计算机控制技术课件

计算机控制技术

ComputerControlledSystems2023/10/91第5章数字控制器的设计计算机控制技术计算机控制技术

ComputerControlledSy第5章数字控制器的设计一、计算机控制系统的理论基础二、数字控制器的连续化设计方法三、数字控制器的直接设计方法

作业10/9/20232第5章数字控制器的设计第5章数字控制器的设计一、计算机控制系统的理论基础10/9第5章数字控制器的设计数字控制器是计算机控制系统的核心组成部分，是在被控对象数学模型或操作人员的经验基础上进行设计，并用计算机软件实现的某种控制算法。数字控制器的设计方法（1）连续化设计方法

先设计校正装置的传递函数D(s)，然后采用某种离散化方法，将它变成计算机算法。（2）离散化设计方法已知被控对象的传递函数或特性G(Z)，根据所要求的性能指标，设计数字控制器。（3）状态空间设计法（能处理多输入-多输出系统）基于现代控制理论，利用离散状态空间表达式，根据性能指标要求，设计数字控制器。10/9/20233第5章数字控制器的设计第5章数字控制器的设计数字控制器是计算机控制第5章数字控制器的设计计算机控制系统的设计，是指在给定系统性能指标的条件下，设计出控制器的控制规律和相应的数字控制算法。*如果被控对象是一个数字系统，则整个系统是一个“纯粹”的数字系统；*如果被控对象是是连续的，这样组成的计算机系统人们称之为“混合系统”，或“离散系统”。被控对象：其输入输出均为模拟量，是系统的连续部分；数字控制器：可以是计算机，工业控制机或数字控制器等。10/9/20234第5章数字控制器的设计第5章数字控制器的设计计算机控制系统的设计一、计算机控制系统的理论基础研究一个实际的物理系统，首先要解决它的数学模型和分析工具问题。计算机控制系统是一种采样控制系统（数字控制系统），属于离散系统。离散系统的研究方法有很多是与连续系统相对应的。线性连续控制系统线性离散控制系统微分方程差分方程拉普拉斯变换z变换传递函数脉冲传递函数状态方程离散状态方程1、z变换定义及表达式2、z变换的重要性质和定理3、z反变换4、离散系统的传递函数10/9/20235第5章数字控制器的设计一、计算机控制系统的理论基础研究一个实际的物1、Z变换定义及表达式连续信号f(t)的拉普拉斯变换F(s)是复变量的代数函数。一个微分方程通过拉普拉斯变换后可转化为s的代数方程，这样可以大大简化运算；计算机控制系统中的信号是f*(t)，也可以进行拉普拉斯变换。10/9/20236第5章数字控制器的设计1、Z变换定义及表达式连续信号f(t)的拉普拉1、Z变换定义及表达式以一定的时间间隔取得某一个连续变量值的过程，或者将连续时间信号转换成时间离散的脉冲序列的过程，称为采样过程。这些脉冲信号f*(t)即为采样信号。它是时间上离散、幅值上连续的信号。10/9/20237第5章数字控制器的设计1、Z变换定义及表达式以一定的时间间隔取得某1、Z变换定义及表达式连续信号f(t)通过采样周期为T的理想采样后的采样信号f*(t)是一组加权理想脉冲系列。每个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值：因为£所以：引入另一复变量：得：f*(t)的Z变换10/9/20238第5章数字控制器的设计1、Z变换定义及表达式连续信号f(t)通过采1、z变换定义及表达式在实际应用中，所遇到的采样信号的z变换幂级数在收敛域内都对应有一个闭合形式，其表达式是一个“z”的有理式：在讨论系统动态特性时，写成下式：其中，z1，…zm；p1，…pm分别是F(z)的零点和极点。10/9/20239第5章数字控制器的设计1、z变换定义及表达式在实际应用中，所遇到1、Z变换定义及表达式简单函数的Z变换假设函数在t=0时不连续，而t>0时是连续的。在此情况下，设定f(0)=f(0+)解：根据Z变换定义：£＝11t＝00t≠0

求f(t)的Z变换。(1)单位脉冲函数1k＝00k≠0因为：10/9/202310第5章数字控制器的设计1、Z变换定义及表达式简单函数的Z变换解：根据Z变换定义：£1、Z变换定义及表达式(2)单位阶跃函数σ(t)=1t≥00t<0

求f(t)的Z变换。解:根据Z变换定义£＝1+z-1+z-2+z-3+…10/9/202311第5章数字控制器的设计1、Z变换定义及表达式(2)单位阶跃函数σ(t)=11、Z变换定义及表达式(3)单位斜坡函数t

t≥00t<0

求f(t)的Z变换。解:根据Z变换定义£＝T(z-1+2z-2+3z-3+…)10/9/202312第5章数字控制器的设计1、Z变换定义及表达式(3)单位斜坡函数tt≥1、Z变换定义及表达式解:根据Z变换定义£＝1+az-1+a2z-2+a3z-3+…(4)指数序列ak

k≥00k<0

式中a是常数。10/9/202313第5章数字控制器的设计1、Z变换定义及表达式解:根据Z变换定义£＝1+az-1+a1、Z变换定义及表达式解:根据Z变换定义£(5)指数函数e-at

t≥00t<0

式中a是常数。10/9/202314第5章数字控制器的设计1、Z变换定义及表达式解:根据Z变换定义£(5)指数函数e-1、z变换定义及表达式例题：求的z变换。解:当被求函数变量是以s给出时，求它的z变换有两种方法：*先把F(s)利用拉氏反变换求出f(t)，然后将其离散化求出f*(t)，再求其z变换；*将F(s)表示成部分分式，再利用z变换表求其z变换。£-1£所以10/9/202315第5章数字控制器的设计1、z变换定义及表达式例题：求的z变换。解:当被求函数变量1、Z变换定义及表达式Z变换的几点说明：①

