2022-2023学年江西省宜春市高一下学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年江西省宜春市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．设全集，，则）等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得，根据集合的交集运算，即得答案.【详解】由题意，则，故，故选：C2．已知，且，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由不等式的性质，结合必要不充分性的定义即可判断.【详解】由，得，当，均为负数时，显然不成立，充分性不成立.由，得，即，必要性成立.故选:B3．已知平面向量，满足，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.【详解】由知：，可得，所以在上的投影向量为.故选：A4．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是A．y＝sin(2x＋) B．y＝sin(2x＋) C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x－)【答案】D【分析】结合正弦函数的周期公式及正弦函数在对称轴处取得函数的最值即可进行判断即可.【详解】对于：，当时，，不是最值，不满足题意；对于：，当时，，不是最值，不满足题意；对于：，当时，不是最值，不满足题意；对于D：，当时，，且最小正周期，符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查函数的周期性和图象的对称性，属于基础题．5．已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】结合函数奇偶性、单调性，以及指数函数单调性来比较大小；【详解】由题意知函数为定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则，且在上单调递增，所以，因为，所以，即；故选：A6．若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零.【详解】令，则函数为减函数，又函数为增函数，所以函数是减函数，故在区间上的最大值是，最小值是，由题设得，则，所以，解得，故实数的取值范围是.故选：A.7．某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为，乙队和丙队答对该题的概率都是.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题.则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据独立事件的乘法公式计算即可.【详解】解：记“甲队答对该题”为事件A，“乙队答对该题”为事件B，“丙队答对该题”为事件C，则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率，故选：C.8．已知（为常数），若在上单调，且，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据在上单调，可得，再由求得的一条对称轴和一个对称中心，进而求得，再求的值.【详解】对于函数，，因为在上单调，所以，即.又，所以为的一条对称轴，且即为的一个对称中心，因为，所以和是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，即，所以，所以，又为的一个对称中心，则，，则，，当时，.故选：A.二、多选题9．下面命题中是假命题的有（

）A．若，则B．若，则是第一象限角或第二象限角C．若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为8D．若角的顶点是原点，始边是轴的非负半轴，终边过点，且，则【答案】ABD【分析】AB可举出反例，C可计算出弧长，进而计算出周长；D选项，由三角函数定义求出，从而得到.【详解】A选项，若，满足，但，A为假命题；B选项，若，满足，但此时不是象限角，而是轴线角，B为假命题；C选项，若一个扇形所在圆的半径为2，其圆心角为2弧度，则扇形的弧长为，故扇形周长为，C为真命题；D选项，由题意得：，则，则，D为假命题.故选：ABD10．下列命题正确的是（

）A．“平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线”是全称量词命题；B．命题“，都有”的否定是“”；C．“”是“”成立的必要不充分条件；D．幂函数的图象与坐标轴没有公共点的充要条件是．【答案】AC【分析】A.由全称量词命题的定义判断；B.由含有一个量词的命题的否定判断；C.由充分条件和必要条件的定义判断；D.由时，判断.【详解】A.“平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线”这里的圆包含所有的圆，是全称量词命题，故A正确；B.命题“，都有”的否定是“”，故B错误；C.“”推不出“”成立，而“”能推出“”成立，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确；D.幂函数的图象与坐标轴没有公共点的充要条件是，故D错误．故选：AC11．某市举行高中英语演讲比赛，已知12位评委对某位选手评分具体如下（满分10分）：7.0，7.5，7.8，7.8，8.2，8.3，8.5，8.7，9.1，9.2，9.9，10，则下列说法正确的是（

）A．中位数为8.3B．极差为3C．的分位数为9.15D．去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分【答案】BCD【分析】计算出12位评委对某位选手评分的中位数、极差、以及的分位数，判断A，B，C；根据平均数的计算可判断D.【详解】由题意可知中位数为，A错误；极差为，B正确；由于，故的分位数为，C正确；这位同学的平均分为，去掉最高分和最低分后的平均分为，即去掉最高分和最低分，不会影响到这位同学的平均得分，D正确；故选：BCD12．在等腰直角中，角，，所对的边分别为，，，，，是边上一个动点，则下列说法中正确的是（

