2022年湖南省常德市新兴中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022年湖南省常德市新兴中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等比数列的公比，前n项和为，则A.

B.

C. 4

D.2参考答案：A略2.设角属于第二象限，且，则角属于（

）A.第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限参考答案：C略3.若f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a≥﹣3参考答案：C【考点】3W：二次函数的性质．【分析】先由f（x）=x2+2（a﹣1）x+2得到其对称，再由f（x）在区间（﹣∞，4）上是减函数，则对称轴在区间的右侧，所以有1﹣a≥4，计算得到结果．【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x=1﹣a，∵f（x）在区间（﹣∞，4）上是减函数，开口向上，则只需1﹣a≥4，即a≤﹣3．故选：C．4.设函数定义在实数集R上，，且当时=，则有 A． B． C． D．参考答案：C由可知函数关于直线对称，所以，且当时，函数单调递增，所以，即，即选C.5.关于x的方程至少有一个正的实根,则a的取值范围是（

）A．a≥0

B．－1≤a＜0

C．a≥－1

D．a＞0或－1＜a＜0

参考答案：C略6.复数的共轭复数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.已知不平行于坐标轴的直线l与以原点O为中心的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两及其两条渐近线从左到右依次交于A，B，C，D不同的四点，则下列一定成立的是（）A．|AD|=2|BC| B．|AB|=|BC|=|CD| C．+=+ D．?=?参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设l的方程为y=kx+m，分别设A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），C（x4，y4），分别根据韦达定理求出并得到x1+x2=x3+x4，同理得到y1+y2=y3+y4，根据向量的坐标运算得到=+，故结论一定成立的选项即得到【解答】解：如图所示：设l的方程为y=kx+m，代入双曲线方程并整理得：（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2（m2+b2）=0，设A（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=再将y=kx+m代入双曲线渐近线方程b2x2﹣a2y2=0并整理得（b2﹣a2k2）x2﹣2a2kmx﹣a2m2=0．设B（x3，y3），C（x4，y4），则x3+x4=∴x1+x2=x3+x4，同理可得y1+y2=y3+y4，∵=（x1，y1），=（x3，y3），=（x4，y4），=（x2，y2），∴=（x1+x2，y1+y2），+=（x3+x4，y3+y4）∴=+故选：C【点评】本题考查了直线和双曲线的关系，以及韦达定理，向量的坐标运算，属于中档题8.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点（长方体是虚拟图形，起辅助作用），则四面体ABCD的正视图，左视图，俯视图依次是（用①②③④⑤⑥代表图形）（

）A．①②⑥

B．①②③ C．④⑤⑥

D．③④⑤参考答案：【知识点】简单空间图形的三视图．G2B

解析：由已知中四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，可得：四面体ABCD的正视图为①，四面体ABCD的左视图为③，四面体ABCD的俯视图为②，故四面体ABCD的三视图是①②③，故选：B【思路点拨】由已知中的四面体ABCD的直观图，分析出四面体ABCD的三视图的形状，可得答案．9.设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D．参考答案：A10.已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线和上，且线段的中点为P，则线段AB的长为（

） A．11 B．10 C．9 D．8参考答案：B直线的斜率为2，的斜率为。因为两直线垂直，所以，所以。所以直线方程，中点。则，在直角三角形中斜边的长度，所以线段AB的长为10，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列{an}中，如果存在ak，使得“ak＞ak﹣1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an=﹣6n2+22n，且{an}的峰值为ak，则正整数k的值为．参考答案：2略12.如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角为

。参考答案：13.高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为

．参考答案：45【考点】系统抽样方法．【分析】先求出分组间隔为，再由在第一组中随机抽取的号码为5，能求出在第6组中抽取的号码．【解答】解：高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，…，8．分组间隔为，∵在第一组中随机抽取的号码为5，∴在第6组中抽取的号码为：5+5×8=45．故答案为：45．【点评】本题考查样本号码的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．14.设函数f（x）=，若函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3=．参考答案：3﹣a4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设f（x）=t，根据f（x）的函数图象得出方程f（x）=t的根的个数，从而得出f（x）=1，故而可求出f（x）=1的三个解，得出答案．【解答】解：不妨设a＞1（或0＜a＜1），作出f（x）的函数图象如图所示：设f（x）=t，由图象可知：当t=1时，方程f（x）=t有3解，当t≠1时，方程f（x）=t有2解，∵函数g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三个零点，∴关于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f（x）=1，∴x1，x2，x3是f（x）=1的三个解，不妨设x1＜x2＜x3，则x2=1，令loga|x﹣1|﹣1=1得x=1±a2，∴x1=1﹣a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1﹣a2+1﹣a4=3﹣a4．故答案为：3﹣a4．15.已知极坐标方程为q=(r∈R)的直线与参数方程为(q为参数，q∈R)的曲线的交点为P，则点P的直角坐标为____________.参考答案：或16.已知函数有零点，则实数的取值范围是

参考答案：17.已知函数f（x）=，若存在实数b，使得函数g（x）=f（x）﹣b有两个不同的零点，则a的取值范围是．参考答案：2＜a＜4【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．故答案为：2＜a＜4．【点评】本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）试题解析：（Ⅰ）解：设F(c，0)，由，即，可得a2－c2=3c2，又a2－c2=b2=3，所以c2=1，因此a2=4.所以，椭圆的方程为.（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.19.（本小题满分14分）已知函数.（1）求的单调区间和最小值；（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．参考答案：【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．B11B12

【答案解析】（1）函数在上递增，在上递减，最小值为（2）4

解析：（1），。有，函数在上递增

…..3分有，函数在上递减

…..5分在处取得最小值，最小值为

…..6分（2）∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3，即mx≤2x?lnx+x2+3，又x＞0，∴，令，令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上递减当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上递增，∴h（x）max=h（1）=4．即m的最大值为4．【思路点拨】（l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f（x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．20.（14分）

已知数列

（1）求a3的取值范围；

（2）用数学归纳法证明：；

（3）若参考答案：解析：（1）

（2）证明：①在（1）的过程中可知②假设在综合①②可知：

………………9分

（3）由变形为：

21.（本小题满分15分）已知函数的定义域为I，导数满足且，常数为方程的实数根，常数为方程的实数根．（1）若对任意，存在，使等式

成立．求证：方程不存在异于的实数根；（2）求证：当时，总有成立；（3）对任意，若满足，求证：．参考答案：证明：（1）假设方程有异于的实根m，即，

则有成立．

因为，所以必有，这与矛盾，因此方程不存在异于的实数根．……4分

（2）令，

∴函数为减函数．又，∴当时，，即成立．…8分

（3）不妨设，

为增函数，即．

又，∴函数为减函数，即．

．

即．

，

．………………15分22.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．参考答案：【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，