显然，上式是关于z的幂级数。只有级数收敛时，才称为采样函数的z变换。②z变换的物理意义表现在延迟性上，级数展开得：

若将z－1的看作移位算子，k为位移量，f(kT)为幅度，则F(z)是单位位移序列的幅度加权和。10/9/202316第5章数字控制器的设计1、Z变换定义及表达式Z变换的几点说明：①显然，上式是1、Z变换定义及表达式③z变换的实质是拉氏变换。由于采样函数是连续函数中的特定点，故z变换也可看作是拉氏变换的一种特例。④

连续函数不存在z变换。

z变换只对采样点有意义，采样函数与z变换是一一对应的。而与连续时间函数之间无一一对应关系。如：单位脉冲序列单位阶跃函数和他们的z变换形式是一样的，但对应的连续函数却不相同。10/9/202317第5章数字控制器的设计1、Z变换定义及表达式③z变换的实质是拉氏变换。④连续函1、Z变换定义及表达式⑤s平面是z平面的映象。在控制系统分析中，如果传递函数的所有极点均位于s平面的左半平面，则线性系统是稳定的。*s域的虚轴将映射到z域的单位圆上；*s域的左半平面将映射到z域的单位圆内；*s域的右半平面将映射到z域的单位圆外。根据转换关系，10/9/202318第5章数字控制器的设计1、Z变换定义及表达式⑤s平面是z平面的映象。*s域的虚2、Z变换的重要性质和定理和拉氏变换一样，Z变换由其定义出发也可以导出一系列关于Z变换的性质和定理，对Z变换的应用有着重要作用。设定f(t)的Z变换F(z)存在，且对于t<0,f(t)=01）乘以常数如果f(t)的Z变换为F(z)，a是一个常数，则££10/9/202319第5章数字控制器的设计2、Z变换的重要性质和定理和拉氏变换一样，Z2、Z变换的重要性质和定理2）线性性质由Z变换的定义可知，Z变换是线性变换。当f1(t)的Z变换为F1(z)，f2(t)的Z变换为F2(z)，a、b是任意常数，如果有：f(t)＝af1(t)＋bf1(t)则有，F(z)＝aF1(z)＋bF2(z)10/9/202320第5章数字控制器的设计2、Z变换的重要性质和定理2）线性性质10/9/2023202、Z变换的重要性质和定理3）实位移定理*若t<0时，f(t)＝0，且F(z)＝£[f(t)]，则

£[f(t－nT)]＝z-nF(z)（滞后性质）£设证明：因为m<0时，f(mT)＝0，则求和下限改为m＝0，£则£即因此，z变换F(z)乘以z－n，相当于时间函数f(t)延迟nT。10/9/202321第5章数字控制器的设计2、Z变换的重要性质和定理3）实位移定理£设证明：因为m<02、Z变换的重要性质和定理3）实位移定理*若t<0时，f(t)＝0，且F(z)＝£[f(t)]，则有（超前性质）£10/9/202322第5章数字控制器的设计2、Z变换的重要性质和定理3）实位移定理£10/9/20232、Z变换的重要性质和定理解：f(t)＝1(t－4T)所以 F(z)＝£[f*(t)]＝£[1(t－4T)]

＝例题：求图示函数的Z变换。£[1(t)]10/9/202323第5章数字控制器的设计2、Z变换的重要性质和定理解：f(t)＝1(t－4T)2、Z变换的重要性质和定理4）初值定理如果f(t)的Z变换为F(z)，且存在，f(k)或f(t)的初值5）终值定理如果f(t)的Z变换为F(z)，且在Z平面的单位圆外无极点，在单位圆上无极点（保证有终值存在），则10/9/202324第5章数字控制器的设计2、Z变换的重要性质和定理4）初值定理如果f(t)的Z变换为3、z反变换与z变换相反，z反变换是将z域函数F(z)变换为时间序列f(k)或采样信号f*(t)。

