四川省成都市2021-2022学年高一数学下学期期中理试题含解析

Page12021—2022学年度高一数学下期期中考试试卷（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列向量关系式中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据向量的概念与线性运算法判断即可；【详解】解：根据向量的概念可得A、B错误，对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D2.在等差数列中，若，则（）A.27 B.18 C.9 D.6【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质可求.【详解】因为为等差数列，故，故，故选：C.3.已知向量，，且，则实数（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示，简单计算可得结果.【详解】由，且，所以，得.故选：A4.在中，内角的对边分别为，若，则一定是（）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】先由正弦定理得到，推出，即可得出结果.【详解】因为，由正弦定理得：，所以，故，所以一定是等腰三角形.故选B【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，熟记正弦定理即可，属于常考题型.5.在中，角A，B，C所对的边分别是，，，，，，则（）A.或 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得，即可求得.【详解】，，由正弦定理得：，，故选C.6.要得到函数的图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位 B.向右移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】C【解析】【分析】先用三角恒等变换化简，再用平移法则求解即可【详解】，因此要得到函数的图象，只需把函数的图象向左平移个单位，故选：C7.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】注意观察已知角与所求角，不难发现，所以，利用诱导公式及二倍角余弦公式化简即可求解.【详解】解：因为，所以，故选：B.8.设等比数列的前n项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断的情况，然后当根据求出，代入求解即可.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，所以所以，与已知矛盾.所以，，得故选：D9.已知数列满足：，，则下列正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将中两边同时除以，再利用累加法得到的通项公式，即可求解.【详解】解：∵，等式两边同除以，∴，可得到，，…，，利用累加法，可得到，即，又∵，所以.，∴，故A正确；，∴，故B错误；，∴，故C错误，∴，故D错误.故选：A10.设等差数列的前项和，且满足，，对任意正整数，都有,则的值为（）A.1008 B.1009 C.1010 D.1011【答案】C【解析】【分析】根据，，结合等差数列的性质和前n项和公式得到，且求解.【详解】因为，，所以，所以，且，因为对任意正整数，都有，所以，故选：C11.已知D是的边AB的中点，点M在DC上，且满足，则与的面积之比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意结合，，，可得，从而可求得与的面积之比.【详解】设，分别是，的边上的高，∵是的边的中点，∴，∵，∴，即，∵，，∴，又∵，∴，即，则，∴，即与的面积之比为.故选：A.12.已知数列满足，且，若记为满足不等式的正整数k的个数，设，数列的最大项的值为M与最小项的值为N，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用取倒数法得到数列的通项公式，由为满足不等式（）的正整数的个数可得，研究数列的单调性，即可得到最值及答案.【详解】由于，，则．，则，即为常数．又，数列是以1为首项，为公差的等差数列．从而，即．由，即，得，又，从而，故，当为奇数时，，单调递减，．当为偶数时，，单调递增，．综上的最大项为，最小项为．∴.故选：D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.sin35°cos25°+cos35°cos65°=________．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式将原式化为，再根据两角和得正弦公式即可得出答案.【详解】解：sin35°cos25°+cos35°cos65°.故答案为：.14.已知向量满足，，，则与的夹角为______.【答案】【解析】【分析】由可得，代入向量的夹角公式求解即可.【详解】因为，所以，又，所以，设与的夹角为，所以，又，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查向量数量积的运算及向量夹角公式的应用，属于基础题.15.设等比数列满足，则的最大值为_____.【答案】15【解析】【分析】由等比数列的基本量法求得和公比，然后计算的最大值后可得结论．【详解】设公比为，则由已知各，，，，所以．，，又，所以或6时，取得最大值为30，所以的最大值为．故答案为：15．16.如图，直角梯形公园OABC中，OA=2km，OC=CB=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF(点E，F分别在边OA与BC上)，D为切点，令∠DOE=θ，则道路EF的长度y与θ的函数关系为_____________．【答案】，【解析】【分析】由题意，且，连接，则分别在Rt△、Rt△有、，又，即可写出y与θ的函数关系，注意的取值范围.【详解】由题意，且，则在Rt△中，，在Rt△中，，则，∵，∴，∴，即，如图，当重合时，最大，此时，而当重合时，最小，此时，综上，，.故答案为：，三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知平面向量，，（1）求（2）若与垂直，求实数k的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）先求出，从而求出模长；（2）利用向量垂直得到方程，求出实数k的值.【小问1详解】，．【小问2详解】由，又与垂直，所以，解得：．18.在①，②4是，的等比中项这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知各项均为正数的等差数列的前n项和为，，且________．（1）求；（2）求数列前n项和．【答案】（1）任选一条件，都有；（2）【解析】【分析】（1）由题意得，选①得，得到，，即可求出选②得，得到，，即可求出（2）由（1）得，，，裂项相消即可得到答案.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，可得，即，选①，即有，即，由，解得，，则；选②4是，的等比中项，即有，即，由，解得，，则；【小问2详解】，，，19.已知函数．（1）求函数的单调减区间；（2）若，，，且．求的值．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）化简函数解析式，再根据三角函数单调区间写出的单调减区间即可（2）根据题中的数据，结合三角函数的和差公式化简计算求值即可得出答案【小问1详解】根据可化简得：∵函数的单调减区间为：，∴的单调减区间满足：，化简得：，所以函数的单调减区间为，；【小问2详解】由（1）得：∴，又∵，，∴，且得，∴∴．20.已知数列满足，．（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，为数列的前n项和，若恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）证明见解析；；（2）【解析】【分析】（1）由递推公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；（2）依题意可得，令则，利用错位相减法求出，即可得到，根据二次函数的性质求出的最小值，再解一元二次不等式即可；【小问1详解】解：数列满足，，整理得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，整理得．【小问2详解】解：数列满足，令，所以数列的通项公式为，所以①，②，①－②得：，整理得．∴，所以当时，取得最小值为，即，∴，解得，所以21.如图，在中，，，在AC的右侧取点D，构成平面四边形ABCD．（1）若且，求外接圆的面积；（2）若，求四边形ABCD面积最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求，再利用正弦定理可求外接圆半径，从而可求圆的面积.（2）利用余弦定理可得，设四边形ABCD面积为，利用面积公式可得，从而，据此可求面积的最大值.【小问1详解】中，由余弦定理得：，∴，∵，，∴,而为三角形内角，故，设外接圆的半径为r，则由正弦定理得，∴，外接圆的面积为.【小问2详解】在中，，在中，，即，∴，记四边形ABCD的面积为S，则有，即，故即，则当时，，.22.已知数列是等比数列，且，，数列满足：对于任意，有．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，，求数列的前n项和．【答案】（1）