第三章误差理论与数据处理测量误差的传递

第三章测量误差的传递在间接测量中，待求量通过间接测量的方程式 y=f（x1,x2^,xn）获得。通过测量获得量Xi,X2，…,Xn的数值后，即可由上面的函数关系计算出待求量 y的数值。那么测量数据的误差怎样作用于间接量y，即给定测量数据Xi,X2，…，Xn的测量误差，怎样求出所得间接量y的误差值？对于更一般的情形，测量结果的误差是测量方法各环节的诸误差因素共同作用的结果。这些误差因素通过一定的关系作用于测量结果。 现研究怎样确定这一传递关系， 即怎样由诸误差因素分量计算出测量的总误差。研究测量误差的传递规律有重要意义，它不仅可直接用于已知系统误差的传递计算，并且是建立不确定度合成规则的依据，因而是精度分析的基础①。3.1按定义计算测量误差现在按测量误差的定义给出测量结果的误差，这是研究误差传递关系的基本出发点。若对量Y用某种方法测得结果y,则按测量误差的定义，该数据的测量误差应为、y=y-Y（3-1）设有如下测量方程y=f（X1，X2，Xn）式中y――间接测量结果;Xi,X2, ,Xn——分别为各直接测得值。直接量的测量数据X1,X2/,Xn的测量误差分别为二二Xn-Xn式中，X1,%,•••,Xn分别为相应量的实际值（真值）。则间接测量结果的误差可写为y二y-丫二fX1,X2,,召一fX1,X2,,X.二fX1 X1,X2%,,Xn Xn-fX"?,X(3-2)上式给出了由测量数据的误差计算间接量y的误差的传递关系式，这一误差关系是准确无误的。直接按定义计算测量结果误差的方法在误差传递计算中经常使用，特别是在单独分析某项误差因素对测量结果的影响时，若这一影响关系不便或不能化成简单的线性关系，则这一方法更常使用。因此直接按定义作误差传递计算的方法不能完全用下面所述的线为获得简单的误差关系式，将函数 为获得简单的误差关系式，将函数 y=f（X1,X2/,Xn）按泰勒级数展开，并略去V=V=5x图3-1图3-25x图3-1图3-2性化的误差传递方法代替。但在实用上，这种方法较为繁琐，特别是在分析多个误差因素对测量结果的综合影响时更是如此，并且往往会遇到困难而无法解决。更重要的是这种方法没有给出规则化的、简明的误差传递关系，因此在讨论与处理不确定度的合成关系时， 它也无法给出简明实用的合成关系，这是这种方法的局限性。例3-1设矩形长度为x，宽度为y，则矩形面积s=xy。现通过测量获得x和y的测得值，分别为x和y:其测量误差分别为 -X和-y，如图3-1所示，求由此引起的面积误差「S。解这是间接测量的情形。因测得的 X•值和y•值是有误差的，故按函数关系求得的面积s•也有误差，按测量误差的定义，面积误差应为、s二s"「s二xy'：-xyh[x、.xy:y-xy=x、yy、x亠 .y显然，该误差为三项之和，这三项分别相应于图中划有阴影的三块小面积。例3-2测量工件平行端面间的距离 L,若工件在测量时，安置歪斜:角，则测量线ac与被测线ab方向不一致，分析由此引起的测量误差 （图3-2）。解由图3-2的三角形abc，被测量的实际值L与测得值I间有如下关系L二Icos:-按定义，测量误差为、I=I-L=I-Icos：=I1-cos：将1-COS〉按级数展开，略去三次以上的高次项可得、I=b:22此例不能按下面所述的线性化的方法计算。例3-3为求得某物体在给定时间间隔内的平均速度， 测得时间间隔t和物体相应移过的距离s,若测量误差分别为 t和s，求所给速度的误差表达式。解给出的速度应按下式计算而排除测量误差的速度表达式则为