z反变换记为：

£－1[F(z)]＝f(k)显然，z反变换得到的是一个离散序列。求z反变换有三种方法：长除法、部分分式法、留数法10/9/202325第5章数字控制器的设计3、z反变换与z变换相反，z反变换是将z域3、z反变换长除法（幂级数展开法）对于通过长除法得到幂级数展开式10/9/202326第5章数字控制器的设计3、z反变换长除法（幂级数展开法）对于通过长除法得到幂级数展3、z反变换的z反变换，并写出前五项。例题：求的z反变换，并写出前五项。例题：求10/9/202327第5章数字控制器的设计3、z反变换的z反变换，并写出前五项。例题：求的z反变换，并二、数字控制器的连续化设计方法1、模拟控制器的离散化2、数字PID控制3、数字PID控制算式的改进4、数字PID参数整定方法10/9/202328第5章数字控制器的设计二、数字控制器的连续化设计方法1、模拟控制器的离散化10/91、模拟控制器的离散化模拟（连续）控制器的离散化也称为数字控制器的连续化设计。设计思想是忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器，在s域中按连续系统进行初步设计，求出连续控制器，然后通过某种近似，将连续控制器离散化为数字控制器，并由计算机实现。由于绝大部分工程技术人员对s平面比z平面更为熟悉，因此数字控制器的连续化设计技术被广泛使用。10/9/202329第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化模拟（连续）控制器的离1、模拟控制器的离散化G(s)是被控对象的传递函数；H(s)是零阶保持器，将离散信号转换为连续信号；D(z)是数字控制器。计算机控制系统设计问题：根据已知的性能指标和G(s)来设计数字控制器D(z)。10/9/202330第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化G(s)是被控对象的传递函数；计算机控1、模拟控制器的离散化1）设计假想的连续控制器D(s)

利用连续系统的频率特性法、根轨迹法设计出假想的连续控制器D(s)。

D(s)的各种设计方法可参考自动控制原理方面的资料。设计步骤：10/9/202331第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化1）设计假想的连续控制器D(s)设计步1、模拟控制器的离散化2）选择采样周期T零阶保持器的传递函数：零阶保持器将对控制信号产生附加相移（滞后）。则采样信号f*(t)能无失真地复现原来的连续信号f(t)。，其中：——连续信号f(t)的最高频率，——采样频率，香农（Shannon）采样定理如果对一个具有有限频谱的连续信号f(t)进行连续采样，当采样频率满足：10/9/202332第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化2）选择采样周期T零阶保持器的传递函数1、模拟控制器的离散化对于小的采样周期，可把零阶保持器H(s)近似为：显然，零阶保持器H(s)可用半个采样周期的时间滞后环节来近似。因此，用数字控制器的连续化设计方法，要有相当短的采样周期。假设相位裕量可减少5—15°，采样周期一般选为：10/9/202333第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化对于小的采样周期，可把零阶保持器H(s1、模拟控制器的离散化3）将模拟控制器D(s)离散化为数字控制器D(z)

有很多种方法：双线性变换法、后向差分法、前向差分法、冲击响应不变法、零极点匹配法、零阶保持法等等。（1）双线性变化法由Z变换的定义，，利用级数展开可得，由上式得：则有：10/9/202334第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化3）将模拟控制器D(s)离散化为数字控1、模拟控制器的离散化2）前向差分法由Z变换的定义，，利用级数展开可得，由上式得：则有：10/9/202335第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化2）前向差分法由Z变换的定义，，利用级1、模拟控制器的离散化3）后向差分法由Z变换的定义，，利用级数展开可得，由上式得：则有：10/9/202336第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化3）后向差分法由Z变换的定义，，利用级1、模拟控制器的离散化4）设计由计算机实现的控制算法用时域表示为：上式可写为：其中，n≥m，ai，

