2024届江西省重点中学协作体高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2024届江西省重点中学协作体高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设P为函数图象上一点，O为坐标原点，则的最小值为（）A.2 B.C. D.2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A.，B.，C.，D.，3．设P是△ABC所在平面内的一点，，则A. B.C. D.4．对于两条不同的直线l1,l2,两个不同的平面α，β，下列结论正确的A.若l1∥α，l2∥α，则l1∥l2 B.若l1∥α，l1∥β，则α∥βC若l1∥l2，l1∥α，则l2∥α D.若l1∥l2，l1⊥α，则l2⊥α5．已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）A.2 B.3C.4 D.56．方程的根所在的区间为A. B.C. D.7．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A. B.C. D.8．幂函数的图象过点，则（）A. B.C. D.9．已知集合，，，则（）A. B.C. D.10．的值是A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知为偶函数，当时，，当时，，则不等式的解集为__________12．已知扇形的周长为8，则扇形的面积的最大值为_________，此时扇形的圆心角的弧度数为________13．不等式的解集是___________.（用区间表示）14．等于_______.15．不等式的解集是_____________________16．已知函数，若是上的单调递增函数，则的取值范围是__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，，当时，恒有（1）求的表达式及定义域；（2）若方程有解，求实数的取值范围；（3）若方程的解集为，求实数的取值范围18．已知函数，（1）证明在上是增函数；（2）求在上的最大值及最小值.19．已知函数.（1）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；（2）若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围.（可能用到的不等关系参考：若，且，则有）20．已知函数，，.（1）若，求函数的解析式；（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.21．(1)试证明差角的余弦公式：；(2)利用公式推导：①和角的余弦公式，正弦公式，正切公式；②倍角公式，，.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及基本不等式的公式，即可求解【题目详解】为函数的图象上一点，可设，，当且仅当，即时，等号成立故的最小值为故选：2、C【解题分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.【题目详解】解：由题意得：对于选项A：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A错误；对于选项B：的定义域为，的定义域为，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B错误；对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.故选：C3、B【解题分析】由向量的加减法运算化简即可得解.【题目详解】,移项得【题目点拨】本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题.4、D【解题分析】详解】A.若l1∥α，l2∥α，则两条直线可以相交可以平行，故A选项不正确；B.若l1∥α，l1∥β，则α∥β，当两条直线平行时，两个平面可以是相交的，故B不正确；C.若l1∥l2，l1∥α，则l2∥α，有可能在平面内，故C不正确；D.若l1∥l2，l1⊥α，则l2⊥α，根据课本的判定定理得到是正确的.故答案为D.5、B【解题分析】采用列举法列举出中元素的即可.【题目详解】由题意，，故中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.6、C【解题分析】令函数，则方程的根即为函数的零点再根据函数零点的判定定理可得函数零点所在区间【题目详解】令函数，则方程的根即为函数的零点，再由，且，可得函数在上有零点故选C【题目点拨】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题7、B【解题分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间【题目详解】解：函数在其定义域上单调递增，（2），（1），（2）（1）根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，故选【题目点拨】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题8、C【解题分析】将点代入中，求解的值可得，再求即可.【题目详解】因为幂函数的图象过点，所以有：，即.所以，故，故选：C.9、C【解题分析】解一元二次不等式求出集合，解不等式求出集合，再进行交集运算即可求解.【题目详解】因为，，所以，故选：C.10、B【解题分析】由余弦函数的二倍角公式把等价转化为，再由诱导公式进一步简化为，由此能求出结果详解】，故选B【题目点拨】本题考查余弦函数的二倍角公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式的灵活运用，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】求出不等式在的解，然后根据偶函数的性质可得出不等式在上的解集.【题目详解】当时，令，可得，解得，此时；当时，令，解得，此时.所以，不等式在的解为.由于函数为偶函数，因此，不等式的解集为.故答案为：.【题目点拨】本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中等题.12、①.4②.2【解题分析】根据扇形的面积公式，结合配方法和弧长公式进行求解即可.【题目详解】设扇形所在圆周的半径为r，弧长为l，有，，此时，，故答案为：；13、【解题分析】根据一元二次不等式解法求不等式解集.【题目详解】由题设，，即，所以不等式解集为.故答案为：14、【解题分析】直接利用诱导公式即可求解.【题目详解】由诱导公式得：.故答案为：.15、【解题分析】利用指数函数的性质即可求解.【题目详解】，即，故答案为：.16、【解题分析】利用函数的单调性求出a的取值范围，再求出的表达式并其范围作答.【题目详解】因函数是上的单调递增函数，因此有，解得，所以.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）；（3）【解题分析】（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式；（2）转化为，解得，可求出满足条件的实数的取值范围.（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.【题目详解】（1）∵当时，，即，即，整理得恒成立，∴，又，即，从而∴，∵，∴，或，∴的定义域为（2）方程有解，即，∴，∴，∴，∴，或，解得或，∴实数的取值范围（3）方程的解集为，∴，∴，∴，方程的解集为，故有两种情况：①方程无解，即，得，②方程有解，两根均在内，，则解得综合①②得实数的取值范围是【题目点拨】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.18、（1）证明见解析；（2）当时，有最小值2；当时，有最大值.【解题分析】（1）根据单调性的定义，直接证明，即可得出结论；（2）根据（1）的结果，确定函数在给定区间的单调性，即可得出结果.【题目详解】（1）证明：在上任取，，且，，，，，，，即，故在上是增函数；（2）解：由（1）知：在上是增函数，当时，有最小值2；当时，有最大值.【题目点拨】本题主要考查证明函数单调性，以及由函数单调性求最值，属于常考题型.19、（1）2；（2）.【解题分析】(1)确定函数的对称轴，从而可得函数的单调性，利用的定义域和值域均是，建立方程，即可求实数的值；(2)由函数的单调性得出在单调递减，在单调递增，从而求出在上的最大值和最小值，进而求出实数的取值范围.【小问1详解】易知的对称轴为直线，故在上为减函数，∴在上单调递减，即，，代入解得或（舍去）.故实数的值为2.【小问2详解】∵在是减函数，∴.∴在上单调递减，在上单调递增，又函数的对称轴为直线，∴，，又，∴.∵对任意的，总有，∴，即，解得，又，∴，即实数的取值范围为.20、（1）（2）见解析.【解题分析】(1)由求a的值即可；(2)根据a的大小分类讨论即可.【小问1详解】；【小问2详解】任取，且，则，，，①时，，在单调递增；②时，(i)时，单调递减；(ii)时，单调递增；即时，f(x)在单调递减，在单调递增；③时，，在单调递减.综上所述，时，在单调递增；时，f(x)在单调递减，在单调递增；时，在单调递减.21、（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析【解题分析】在单位圆里面证明，然后根据诱导公式即可证明和，利用正弦余弦和正切的关系即可证明；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的