按误差的定义，所给出速度的误差应为s s—6s;v=v-V=t经整理并略去微小量可得、v：丄s-号:t经整理并略去微小量可得tt-、tSXt2…例3-4如图t-、tSXt2…例3-4如图3-3所示电路，设电阻R、R的误差jsVo_jsVo_R2R由R1与R2引入V0的误差为■VoR2+OR2 V R2R*tR2-R2*RiR2 R R2、R2R*tR2-R2*Ri(R+R2+§Ri+6R2(Ri+R2卜由于dR由于dR《R,氓2《F2,故上式可简化为由例3-4由例3-4可见，对于间接测量的函数y二f（X1，X2，,Xn）当测得X1当测得X1,x211xn值时，若按由误差定乂所给出的式 （3-2）计算y的误差，一般来说是较为繁杂的。造成这一困难的根本原因是这一方法给出的误差计算关系是完全准确的关系，中包括了若干微小因素。 这些微小因素产生了非线性的关系， 造成误差表达式的复杂性。这些微小量适当舍弃以后，可使误差表达式大为简化。3.2函数误差传递计算的线性化设有函数y二f(Xi,X2,,Xn)若Xi,X2, ,Xn分别含有误差Xi,%, ,；Xn，则y的误差为y=fMM,X一fXi,X2,Xn次以上的高次项，则得y二f(Xi，X2，,Xn)=f(Xi,X2，…Xn)+「(Xi—Xi)+—(X2—X2)I法1丿0 1欣2」o+…+旦(Xn_Xn)0n丿0=fXi,X2,Xn—式中X式中Xi,X2，…Xn――分别为X1,X2,,Xn的真值;X1X1,X2，…厂・xn 分别为X1,X2,,Xn的误差;<CX2,/0<CX2,/0，:召o——分别为函f(Xi,X2/,Xn)对X!,X2,,Xn的偏导数在x^=X1,x2=X2^, =Xn处的值。将展开式代人上面的误差式中，则有y=f(Xi,X2,,Xn)-fXi,X2,Xnfcf\r!以1+——1钗2+…+0i丿o<^Xn丿0；Xn或简单写成n(3-3)卄fXi丄、X2 L*(3-3)內 t^2 CXn i甘CXi式中，偏导数对可用真值X代人求得，也可用测得值Xi代人求得。这是因为Xi与X的差一X别甚小，相应的偏导数值十分接近。f上式表明，函数y的总误差应是各误差分量、伙与相应偏导数―之积的代数和，即函数cXiy的总误差是各误差分量的线性和。这样，通过函数线性化的方法获得了线性的误差传递关系。既简明，又有规则。在函数关系较复杂的情形下，更具有突出的优越性。由于函数关系通常是非线性的，在作线性化处理时需要略去展开式中二次以上的高次项，保留的一次项部分（即线性部分）只是原来的函数y的近似表达式，所以严格地说,

上面的误差传递关系(式3-3)在一般情况下只是一个近似的关系式。只有在y是Xi的线性函数时，该式才是准确的。当展开式的高次项不可忽略(如例3-2的情形)时，函数不能作线性化处理，此时只能直接按定义计算误差。因此，线性化方法的应用受一定条件的限制。但就一般情形看，由于测量误差 相对来说通常是很微小的，所以函数线性化处理时略去的高次项部分也常可忽略不计。可以说，一般按线性和求总误差在实用上具有足够的精度，因而式(3-3)，具有普遍意义。根据式(3-3)，对一些具有特殊函数关系的间接量，可以获得更具体的结果。对于线性函数y=k]X|k2x2亠 亠knXn式中，ki,k2, ,kn为系数。间接量y的总误差应为nTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"y=krx-i k2'；x2川…川'knxn-7krx, (3-4)iA当K=k2=…=kn=1时，则有ny=x- 、X2 Xn=、、Xi (3-5)i二显然式(3-4)与式(3-5)是准确关系式。对于三角函数\o"CurrentDocument"sin：护二f(x1,x2, ,xn)由式(3-3)，得\o"CurrentDocument"-f -f -f(sin:) x1 —x2 -xn(3-6)\o"CurrentDocument"斷 tx2 cxn为求角度「的误差，对正弦函数微分dsin=cosd则有cos^以误差量代替微分量，得;sincos®将式(3-6)将式(3-6)代人上式,得角度误差的表达式宀」W、X2• 工、Xn)COS :X] :*2 ：Xn同样，也可给出具有其他三角函数关系的角度误差表达式。