bi为实数，有n个极点和m个零点。设数字控制器D(z)有一般形式为：10/9/202337第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化4）设计由计算机实现的控制算法用时域表1、模拟控制器的离散化上式即可实现计算机编程，称之为数字控制器D(z)的控制算法。5）校验控制器D(z)设计完并求出控制算法后，用计算机控制系统的数字仿真来验证，是否满足设计要求。不满足，需要进行修改。10/9/202338第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化上式即可实现计算机编程，1、模拟控制器的离散化第1步：用连续系统的理论确定控制器D(s)；第2步：用合适的离散化方法由D(s)求出D(z)；第3步：检查系统性能是否符合设计要求；第4步：将D(z)变为差分方程，并编制计算机程序；第5步：仿真检验，检查系统的设计与程序编制是否正确。数字控制器的连续化设计方法一般按五步进行：10/9/202339第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化第1步：用连续系统的理论确定控制器D(1、模拟控制器的离散化例题：用双线性变换法将模拟积分控制器离散化为数字控制器。解：整理得：由上式得差分方程：其中，u(k)，e(k)分别是kT时刻D(z)的输出量和输入量。10/9/202340第5章数字控制器的设计1、模拟控制器的离散化例题：用双线性变换法将模拟积分控制器离2、数字PID控制器根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)进行控制，简称PID控制，它是控制系统中应用最为广泛的一种控制规律。实际运行的经验和理论的分析都表明，运用这种控制规律对许多工业过程进行控制时，都能得到满意的效果。用计算机实现PID控制，不是简单把模拟PID控制规律数字化，而是进一步与计算机的逻辑判断功能结合，使PID控制更加灵活，更能满足需求。10/9/202341第5章数字控制器的设计2、数字PID控制器根据偏差的比例(P)、积分2、数字PID控制器1）模拟PID调节器PID控制规律：对应的模拟调节器的传递函数：其中：——比例增益；——积分时间常数；——控制量（控制器输出）；——被控量与给定值的偏差。——微分时间常数；10/9/202342第5章数字控制器的设计2、数字PID控制器1）模拟PID调节器PID控制规律：对应2、数字PID控制器1）模拟PID调节器PID控制规律对控制性能的影响：*比例控制能迅速反映误差，从而减小误差，但比例控制不能消除稳态误差，KP的加大会引起系统的不稳定；*积分控制的作用是，只要系统存在误差，积分控制作用就不断地积累，输出控制量以消除误差。因此只要有足够的时间，积分控制将能完全消除误差，但是积分作用太强会使系统超调加大，甚至使系统出现振荡；*微分控制可以减小超调量，克服振荡，使系统的稳定性提高，同时加快系统的动态响应速度，减小调整时间，从而改善系统的动态性能。10/9/202343第5章数字控制器的设计2、数字PID控制器1）模拟PID调节器PID控制规律对控制2、数字PID控制器2）数字PID控制器在计算机控制系统中，PID控制规律的实现必须用数字逼近的方法。当采样周期相当短时，用求和代替积分，用后向差分代替微分，使模拟PID离散化变为差分方程。（1）数字PID位置型控制算法（2）数字PID增量型控制算法10/9/202344第5章数字控制器的设计2、数字PID控制器2）数字PID控制器10/9/20234（1）数字PID位置型控制算法为了便于计算机实现，必须将上式变换成差分方程。PID控制规律：因此，作如下近似：其中，T是采样周期，k为采样序号。代入上式，得数字PID的位置型控制算式：提供了执行机构的位置u(k)，称为数字PID位置型控制算法10/9/202345第5章数字控制器的设计（1）数字PID位置型控制算法为了便于计算机实现，必须将上式（2）数字PID增量型控制算法根据上式，容易得：累加偏差e(i)，编程及占用较多空间。数字PID的位置型控制算式：——①——②

