湘赣粤名校2024届高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析

湘赣粤名校2024届高一数学第一学期期末联考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知为钝角，且，则（）A. B.C. D.2．已知函数，则函数的零点所在的区间是A. B.C. D.3．“”是“为锐角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件4．函数（）的零点所在的一个区间是（）A. B.C. D.5．已知函数，若，且当时，则的取值范围是A. B.C. D.6．若幂函数的图像经过点，则A.1 B.2C.3 D.47．已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形的圆心角的弧度数为（）A. B.C. D.8．如图，在三棱锥中，，分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG.则下列结论中不一定成立的是（）A. B.C.平面 D.平面9．下列四个函数中，在上为增函数的是（）A. B.C. D.10．若两条平行直线与之间的距离是，则m+n=A.0 B.1C.-2 D.-1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________12．_____13．若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，若函数和之间存在隔离直线，则实数的取值范围是______14．已知与之间的一组数据如下，且它们之间存在较好的线性关系，则与的回归直线方程必过定点__________15．如图，已知圆柱的轴截面是矩形，，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为__________16．在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，，的纵坐标分别为，.则的终边与单位圆交点的纵坐标为_____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设函数是定义域为R的奇函数.（1）求；（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.18．某校高一（1）班共有学生50人,据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是元,经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成：一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价（元/桶）与年购买总量（桶）之间满足如图所示的关系.（Ⅰ）求与的函数关系；（Ⅱ）当为120时,若该班每年需要纯净水380桶,请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比,哪一种花钱更少？19．已知函数（Ⅰ）求在区间上的单调递增区间；（Ⅱ）若，，求值20．已知函数是上的奇函数（1）求；（2）用定义法讨论在上的单调性；（3）若在上恒成立,求的取值范围21．已知，，求，的值；求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】先求出，再利用和角的余弦公式计算求解.【题目详解】∵为钝角，且，∴，∴故选：C【题目点拨】本题主要考查同角的平方关系，考查和角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、A【解题分析】根据初等函数的性质得到函数的单调性，再由得答案【题目详解】∵函数和在上均为增函数，∴在上为单调增函数，∵，，∴函数的零点所在的区间是，故选A【题目点拨】本题主要考查了函数零点的判定，考查了初等函数的性质，属于基础题3、B【解题分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【题目详解】解：因为为锐角，所以，所以，所以“”是“为锐角”的必要条件；反之，当时，，但是不是锐角，所以“”是“为锐角”的非充分条件.故“”是“为锐角”必要不充分条件.故选：B.【题目点拨】本题主要考查充分条件与必要条件，与角的余弦在各象限的正负，属于基础题.4、C【解题分析】将各区间的端点值代入计算并结合零点存在性定理判断即可.【题目详解】由，，，所以，根据零点存在性定理可知函数在该区间存在零点.故选：C5、B【解题分析】首先确定函数的解析式，然后确定的取值范围即可.【题目详解】由题意可知函数关于直线对称，则，据此可得，由于，故令可得，函数的解析式为，则，结合三角函数的性质，考查临界情况：当时，；当时，；则的取值范围是.本题选择B选项.【题目点拨】本题主要考查三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6、B【解题分析】由题意可设，将点代入可得，则，故选B.7、A【解题分析】由扇形的面积公式即可求解.【题目详解】解：设扇形圆心角的弧度数为，则扇形面积为，解得，因为，所以扇形的圆心角的弧度数为4.故选：A8、D【解题分析】利用线面平行的判定和性质对选项进行排除得解.【题目详解】对于，，分别为，的中点，，EF与平面BCD平行过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，，，故AB正确；对于，，平面，平面，平面，故正确；对于，的位置不确定，与平面有可能相交，故错误.故选:D.【题目点拨】熟练运用线面平行的判定和性质是解题的关键.9、C【解题分析】A.