对于函数COS：护=f（X1，X2，,Xn）角度「的误差式为对于函数-—sin®ijcX(3-8)tg「二f（X"X2，…对于函数-—sin®ijcX(3-8)tg「二f（X"X2，…，Xn）角度「的误差式为n宀#、• 一COS2"fXii1-Xi对于函数ctg=f（x「x2，…,Xn）角度「的误差式为(3-9)2nf「：二-sin八、Xi对于对数函数(3-10)y的误差式为y=1:XX对于对数函数(3-11)yWogaXy的误差式为■Ay -—XXlnx当函数误差以相对误差的形式给出时，由式（3-12）（3-3），其传递关系为yyid:Xi(3-13)或写成n饷或写成n饷8(3-14)yid:Xi以相对误差表示各误差分量时，其传递关系为(3-15)—4i£CXi(3-16)3-5利用线性化的方法给出例由速度的函数式同,求偏导，有：Ri(3-15)—4i£CXi(3-16)3-5利用线性化的方法给出例由速度的函数式同,求偏导，有：RiR2VsRR23-3中速度的误差表达式。V=s/t，求偏导数.:v 1:st.:v sd~~t2根据误差传递关系式（3-3），由测量误差、；s和-t引起的v的误差为、V二:-：rI—=1-刍tcs ct tt这一结果与例 3-3中经简化处理（将和:t的系数的分母中的 :t略去）后的结果相表明这一结果是V的近似的、但却是十分简单的误差表达式。例3-6利用函数线性化的方法给出例 3-4中输出V0的误差表达式。解对输出电压V0的函数式则按式（3-3），V）的误差式为2乂、R■sVoR2 R2VsTR R,:R 池 RR22RR22与例3-4的简化结果一致。例3-7以压力F将一直径为D的钢球压人样块，样块上压痕高度为 t，则样块的布0102F氏硬度为HB= （F的单位为N,Dt的单位为mm。设所加负荷F=29420N,钢球^Dt直径D=10mm测得压痕高度t=0.425mm,试给出布氏硬度的误差表达式 （只考虑F、Dt的误差）。解设所加压力F的误差为，钢球直径D的误差为:D，压痕高度t的测量误差为：t，则布氏硬度误差的线性化的表达式为勒B=BB6F+^Be+^B5tcF cD ct现计算各偏导数（量纲略）__：HP=7.610-;d〔0.102F[0.102_ 0.102=7.610-;cF nDt丿—nDt一3.1416x10x0.425一HP.:Dd'0.102M-0.102F 1— 2 QI兀Dt丿 hDt-0.1022942023.141610 0.425二_22.5;..:HP.:ta'0.102M-0.102FI= 2兀Dt丿 nDt—0.102x29420 __529；3.1416100.4252一- '则可得所给硬度值的误差表达式、HP=0.0076、F-22.5D-529t由上式可见，:.t的系数较大，所以对t的测量精度应有较高的要求。3.3误差传递计算的线性叠加法则当给出测量函数关系 y二f（X1，X2，…，Xn）时，式（3-3）给出的误差关系式表明，函数的误差是自变量误差的线性和。若把函数 y看作是间接测量的量，自变量Xi看作是直接的测量结果，则间接量的误差应是直接测量数据误差的线性和。我们可以把上述误差的这一线性叠加关系推广到一般的情形。 不管能否写出如上所述的函数关系，一般可将测量结果y的误差表示为n-V二］仁为学二2'伙2亠.j：”Xn八〉i「X （3-17）iA式中：刁一一测量结果的总误差;X1,、X2,…，'；Xn――原始误差，包括直接量的误差和其他各种因素造成的误差;〉1,〉1,：2…」n各原始误差相应的系数，称为原始误差的传递系统;r'x――局部误差或分量误差。式（3-17）表明，测量结果的总误差是测量的各原始误差综合作用的结果， 它等于各原始误差分别乘以相应的传递系数后的代数和， 即测量结果的总误差可表述为各原始误差的线性和（局部误差之和），这就是误差传递的线性叠加法则。这一法则指出误差作用具有独立性，即各原始误差对测量结果的作用是独立的，一个误差因素对测量结果的影响与其他误差因素的大小无关，它们构成总误差的单独组成部分。这一性质为误差分析和不确定度的合成创造了极为方便的条件。误差的线性叠加法则给出了一个形式非常简单、使用非常方便的误差传递关系。任何一个原始误差只要乘以相应的传递系数即可折合为最终结果的误差分量。