①－②得：10/9/202346第5章数字控制器的设计（2）数字PID增量型控制算法根据上式，容易得：累加偏差e(（2）数字PID增量型控制算法整理得：其中：——比例增益；——积分系数；——微分系数。为了编程方便，进一步整理上式：数字PID增量型控制算法10/9/202347第5章数字控制器的设计（2）数字PID增量型控制算法整理得：其中：——比例增益；—（3）数字PID控制算法实现比较在控制系统中，如果执行机构采用调节阀，则控制量对应阀门的开度，表征了执行机构的位置，此时控制器应采用数字PID位置型控制算法；在控制系统中，如果执行机构采用步进电机，每个采样周期，控制器输出的输出量，是相对于上次控制量的增加，此时控制器应采用数字PID增量型控制算法；10/9/202348第5章数字控制器的设计（3）数字PID控制算法实现比较在控制系统中，（3）数字PID控制算法实现比较增量型算法与位置型算法相比，具有如下优点：*增量型算法不需要累加，控制量增量的确定仅与最近几次误差采样值有关，计算误差或计算精度问题，对控制量的计算影响较小。而位置型算法要用到过去的误差累加值，容易产生大的累加误差；*增量型算法得出的是控制量的增量，例如在阀门控制中，只输出阀门开度的变化部分，误动作影响小，必要时通过逻辑判断限制或禁止本次输出，不会严重影响系统的工作。而位置型算法的输出是控制量的全量输出，误动作影响大。。*利用增量型控制算法，很容易得到位置型控制算法，10/9/202349第5章数字控制器的设计（3）数字PID控制算法实现比较增量型算法与位置型算法相比，课堂练习1、某系统的连续控制器设计为试用双线性变换法、前向差分法、后向差分法分别求出数字控制器D(z)，并分别给出三种方法的递推控制算法。，2、已知模拟调节器的传递函数为试写出相应数字控制器的位置型和增量型的控制算式，设采样周期T＝0.2s。，10/9/202350第5章数字控制器的设计课堂练习1、某系统的连续控制器设计为试用双线性变换法、前向差3、数字PID控制算式的改进单纯地用数字PID去模仿模拟调节器，不会获得更好的效果，必须发挥计算机运算速度快，逻辑判断功能强、编程灵活等优势，使得控制性能上超过模拟调节器。1、积分项的改进2、微分项的改进3、时间最优控制4、带死区的PID控制算法10/9/202351第5章数字控制器的设计3、数字PID控制算式的改进单纯地用数字PI1、积分项的改进（四种）1）积分分离在一般的PID控制中，当有较大扰动或大幅度改变给定值时，由于此时有较大的偏差，以及系统有惯性和滞后，在积分项的作用下，往往会产生较大的超调和长时间的波动。为避免这种情况，采用积分分离的措施：*当|e(k)|>β,采用PD控制；*当|e(k)|≤β,采用PID控制。积分分离值β，应根据具体对象及控制要求确定：β值过大，则达不到积分分离的目的；β值过小，则一旦被控量y(t)无法跳出各积分分离区，只进行PD控制，将会出现残差。10/9/202352第5章数字控制器的设计1、积分项的改进（四种）1）积分分离10/9/202352第1、积分项的改进2）抗积分饱和因长时间出现偏差或偏差较大时，计算出的控制量有可能溢出，或小于0。所谓溢出就是计算机运算得出的控制量u(k)超出D/A转换器所能表示的数值范围。8位D/A的数据范围是：00H－FFH；设u(k)为FFH时，调节阀全开；设u(k)为00H时，调节阀全关。当执行机构已到极限位置，仍然不能消除偏差时，由于积分作用，尽管PID差分方程所得的运算结果继续增大或减小，但执行机构已无相应的动作，这就称为积分饱和。作为防止积分饱和的办法之一，可对计算出的控制量u(k)限幅，同时，把积分作用切除掉：当u(k)<00H，取u(k)＝0；当u(k)>FFH，取u(k)＝FFH。10/9/202353第5章数字控制器的设计1、积分项的改进2）抗积分饱和10/9/202353第5章1、积分项的改进3）梯形积分在PID控制器中，积分项的作用是消除残差。因此，为了消除残差，应提高积分项的运算精度。为此，可将矩形积分改为梯形积分：10/9/202354第5章数字控制器的设计1、积分项的改进3）梯形积分10/9/202354第5章数1、积分项的改进4）消除积分不灵敏区由PID增量型控制算式：其积分项：由于计算机字长的限制，当运算结果小于字长所能表示的数的精度，计算机就作为“零”将此数舍掉。当计算机的运行字长较短，采样周期T也短，而积分时间TI又较长时，上式容易出现小于字长的精度而丢数，此积分作用消失，称为积分不灵敏区。10/9/202355第5章数字控制器的设计1、积分项的改进4）消除积分不灵敏区其积分项：1、积分项的改进4）消除积分不灵敏区假设，某温度控制系统，温度量程为0—1275℃，A/D转换为8位，采用8位字长定点运算。设KP＝1，T＝1s，TI＝10s，e(k)=50℃，得：

