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文档简介

*2.3垂径定理

如图，在⊙O中，AB是任意一条弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于E。试问：BADCEO动脑筋

AE与BE，与，与分别相等吗？因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，点A与点B重合，AE与BE重合，与重合，与

重合.

=，=.即

AE

=BE，12下面我们来证明这个结论：如图，连接OA，OB。∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形。又∵OE⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD.从而∠AOC=∠BOC.所以=，=.BADCEO由此得到垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.解连接OA.设OA=rcm，则OE=(r－2)(cm).∵OE⊥AB，∴AE=BE=4cm.在Rt△AEO中，OA2=OE2＋AE2

，BADCEO例1

如图，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于E.DE=2cm，求⊙O的直径CD的长.即r2=(r

－2)2＋42

，解得r=5.∴CD=2r=10cm.例2证明：圆的两条平行弦所夹弧相等．EF证明：作直径EF⊥弦AB，∴EF⊥CD.

已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行。又∵AB∥CD，EF⊥AB，ABCDO∴=.∴=.求证:=.因此－=－.

即=.（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧。………()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心。……()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分。…………………()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。……………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分。（）×√××√判断正误练习如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于D，求BD的长.解：∴BC2

=AB2

－AC2，∵

OD⊥BC，∴∠C=900.ODCAB∵AB是⊙O的直径，=102

－82=36.∴BC=6cm.∴BD=CD=3cm.练习.AOBECD

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