这里的传递系数可以通过求导数的方法得到，也可以通过其他方法求得。当然，严格地说，误差因素与总误差之间的这一线性关系只是近似的， 事实上常常存在着非线性的影响。只不过在一般情况下，由于误差量相对于被测量来说总是很微小的， 所以非线性的影响十分微小，可忽略不计，即可认为误差对最终结果是按线性关系独立作用的。误差作用的线性叠加法则可用于已知系统误差的分析计算， 并且是建立不确定度合成法则的基本依据，因而是精度分析的基础。解根据误差作用的线性叠加法则 解根据误差作用的线性叠加法则 (式3-17)，矩形面积s的误差可写成以上结果都是按绝对误差加以讨论的，这是误差传递关系的基本表达形式。当测量误差以相对误差的形式表述和分析时，不难由相对误差的定义和上述结果给出传递关系。设测量结果 y有式(3-17)的误差传递关系，则其相对误差可表示为n,ZaQXi厶二江二—— (3-18)yy或写成1n Rx 1n:y=_二":；iXi―=一二-：'iXi：xi (3-19)yvXyy即nr八b^i=1(3-20)6Xi式中Xi的相对误差,Xib—— 的传递系数。式(3-20)即为相对误差的线性叠加关系，其传递系数b与绝对误差形式的线性叠加传递系数有如下关系Xib :iy(3-21)若y=洛,X2,,Xn则有y旦:y=2X1.凶....X1 X2'XnXnP+p 十…+pX1 X2 Xn(3-22)若X1y-X2则有y(3-23)y-yX1 X2X2对不同的函数关系， ^y有不同的具体表达式，可针对具体问题给出，这里从略。例3-8按线性叠加法则分析计算例 3-1中面积s的误差。、s-:s'.X亠二y、y由间接测量的函数式s=xy，得TOC\o"1-5"\h\z.s :s:x y；：y x次 dy则面积s的误差式可写成、s=y、xx、y将这一结果与例3-1所得结果作一对比可见， 这一结果只包含二项线性的误差项。 而例3-1的结果中还包含一项非线性的二次项 「x=y，是准确的误差式。不过，由于误差量与:y相对于x与y是十分微小的，所以其非线性部分 「x、：y的值相对来说十分微小，可忽略不计。因此，在按线性叠加法则计算时略去这一部分，对实际结果影响极小。例如，设x=300mmy=100mm5x=0.5mm,6y=0.3mm,贝Us=xy=300mmK100mm=30000mm,y、x=100mm<0.5mm=50m2，x、y=300mnX0.3mm=90mrp、x_y=0.5mmX0.3mm=0.15mrr^o可见二次项:x、寿确实可忽略不计。例3-9三块量块I1、I2、l3的中心长度误差分别为 6L|=-0.5x10-3mm6L2=0.2xTOC\o"1-5"\h\z-3 -310mm乱3=0.1x10mm求三块量块组合后的尺寸误差。解三块量块组合尺寸为L1 L2 L3由此可得、丄1,、丄2,'丄3的传递系数都为1,则按式(3-17)，组合尺寸的误差应为■ ■ p -3 -3 -3 -3乱=6L1+§L2+§L3=(-0.5x10-mm+0.2X10-mm+0.1X10-mm)=-0.2x10-mm例3-10测量闸门时间T与计数的脉冲数N则频率可按式f=山求得，若已知NTT的相对误差■-N、 ■-T，给出f的相对误差。解由测量方程f=N，得误差传递关系式f二1N-其TTT2其相对误差为R&N圖N軒 軒P= = — = — fffTNfTTNT

例3-11 已知光在空气中的波长入，空气折射率 n与光在真空中的波长如有下关系：，二‘°，当空气温度改变：t而引起的空气折射率变化为 「口二m-n。按定义直接计算和n用微分法分别给出由此引起的波长变化，并作对比 。解按误差的定义，波长误差应为由给出的函数式，有代人误差式，得按微分法计算波长误差，由式按微分法计算波长误差，由式°A=n微分得波长误差将•二‘°代入上式，得n•:八t=_一ntn按定义计算的结果应为准确的结果，线性化的结果是近似的。比较两个结果可见，其差异十分微小。-Z差异十分微小。-Znntnnt为空气折射率误差的二次方微小量。