e(k)<50℃，则上式<1，计算机就作为“零”将此数丢掉，控制器就没有积分作用。只有当e(k)达到50℃，才会有积分作用，这样势必造成控制系统的残差。10/9/202356第5章数字控制器的设计1、积分项的改进4）消除积分不灵敏区e(k)<1、积分项的改进4）消除积分不灵敏区为了消除积分不灵敏区，通常采用以下措施：①增加A/D转换位数，加长运算字长，这样可提高运算精度；②当积分项连续n次出现小于输出精度ε的情况时，不要把它们作为“零”丢掉，而是把它们一次次累加起来，当累加值SI大于输出精度ε时，才输出SI

，同时把累加单元清零。10/9/202357第5章数字控制器的设计1、积分项的改进4）消除积分不灵敏区②当积分项连续n次出现小2、微分项的改进(3种）1）不完全微分PID控制算法标准的PID控制算式，对具有高频扰动的生产过程，微分作用响应过于灵敏，容易引起控制过程振荡，降低调节品质。尤其是计算机对每个控制回路输出时间是短暂的，而驱动执行器动作又需要一定时间，如果输出较大，在短暂时间内执行器达不到应有的相应开度，会使输出失真。为了克服这一缺点，同时又使微分作用有效，可以在PID控制输出后串联一个一阶惯性环节，组成了不完全微分PID控制器。10/9/202358第5章数字控制器的设计2、微分项的改进(3种）1）不完全微分PID控制算法10/92、微分项的改进2）微分先行PID控制算法为了避免给定值的升降给控制系统带来冲击，如超调量过大，执行机构动作剧烈。它和标准PID控制的不同之处在于，只对被控量y(t)，不对偏差e(t)微分，也就是说对给定值r(t)无微分作用，因此，对给定值频繁升降的系统无疑是有效的。10/9/202359第5章数字控制器的设计2、微分项的改进2）微分先行PID控制算法10/9/20232、微分项的改进3）微分平滑算法由于微分运算对高频干扰十分敏感，当用后向差商对微分运算离散化时，若输入e(t)或e(t－1)收到了干扰，由于采样周期相对较小，经差商运算后就会将干扰信号放大，控制信号失真。解决办法，采用微分平滑原理，比如若干个采样点的微分平均值作为微分控制器的输出。10/9/202360第5章数字控制器的设计2、微分项的改进3）微分平滑算法10/9/202360第5章4、数字PID参数整定方法1、扩充临界比例度法2、扩充响应曲线法3、PID参数归一法4、PID参数凑试法10/9/202361第5章数字控制器的设计4、数字PID参数整定方法1、扩充临界比例度法10/9/20三、数字控制器的直接设计方法由于控制任务的需要，当所选择的采样周期比较大或对控制质量要求比较高时，必须从被控对象的特性出发，直接根据计算机控制理论（采样控制理论）来设计数字控制器，这类方法称为离散化设计方法，或数字控制器的直接设计方法。1、数字控制器的离散化设计步骤2、最少拍控制器的设计3、最少拍有纹波控制器的设计4、最少拍无纹波控制器的设计5、纯滞后系统10/9/202362第5章数字控制器的设计三、数字控制器的直接设计方法由于控制任务的需1、数字控制器的离散化设计步骤图示计算机控制系统框图，Gc(s)——被控对象的连续传递函数，D(z)——数字控制器的Z传递函数，H(s)——零阶保持器的传递函数，T——采样周期。广义对象的Z传递函数为：则闭环Z传递函数为：10/9/202363第5章数字控制器的设计1、数字控制器的离散化设计步骤图示计算机控制系统框图，则闭环1、数字控制器的离散化设计步骤若已知Gc(s)，且可根据控制系统的性能指标要求构造Ф(z)，则根据和得数字控制器的离散化设计步骤：1）根据控制系统的性能指标和其他约束条件，确定所需的闭环Z传递函数Ф(z)；2）求广义对象的Z传递函数G(z)；3）求数字控制器的Z传递函数D(z)；4）根据D(z)求取控制算法的递推公式，设D(z)的一般形式：得D(z)的计算机控制算法：10/9/202364第5章数字控制器的设计1、数字控制器的离散化设计步骤若已知Gc(s)，2、最少拍控制器的设计在数字随动控制系统中，要求系统的输出值尽快地跟踪给定值地变化，最少拍控制就是为满足这一要求的一种离散化设计方法。所谓最少拍控制，就是要求闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且闭环Z传递函数为：N是正整数，这一形式表明闭环系统的脉冲响应在N个采样周期后变为零，即，系统在N拍达到稳态。1）闭环Z传递函数的确定；2）典型输入下的最少拍控制系统分析；3）最少拍控制系统的局限性。10/9/202365第5章数字控制器的设计2、最少拍控制器的设计在数字随动控制系统中，1）闭环Z传递函数的确定误差E(z)的Z传递函数为：而误差E(z)又可表示为：对于典型输入函数（单位阶跃、单位速度、单位加速度）：q＝1、2、3，B(z)是不含（1－z-1）因子的z-1多项式。10/9/202366第5章数字控制器的设计1）闭环Z传递函数的确定误差E(z)的Z传递函数为：而误差E1）闭环Z传递函数的确定根据Z变换的终值定理，系统的稳态误差为由于B(z)不含（1－z-1）因子，因此要使稳态误差，必须有其中：而：所以：z-1的最高幂次为N＝p＋q10/9/202367第5章数字控制器的设计1）闭环Z传递函数的确定根据Z变换的终值定理，系统的稳态误差1）闭环Z传递函数的确定上式表明，系统闭环响应在采样点的值经N拍可达到稳态。特别当p=0，即F(z)＝1时，系统在采样点的输出可在最少拍（Nmin=q拍）内达到稳态，即为最少拍控制。最少拍控制器设计时，闭环Z传递函数为：z-1的最高幂次为N＝p＋q最少拍控制器：10/9/202368第5章数字控制器的设计1）闭环Z传递函数的确定上式表明，系统闭环响应在采样点的值经2）典型输入下的最少拍控制系统分析①单位阶跃输入(q=1)输入函数r(t)＝1(t)，其Z变换：而，因而有，进一步求得，显然，只需一拍（一个采样周期）输出就能跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。10/9/202369第5章数字控制器的设计2）典型输入下的最少拍控制系统分析①单位阶跃输入(q=1)而2）典型输入下的最少拍控制系统分析②单位速度输入(q=2)输入函数r(t)＝t，其Z变换：而，因而有，进一步求得，显然，只需二拍（2个采样周期）输出就能跟踪输入，达到稳态。10/9/202370第5章数字控制器的设计2）典型输入下的最少拍控制系统分析②单位速度输入(q=2)而2）典型输入下的最少拍控制系统分析③单位加速度输入(q=3)输入函数r(t)＝t2/2

，其Z变换：而，因而有，进一步求得，显然，只需三拍（3个采样周期）输出就能跟踪输入，达到稳态。10/9/202371第5章数字控制器的设计2）典型输入下的最少拍控制系统分析③单位加速度输入(q=3)2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）解：例题1：已知被控对象的传递函数为，采样周期T＝1s。采用零阶保持器，要求针对单位速度输入信号设计最少拍系统的D(z)，并计算输出响应y(k)，控制信号u(k)和误差信号e(k)序列，画出它们对时间变化的波形。10/9/202372第5章数字控制器的设计2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）解：例题1：已知被2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）对于r(t)=t，则闭环Z传递函数则数字控制器：系统输出：即：10/9/202373第5章数字控制器的设计2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）对于r(t)=t，2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）数字控制器输出：即：即：10/9/202374第5章数字控制器的设计2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）数字控制器输出：即2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）根据：10/9/202375第5章数字控制器的设计2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）根据：10/9/22）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）解：对于r(t)=1(t)

