIF1<0的值（3）是否存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰好为数列SKIPIF1<0中的一项？若存在，求出所有满足条件的SKIPIF1<0值，若不存在，说明理由4、（2016，无锡辅仁高中12月月测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（1）求证：数列SKIPIF1<0是等差数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式（2）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，对于任意给定的正整数SKIPIF1<0，是否存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成等差数列？若存在，试用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0；若不存在，请说明理由习题答案：1、解析：（1）SKIPIF1<0猜想SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）由（2）可得：SKIPIF1<0若SKIPIF1<0为等差数列则SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0为最小的数，则SKIPIF1<0，左边为偶数，右边为奇数，显然不成立SKIPIF1<0不存在符合要求的SKIPIF1<02、解析：（1）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0两式相减可得：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）由（2）得SKIPIF1<0，对于给定的SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，…………12分取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴对数列SKIPIF1<0中的任意一项SKIPIF1<0，都存在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0使得SKIPIF1<03、解析：（1）设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0为正整数SKIPIF1<0为正整数SKIPIF1<0代入可知SKIPIF1<0不符SKIPIF1<0，故舍去综上所述：