对于标准条件下的空气折射率1Cnntnnt为空气折射率误差的二次方微小量。对于标准条件下的空气折射率1C时的折射率偏差、讥=-9.3x1°-7，贝Un=1.0002765，温度偏差--8.6441°44'可见二者差异十分微小，用微分法获得的线性化的结果具有足够高的近似程度。例3-12 分析杆秤的误差因素及其传递关系。解杆秤是按杠杆原理设计的。设被称量的质量为M例3-12 分析杆秤的误差因素及其传递关系。解杆秤是按杠杆原理设计的。设被称量的质量为M秤砣质量为m秤盘质量为w，秤秆质量为u秤秆上各作用点几何关系如图 3-4所示。当秤盘中不放任何物品，提起秤杆时，将秤砣置于Q处，秤杆平衡(02为定盘星位置)，由杠杆原理，此时有如下关系awg=bmgcug(1)式中，g为重力加速度;c为秤杆重心至提手处的距离。上式可简化为aw=bmcu(2)当称量质量M时，秤砣置于Q,秤杆平衡，则有如下关系aMaw二cu亠［b丨m(3)考虑到式(2)，则有M二卩丨=kl(4)am/a=k为一常m/a=k为一常当读取的I值有误差、：丨，则称得的质量M的误差应为j.M=k、l(5)误差61包括：各参数(mw、u及a、b、c)误差引起的读数误差6|1，刻度误差6丨2，秤的灵敏阈引起的误差：|3，及人的判读误差、：丨4等。按线性叠加法则，称量的总误差应是各分量的线性和TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"M=M1 、M2 、M3 、M4\o"CurrentDocument"二k、l2 kl3k、」4 (6)现进一步分析误差分量、；M1。由式(3)，l可表示为awaMcu丨= b⑺mmm当式(7)中各参数有误差时，读数误差为■a■c 1□11wu■a■c 1□11wu—aw■：aM-cu■mm1m-awaM-cu\o"CurrentDocument"m mwMa-b-uc(8)m*丨1 (9)将d1及k=m/a代人(9)，则有

_cu、.mac1_cu、.ma刑_!=§w—— ——w+MamI(10)1 m,u(10)w"■M1abca aa例3-13分析用量杯量取溶液时的误差，如图 3-5所示。解用量杯量取溶液是按体积度量的，影响度量的误差因素是与体积有关的诸因素。(1)量杯内径误差设量杯内径为d,所量溶液相应刻度的高度为 h，则相应的容积为V丄:d2h4当有内径误差：.d时，对上式微分可得相应的容积误差分量1M二Mh、.d2该项分量为系统误差。(2)量杯刻度误差若量杯刻度误差为「h，对V微分可得相应的容积误差为12V2 d、h4图3-5图3-5观测误差观测度量时，液面应与刻度瞄准重合。 但因观察方式、习惯及人眼的判断能力等因素的影响，使液面与刻度瞄准有误差 产生的容积度量误差为、V3」二d2、h4这一误差包括随机的与系统的两部分。温度误差由于量杯的体膨胀系数 ：1与所量溶液的体膨胀系数 -2不同，当温度偏离标准温度 「辻时，会使度量结果造成误差，约为V4=Vo「t—yV。匕一-1t式中，V0为溶液的标称体积。这一误差为系统误差。将上列各项分量线性求和，可得总误差V V2 V3 V43.4传递系数的计算在误差的线性传递关系中，传递系数是误差分量转换为总误差的比例系数，就如同误差的“传动比”一样，某项误差乘以这样一个“传动比”就可折合为最后结果的总误差。无疑，确定传递系数是误差分析中的重要一环。

传递系数可以通过对相应函数关系的分析、 几何关系的分析、测量传动关系的分析，以及实验分析等方法来确定。一、微分法求传递系数若包含误差的量Xi,X2，…，Xn与测量的最终结果y（直接测量结果或间接测量结果）之间的关系能以一个明确的函数式y=f（X1，X2，X）表示出来，则可通过函数y求导数的方法，得到相应于x1,x2/,Xn的误差:X1rX2/^Xn的传递系数a?二—fXi,Xa?二—fXi,X2,,XnJanXn0f(Xl,X2,IL：;Xn可简写为TOC\o"1-5"\h\zdy c …uai fX1,X2, ,Xn(X GX|”a2 fX1,X2, ,Xn-X? x?