，则闭环Z传递函数则数字控制器：系统输出：例题2：已知被控对象的传递函数为，采样周期T＝1s。采用零阶保持器，要求针对单位阶跃输入信号设计最少拍系统的D(z)。10/9/202376第5章数字控制器的设计2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）解：对于r(t)=2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）根据单位阶跃输入设计的最少拍控制器，经调节后，系统对单位阶跃输入的响应输出：10/9/202377第5章数字控制器的设计2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）根据单位阶跃输入设2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）对单位速度输入的响应输出：显然，根据单位阶跃输入信号设计的控制器，无法适应高阶输入，导致输出无法跟踪输入。10/9/202378第5章数字控制器的设计2）典型输入下的最少拍控制系统分析（例题）对单位速度输入的响3）最少拍控制系统的局限性针对一种典型输入函数R(z)设计控制器，得到系统的闭环传递函数，*用于次数较低的输入函数时，系统将出现超调，同时响应时间也会增加，但在采样时刻的误差为零；*用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入，以致产生稳态误差。10/9/202379第5章数字控制器的设计3）最少拍控制系统的局限性针对一种典型输入函数3、最少拍有纹波控制器的设计假设假设是不含滞后部分的传递函数；为纯滞后时间，则（设）设G(z)有u个零点b1、b2、…、bu、和v个极点a1、a2、…、av、在z平面的单位圆上或圆外，G’(z)不包含单位圆上的零极点；当d=0，被控对象不含纯滞后；当d>0，被控对象含d个采样周期的纯滞后。10/9/202380第5章数字控制器的设计3、最少拍有纹波控制器的设计假设假设是不含滞后部分的传递函数3、最少拍有纹波控制器的设计为了避免使G(z)在单位圆上或圆外的零极点与D(z)的零极点对消，同时又能实现对系统补偿，选择系统的闭环Z传递函数必须满足下列约束条件。是G(z)中不含单位圆上或圆外的零极点部分。由：10/9/202381第5章数字控制器的设计3、最少拍有纹波控制器的设计为了避免使G(z3、最少拍有纹波控制器的设计1）误差E(z)的Z传递函数的零点中，必须包含G(z)在z平面单位圆外或单位圆上的所有极点，即：F1(z)为z-1的多项式，且不包含G(z)中的不稳定极点aj。若G(z)有j个极点在单位圆上，即z＝1，则修正上式①若j≤

q②若j>q阶数：阶数：10/9/202382第5章数字控制器的设计3、最少拍有纹波控制器的设计1）误差E(z)的Z传递函数的零3、最少拍有纹波控制器的设计2）闭环系统的Z传递函数的零点中，必须包含G(z)在z平面单位圆外或单位圆上的所有零点，即F2(z)为z-1的多项式，且不包含G(z)中的不稳定零点bj。阶数：10/9/202383第5章数字控制器的设计3、最少拍有纹波控制器的设计2）闭环系统的Z传递函数的零点中3、最少拍有纹波控制器的设计3）F1(z)、F2(z)阶数的确定原则：根据确定Ф(z)必须满足的约束条件，求得最少拍控制器：①若G(z)有j个极点在单位圆上（即z＝1），当j≤

q，有和阶数相等②若G(z)有j个极点在单位圆上（即z＝1），当j>q，有10/9/202384第5章数字控制器的设计3、最少拍有纹波控制器的设计3）F1(z)、F2(z)阶3、最少拍有纹波控制器的设计根据上述的约束条件设计的最少拍控制系统，保证了在最少的几个采样周期后系统的响应在采样点时是稳态误差为零；但是，不能保证任意两个采样点之间的稳态误差为零，这种控制系统输出信号y(t)的纹波在采样点上观测不到。我们可以从系统的控制器输出发现这种情况，即，尽管在若干拍后，采样点的误差输出已为零，但是，控制器还有变化的输出。10/9/202385第5章数字控制器的设计3、最少拍有纹波控制器的设计根据上述的约束条3、最少拍有纹波控制器的设计（例题）例题：已知被控对象的传递函数为，采样周期T＝1s。采用零阶保持器，要求针对单位速度输入信号设计最少拍有纹波系统，画出数字控制器和系统的输出波形。解：上式中，d=0，u=0，v=1，j=1，q=2，且j≤q