利用一次函数的性质判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用反比例函数的性质判断；D.由，利用一次函数的性质判断；【题目详解】A.由一次函数的性质知：在上为减函数，故错误；B.由二次函数的性质知：在递减，在上递增，故错误；C.由反比例函数的性质知：在上递增，在递增，则在上为增函数，故正确；D.由知：函数在上为减函数，故错误；故选：C【题目点拨】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.10、C【解题分析】根据直线平行得到，根据两直线的距离公式得到，得到答案.【题目详解】由，得，解得，即直线，两直线之间的距离为，解得(舍去)，所以故答案选C.【题目点拨】本题考查了直线平行，两平行直线之间的距离，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、##【解题分析】根据幂函数的定义设函数解析式，将点的坐标代入求解即可.【题目详解】由题意知，设幂函数的解析式为为常数)，则，解得，所以.故答案为：12、【解题分析】利用根式性质与对数运算进行化简.【题目详解】，故答案为：613、【解题分析】由已知可得、恒成立，可求得实数的取值范围.【题目详解】因为函数和之间存在隔离直线，所以，当时，可得对任意的恒成立，则，即，当时，可得对恒成立，令，则有对恒成立，所以或，解得或，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.14、【解题分析】因为与的回归直线方程必过定点则与的回归直线方程必过定点.即答案为.15、【解题分析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是矩形，AA1=2AB所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2故答案为：2.点睛：求两条异面直线所成角关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交，然后再同一平面内求相交直线所成角，值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置.16、【解题分析】根据任意角三角函数的定义可得，，，，再由展开求解即可.【题目详解】以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，，的纵坐标分别为，所以，是锐角，可得，因为锐角的终边与单位圆相交于Q点，且纵坐标为，所以，是锐角，可得，所以，所以的终边与单位圆交点的纵坐标为.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解题分析】（1）根据是定义域为R的奇函数，由求解；（2），得到b的范围，从而得到函数的单调性，将对一切恒成立，转化为对一切恒成立求解；（3）根据函数的图象过点，求得b，得到，令，利用复合函数求最值的方法求解.【小问1详解】解：函数是定义域为R的奇函数，所以，解得，此时，满足；【小问2详解】因为，所以，解得，所以在R上是减函数，等价于，所以，即，又因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，所以，解得，所以实数k的取值范围是；【小问3详解】因为函数的图象过点，所以，解得，则，令，则，当时,是减函数，，因为函数在上的最大值为2，所以，即，解得，不成立；当时，是增函数，，因为函数在上最大值为2，所以，即，解得或（舍去），所以存在正数，使函数在上的最大值为2.18、（Ⅰ）;（Ⅱ）该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少.【解题分析】(Ⅰ)根据题意设出直线方程,再代入图示数据,即可得出与的函数关系;(Ⅱ)分别求出两种情形下的年花费费用,进行比较即可.【题目详解】(Ⅰ)根据题意,可设,时,;时,,,解得,所以与的函数关系为:;(Ⅱ)该班学生购买饮料的年费用为(元),由(Ⅰ)知,当时,,故该班学生购买纯净水的年费用为:(元),比购买饮料花费少,故该班学生集体改饮桶装纯净水花钱更少.【题目点拨】本题考查函数模型的选取及实际应用,属于简单题.19、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解题分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，求得函数在上的单调递增区间，与取交集可得出结果；（Ⅱ）由可得出，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，利用两角和的正弦公式可求得的值【题目详解】（Ⅰ）令，，得，令，得；令，得.因此，函数在区间上的单调递增区间为，；（Ⅱ）由，得，，又，，因此，【题目点拨】本题考查正弦型函数的单调区间的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.20、（1）；（2）是上的增函数；（3）.【解题分析】（1）利用奇函数的定义直接求解即可；（2）用函数的单调性的定义，结合指数函数的单调性直接求解即可；（3）利用函数的奇函数的性质、单调性原问题可以转化为在上恒成立，利用换元法，再转化为一元二次不等式恒成立问题，分类讨论，最后求出的取值范围.【题目详解】（1）函数是上的奇函数即即解得；（2）由（1）知设,则故,,故即是上的增函数（3）是上的奇函数,是上的增函数在上恒成立等价于等价于在上恒成立即在上恒成立“*”令则“*”式等价于对时恒成立“**”①当,即时“**”为对时恒成立②当,即时,“**”对时恒成立须或解得综上,的取值范围是【题目点拨】本题考查了奇函数的定义，考查了函数单调性的定义，考查了指数函数的单调性的应用，考查了不等式恒成立问题，考查了换元法，考查了数学运算能力.21、（1），；（2）.【解题分