）A．若是三等分点，则 B．若，则C．对任意的， D．对任意的，【答案】ABD【分析】根据题意，以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，则，然后逐个分析判断即可.【详解】因为等腰直角中，角，，所对的边分别为，，，，，所以，即，如图，以为坐标原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，则，对于A，因为是三等分点，所以或，所以或，所以，即，所以A正确，对于B，因为，所以，由，得，所以，即，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，当时取等号，所以C错误，对于D，因为，所以，所以，当时取等号，所以D正确，故选：ABD三、填空题13．若，则．【答案】【分析】由已知可得，然后根据诱导公式即可得出答案.【详解】因为，所以，.故答案为：.14．已知幂函数满足，则.【答案】【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可.【详解】因为函数为幂函数，则，解得或，又因为，所以，故答案为：.15．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为.【答案】6【分析】设矩形空地的长为m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果.【详解】设矩形空地的长为m，则宽为m，依题意可得，试验区的总面积，当且仅当即时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为.故答案为：6四、双空题16．如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边形边长为1．设，则；是平面图形边上的动点，则的取值范围是．【答案】1【分析】建立平面直角坐标系，利用相等向量的坐标相等，列式求解；设，求出，通过直线平移即可求解的取值范围.【详解】建立以为原点，如图所示的平面直角坐标系，连接，因为六边形为正六边形，所以，，作于，所以，，所以，，，所以，，设，，，所以，所以如图所示，在平面直角坐标系中，其中，作直线，平移使之经过多边形内每一个点，当直线经过线段时，取得最大值，当当直线经过线段时，取得最小值.故答案为：；五、解答题17．平面内给定三个向量，，．（1）求满足的实数，；（2）若，求实数．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用平面向量的坐标表示列出方程组，可得实数，；（2）利用平面向量共线的坐标公式列出方程求出实数．【详解】（1）由题意得，，，；；解得；（2）；；；解得．18．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）求；（2）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．【答案】（1）；（2）74；（3）．【分析】（1）利用小矩形的面积之和等于即可求解.（2）根据频率分布直方图，由小矩形底边中点横坐标与小矩形面积乘积之和即可求解.（3）根据频率分布直方图得出频率比，从中任选2人列出基本事件个数，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】解：（1）根据频率分布直方图得：（2）根据频率分布直方图得：，（3）由于，和的频率之比为：1∶2∶2，故抽取的5人中，和分别为：1人，2人，2人，记的1人为，的2人为，，的2人为，故随机抽取2人共有，，，，，，，，，10种，其中至少有1人每天阅读时间位于的包含7种，故概率．19．已知函数，求．判断并证明函数的奇偶性；已知，求a的值．【答案】（1）1；（2）；（3）100.【分析】将x=1代入计算即可；先求定义域并判断是否关于原点对称，然后用奇偶性定义判断；先计算f（lga），再解方程可得．【详解】；要使函数有意义，则，解得，函数的定义域为；，函数为奇函数．，，且，解得．．【点睛】本题考查了函数奇偶性定义证明及对数的运算性质，属基础题．20．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；(2)将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的零点.【答案】(1)(2)零点为0与.【分析】（1）由图象可得，，即，再代入点即得解；（2）先通过图象变换得到，再令可得答案.【详解】（1）由图象可得，，则，即，∴，由图象得，即，∴，，则，，又，∴，故；（2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函，∴，令，则或，解得，，或，，又，∴或，即函数在内的零点为0与.21．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（毫克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后与之间的函数关系式；(2)进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于毫克时，药物对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间．【答案】(1)(2)小时【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，将点的坐标代入函数的解析式，由此可得出函数的解析式；（2）解不等式，即可得解.【详解】（1）解：当时，设函数的解析式为，将点的坐标代入得，此时；当时，函数的解析式为，将点的坐标代入得，所以．综上，.（2）解：当时，由，可得；当时，由，可得.所以，不等式的解集为.因为，服药一次治疗疾病的有效时间为小时．22．已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.(1)若满足性质，且，求的值；(2)若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）(3)若函数满足性质，求证：函数存在零点.【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；（2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.【详解】（1）因为