_cy_crf… .an fX1,X2,,Xn% °Xn—,—，…，—分别为函数y对Xi,X2/,Xn的导数在其真值0X0 *0Xi,X2，…Xn处的值。实际计算中，一般可用 Xi,X2/,Xn的公称值或测得值代替真值X1,X2Xn代人求得上述导数。这个方法也常称为微分法。对于线性函数y二kiXik?X2 knXn系数ki,k2,…,kn即为相应于XnX2,…,Xn的传递系数。这种求传递系数的方法是很简便的，凡是能有这样一个函数式可利用的场合，原则上都可使用。因为这个方法能给出明确的解析式，不仅便于计算，也便于进行误差关系的分析。但在实际问题中，很多误差因素不能纳入这样一个函数式中，或不便于写出这样一个

函数式，因而这个方法事实上又有很大的局限性。例3-14渐开线齿形的极坐标方程为 匸二r^:。式中，t为展开长度，「为展开角，r0为基圆半径，如图3-6所示。试分析由基圆半径误差 j.r0（由刀具解按线性叠加法则（式3-17）计算误差、V。先按微分法求出误差J，r0与「的传递系数压力角误差造成解按线性叠加法则（式3-17）计算误差、V。先按微分法求出误差J，r0与「的传递系数图3-6则齿形的误差式可写为=-r0 - r0-'-/若已知参数r0与「，则对于已知的系统误差 、丫0与可求得齿形的坐标误差例3-15若测得阻值R及电流I，则所耗功率可按式P=|2R求得，现测得阻值R=515Q;测量误差为、：R=10Q;电流I=25.3mA,测量误差工「1.5mA求电功率及修正值。解电功率22P=IR=（0.0253X515）W=0.330W对函数式P=|2R求偏导数，得 I与R的传递系数:PaI 2lR=20.0253A515门-26.1V-P2 22 -42aR I=0.0253A=6.4010AcR则功率的误差为P=aII aR、R-4 2=26.1V X（-0.0015A）+6.40X10AX10Q=-0.033W修正测量结果P二P-P=（0.330W+0.033W）=0.363W二、几何法求传递系数利用几何法分析误差的传递关系是一种常用的有效方法，只要误差量的函数关系可通过几何关系（平面的或空间的）表示出来，就能使用几何法进行分析，特别是在机械机构

的精度分析，几何光学系统的精度分析， 及几何量、力、质量等方面测量误差的分析中更是常用。使用这种方法时要先作出表示误差关系的几何图形，利用诸如三角形的边角关系、圆弧半径与中心角的对应关系、线段的投影关系、机构的几何传动关系及其他平面与空间的几何关系等找出误差的传递关系。由于误差量是微小量，所以这种几何关系允许作某种近似替代。例如，微小角度对应的弧长可用相应的弦长代替；微小角度的正切可用其弧角代替；微小图形可用其极限状态代替等等。代替的结果往往给出线性的几何关系，给误差关系的分析带来很大的便利。当然，应充分估计到这种近似代替的精度，而不能随意代替与简化。用几何法确定传递系数具有简单、直观的优点，在不能给出明确的函数表达式的情况下，几何法更有其优越性。当然，这种方法也有其局限性，当误差的传递关系不能或不便于反映在几何图形上时，就不能使用几何法。例3-16如图3-7所示的机构，起瞄准定位作

用的千分表有误差:m，求由此引起的角度误差。解作如图3-7所示的误差三角形△OAB若以以可把AB近似看作角所对应的弧长AB。这样代替的结果一般是有足够精度的。 于是，由误差图形AB代表、：m，则/AOB代表；a以可把AB近似看作角所对应的弧长AB。这样代替的结果一般是有足够精度的。 于是，由误差图形OAOAl则：m的传递系数为1/1。对于微小角度，以三角形直边代替中心角对应的弧长所带来的误差极其微小，在角度为2°时，造成的误差还不到 1.5〃。因此，在小角度时，这种代替一般是允许的。例3-17图3-8所示的测量机构用于测量孔径 D,若测杆后续环节沿测杆轴向有传动误差巾。试将其折合至测量线（被测量D的方向）上。图3-8解设测杆无轴向位置误差时，位于图中虚线的位置。