，则有：

m=u+d＝0 n=v-j+q＝2对单位速度输入信号，选择10/9/202386第5章数字控制器的设计3、最少拍有纹波控制器的设计（例题）例题：已知被控对象的传递3、最少拍有纹波控制器的设计（例题）根据上两式，有根据多项式相等，其系数相等的的性质，有所以，10/9/202387第5章数字控制器的设计3、最少拍有纹波控制器的设计（例题）根据上两式，有根据多项式3、最少拍有纹波控制器的设计（例题）进一步，求得10/9/202388第5章数字控制器的设计3、最少拍有纹波控制器的设计（例题）进一步，求得10/9/23、最少拍有纹波控制器的设计（例题）根据：10/9/202389第5章数字控制器的设计3、最少拍有纹波控制器的设计（例题）根据：10/9/20234、最少拍无纹波控制器的设计按最少拍有纹波系统设计的控制器，其系统的输出值跟踪输入值后，在非采样点有纹波存在；原因就在于数字控制器的输出序列u(k)经过若干拍后，不为常值或零，而是振荡收敛的；非采样时刻的纹波现象不仅造成非采样时刻的偏差，而且浪费执行机构的功率，增加设备磨损，因此必须消除。1）设计最少拍无纹波控制器的必要条件；2）最少拍无纹波系统确定Ф(z)的约束条件；3）最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的方法;4）无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等G(z)在单位圆内的零点数。10/9/202390第5章数字控制器的设计4、最少拍无纹波控制器的设计按最少拍有纹波系1）设计最少拍无纹波控制器的必要条件无纹波系统要求系统的输出信号在采样点之间不产生纹波，必须满足：①对阶跃输入，当t≥NT时，有y(t)=常数；②对速度输入，当t≥NT时，有y’(t)=常数；③对加速度输入，当t≥NT时，有y’’(t)=常数；这样，被控对象GC(s)必须有能力给出与系统r(t)相同且平滑的输出。如果针对速度输入函数进行设计，那么稳态过程中GC(s)的输出也必须是速度函数，这样至少要有一个积分环节，使得控制信号u(k)为常值(包括0)时，GC(s)的稳态输出是所要求的速度函数；同理，针对加速度输入函数设计的无纹波控制器，至少要有两个积分环节。因此，设计最少拍无纹波控制器时，必须有足够的积分环节。10/9/202391第5章数字控制器的设计1）设计最少拍无纹波控制器的必要条件无纹波2）最少拍无纹波系统确定Ф(z)的约束条件要使系统的稳态输出无纹波，就要求稳态时的控制信号u(k)为常值（包括0）。控制信号u(k)的Z变换：如果系统经过l个采样周期到达稳态，无纹波要求：如果系统经过l个采样周期到达稳态，无纹波要求：系统的闭环Z传递函数应包含G(z)的所有零点。w为G(z)所有零点数。10/9/202392第5章数字控制器的设计2）最少拍无纹波系统确定Ф(z)的约束条件要3）最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的方法确定Ф(z)必须满足下列条件：①被控对象中含有足够的积分环节，以满足无纹波系统设计的必要条件；②按③按选择Ф(z)；和选择Фe(z)；10/9/202393第5章数字控制器的设计3）最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的方法确定Ф(z)必须满足3）最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的方法④F1(z)、F2(z)阶数的选取方法如下：*若G(z)有j个极点在单位圆上，即z＝1，当j≤

q，有

m=w+d n=v-j+q*若G(z)有j个极点在单位圆上，即z＝1，当j>q，有

m=w+d n=v10/9/202394第5章数字控制器的设计3）最少拍无纹波控制器确定Ф(z)的方法④F1(z)、F24）无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等于G(z)在单位圆内的零点数(例题）例题：已知被控对象的传递函数为，采样周期T＝1s。采用零阶保持器，要求针对单位速度输入信号设计最少拍无纹波系统，画出数字控制器和系统的输出波形。解：满足无纹波设计的必要条件，且，d=0，v=1，w=1，j=1，q=2，且j<q

，则有：

m=w+d＝1 n=v-j+q＝2对单位速度输入信号，选择10/9/202395第5章数字控制器的设计4）无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等于G(z)4）无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等于G(z)在单位圆内的零点数(例题）而因为故展开有对应项相等：10/9/202396第5章数字控制器的设计4）无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等于G(z)4）无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等G(z)在单位圆内的零点数(例题）故有10/9/202397第5章数字控制器的设计4）无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等G(z)在4）无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等G(z)在单位圆内的零点数(例题）由10/9/202398第5章数字控制器的设计4）无纹波系统的调整时间要增加若干拍，增加的拍数等G(z)在最少拍有纹波与无纹波控制器的设计方法比较两者之间的唯一区别是：*有纹波设计时，Ф(z)包含G(z)单位圆上和圆外的零点；*无纹波设计时，Ф(z)包含G(z)所有的零点。为了消除纹波，Ф(z)增加零点的代价，是延长了系统消除偏差的时间。10/9/202399第5章数字控制器的设计最少拍有纹波与无纹波控制器的设计方法比较两者之间的唯一区别是5、纯滞后系统在工业生产中，大多数过程对象具有较长的纯滞后时间。物料或能量传输需要时间，当这个传输时间不能忽略时，就以纯滞后时间表现在系统中。纯滞后的含义是指系统的输出仅在时间轴上推迟（或延迟）了一定的时间，其余特性不变。纯滞后将引起较大的超调，降低系统的稳定性。对于纯滞后系统，人们更关心的使如何使超调量达到期望值，而对快速性未作太严格的要求。1）史密斯预估算法2）达林算法10/9/2023100第5章数字控制器的设计5、纯滞后系统在工业生产中，大多数过程对象具1）史密斯预估算法解决问题的思路，预先估计滞后值的大小，给予补偿，使总的等效值不含滞后效应。纯滞后系统，即被控对象的传递函数为：闭环传递函数为：系统的闭环特征方程为：10/9/2023101第5章数字控制器的设计1）史密斯预估算法解决问题的思路，预先估计滞后值1）史密斯预估算法补偿原理图：满足关系式：补偿器的数学模型为：显然，补偿后，纯滞后将控制作用与输出，在时间轴上推迟了一定的时间而已。补偿后的整个系统的传递函数为：10/9/