若测杆有一轴向位置误差则移至实线位置，其上a点移至b点，而测头上a点则移至c点。由此可作出误差三角形。由图示几何关系可得-;D=tgh22a'jD=2tg jh=ah「.ha式中，ah=2tg—即为误差h折合至被测量2a=90°，则传递系数D上的传递系数。参数a为测杆端部锥角，设a乜ah二2tg、h290=2tg2=2三、按传动关系确定传递系数任何一个测量方法，被测量总是按照一定的传动关系传递的， 经一系列环节的转换放大以后，通过一定的方式指示测量结果。 在间接测量的情形中，还要按间接测量的函数式求得最后结果。测量系统各环节上的误差因素， 自然也应按相应的传动关系转换为最后测量结果的误差。般来说，若测量系统中由测量头至某环节的转换放大比为 ki，则该环节上的误差「折合到测量头（即折合到被测量）上时，应除以转换放大比是 ki,为「/«（图3-9）。即测量系

统某环节的误差的传递系数 ai，就是由感受被测量的测量头到该环节的转换放大比的倒数响（图3-10）。已知：杠杆2的臂长I=4.52mm齿轮3的分圆半径R=22mn,齿轮4的分圆半径F2=1.54mm齿轮5的分圆半径Rb=9.9nun。1/k，即量,大。的量值与被测量之比。这里所谓的转换放大，是指被测量转化为其他并在量值上加以放走k则为该环节上ki」1/k，即量,大。的量值与被测量之比。这里所谓的转换放大，是指被测量转化为其他并在量值上加以放走k则为该环节上ki」x,要求能确切掌握测量系按这一方法确定误差的传递系数统中被测量转换放大的规律，并确知各误差因素在测量系统各环节的位置。这类方法适合于分析机械的、光学的、气动的、电学的等各类测量系统的误差传递关系。在仪器机构精度分析中，有时采用“作用线与瞬时臂法”它利用几何关系逐级讨论原始误差的传递关系，并建立起计算这个传递关系的一套具体规则，只适用于机械机构的误差传递计算。此处从略。例3-18分析测微仪的二级齿轮传动误差对测量精度的影O解由测杆1至第一级齿轮付的传动比为TOC\o"1-5"\h\z匕二色22 4.85I 4.54因而，第一级齿轮付传动误差 ■：z1的传递系数为11a1 丄二亠=0.21\o"CurrentDocument"k1 4.85-Z传递至被测量（测杆1上）的误差为「二玄仁乙=0.21、Z由测杆1至第二级齿轮付的传动比为k2=空旦 竺=31.15I R2 4.541.54因而第二级齿轮付传动误差 ；-z2的传递系数为a21a211k2一31.15二0.032七2折合至被测量（测杆上）的误差为、2=a2'Z2二0.032z2例3-19 用显微镜分划板的双刻线瞄准被检刻线尺的刻线，分析人眼分辨能力对显微镜瞄准精度的影响（图3-11）。图3*11套线偏移量解如图3-11所示，显微镜物镜将刻尺上待瞄准的刻线象投射至目镜分划板上， 并以分划板的双刻线套准。根据实验结果，在用双刻线套准一条刻线时， 若待瞄准的刻线与双刻线中心偏移 所对应的视角图3*11套线偏移量解如图3-11所示，显微镜物镜将刻尺上待瞄准的刻线象投射至目镜分划板上， 并以分划板的双刻线套准。根据实验结果，在用双刻线套准一条刻线时， 若待瞄准的刻线与双刻线中心偏移 所对应的视角•■=5〃-10〃时，人眼就能察觉出来。这就是这一情况下人眼的视觉分辨能力。目镜光学系统是按明视距离I=250mml的视角设计的。、：S与，有如图3-11所示的几何关系，因为 ■很小，所以可把看作是，对应的弧长。由此可得明视距离上眼睛可分辨出的最小、S=I，式中I眼睛到分划板影像（经目镜成的像）的距离; 双刻线套准时的视角分辨率，单位为弧度。由于人眼观察到的影像是经光学系统放大了的， 设放大率为M则折算到被测线上（刻尺位置上）应除以放大率M即用双刻线瞄准线纹时的瞄准误差应为、s二丄、s二丄，MM若式中••以秒值代人（1〃=5x10-6rad），则有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"s:=510-61 ‘M可知眼睛瞄准的视角误差 ■的传递系数为_e1\o"CurrentDocument"