高二数学椭圆的离心率5041

高二数学椭圆的离心率(1)1.已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=_________．2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d，F到l的距离为d，若d=，则椭圆C的离心率为_________．1223.椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_________．4.在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点5.已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C，则该椭圆的离心率e=_________．C、D两点的椭圆的离心率为_________．6.设F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：1|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为_________．7.已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是_________．8.椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为_________．椭圆的离心率（2）A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为_________．1.已知椭圆内有两点2.椭圆，F1，F2分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点P满足|PF|=2|PF2|，则该椭圆离心率的1取值范围是_________．3.设A为椭圆（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．（1）|AB|=_________；（2）若θ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为_________．22]，则该椭圆离心率e4.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b，4b的取值范围是_________．5.已知A，B，P为椭圆+=1（m，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA•kPB=﹣2，则该椭圆的离心率为_________．6.已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于_________．7.已知椭圆的上焦点为F，左、右顶点分别为B，B2，下顶点为A，直线AB2与直线B1F交于1点P，若，则椭圆的离心率为_________．8．如图，P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，且，则点P到该椭圆左准线的距离为_________．高二数学椭圆的离心率参考答案与试题解析一．填空题（共16小题）1．（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|+|BF|=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到222a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，∴由余弦定理|AF|=|AB|+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，22×可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7222∵△ABF中，|AF|+|BF|=100=|AB|∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，椭圆C的离心率e==故答案为：点评：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，于属中档题．2．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d，F到l的距离为d，若d=，则椭圆C的离心率为．122考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．根据分析：“d=2”结合椭圆的半焦距，短半轴，长半轴构成直角三角形，再由等面积法可得d=，从而得到a1与b的关系，可求得，从而求出离心率．解答：解：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d=，1若d2=，则，整理得a2﹣ab﹣=0，2两边同除以a，得+（）﹣=0，解得．∴e==．故答案为：．点评：本题主要考查椭圆的几何性质，即通过半焦距，短半轴，长半轴构成的直角三角形来考查其离心率，还涉及了等面积法．3．（2012•四川）椭圆为定值，且的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；∴e===．故答案：．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．4．（2010•资阳三模）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．考点：椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：设AB=BC=1，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．解答：解：设AB=BC=1，则，∴，答案：．．点评：本题考查椭圆的性质及应用，解题时要注意的正确选取．5．（2007•福建）已知长方形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：压轴题．分析：由已知c=2，=3⇒b2=3a⇒a2﹣4=3a⇒a=4，由此可以求出该椭圆的离心率．解答：解：∵AB=4，BC=3，A、B为焦点，∴c=2，=3，∴b2=3a，∴a2﹣4=3a∴a=4，∴e=．故答案：．点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．6．（2013•浙江模拟）设F，F是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点．若121AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，利用椭圆的定义可求得|AF1|=2，从而可得a的值，再由勾股定理可求得2c的值．解答：解：∵F，F是椭圆C+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，AB⊥AF2，121|AB|：|AF2|=3：4，如图：∴不妨令|AB|=3，|AF2|=4，再令|AF1|=x，由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a，①|BF1|+|BF2|=2a②①+②得：x+4+3﹣x+5=4a，∴a=3，x=2．在Rt△F1F2A中，=+，∴4c2=4+16=20，∴c=．∴椭圆的离心率为e=．故答案为：．点评：本题考查椭圆的简单性质，突出考查椭圆的定义的应用，求得a与c的值是关键，考查转化与运算的能力，属于中档题．7．（2013•盐城一模）已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的性质：当|PF2|=a+c=，时，即取得最大值，即可得出．解答：解：∵椭圆，∴a=，b=2=c．设k==，则当|PF|=|PF2|时，k取得最小值0；1当|PF2|=a+c=，时，即时，k=取得最大值．∴k的取值范围是．故答案为．点评：熟练掌握椭圆的性质：当|PF|=a+c=2，时，则取得最大值是解题的关键．8．（2013•盐城二模）椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点E．如图：：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；由椭圆的定义得∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值是4a；等号；此时，△FAB的面积为×2c×=ab，∴a2=2bc，平方得，a4=4（a2﹣c2）c2即4e4﹣4e2+1=0∴e=．故答案为：．点评：本题主要考查椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．9．（2013•松江区二模）已知椭圆15．内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为B（3，0）和|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点|PA|+|PB|=10+|AB'|=15达到最大值，从而得到本题答案．B'（﹣3，0）．因此连接PB'、AB'，根据椭圆的定义得P在AB'延长线上时，解答：解：∵椭圆方程为，∴焦点坐标为B（3，0）和连接PB'、AB'，根据椭圆的定义，得|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）B'（﹣3，0）|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'|因此，∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15当且仅当点P在AB'延长线上时，等号成立综上所述，可得|PA|+|PB|的最大值为15故答案为：15点评：本题给出椭圆内部一点A，求椭圆上动点P与A点和一个焦点距离B和的最大值，着重考查了椭圆的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．10．（2012•浙江模拟）椭圆，F1，F2分别是其左、右焦点，若椭圆上存在点P|PF1|=2|PF2|，则椭该圆离心率的取值范围是[，1）．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由椭圆的定义可得e（x+）=2•e（﹣x），解得x=，由题意可得﹣a≤≤a，解不等式求得离心率e的取值范围．解答：解：设点P的横坐标为x，∵|PF|=2|PF2|，则由椭圆的定义可得e（x+）=2•e（﹣x），1∴x=，由题意可得﹣a≤≤a，离心率e的取值范围是[，1），[，1）∴≤e＜1，则椭该圆的故答案为：点评：本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得e（x+）=2•e（﹣x），是解题的关键．11．（2012•湘潭模拟）设A为椭圆（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．（1）|AB|=；（2）若θ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为[，]．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：（1）设A（x，y），B（﹣x，﹣y），F（c，0），由AF⊥BF，可得=0，从而可得x2+y2=c2=a2﹣b2，|AB|=2|AO|，代入可求（2）设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．解答：解：（1）设A（x，y），B（﹣x，﹣y），F（c，0），∵AF⊥BF，∴=c2﹣x2﹣y2=0∴x2+y2=c2=a2﹣b2∴|AB|=2|AO|=（2）∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a…①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα|BF|=2ccosα…②…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴e==∵a∈[π，π]∴π≤α+π≤π∴≤sin（α+π）≤1∴故答案为：2；点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，向量的基本运算性质及三角函数的性质的综合应用，解题时要特别利用好椭圆的定义．12．（2011•江苏模拟）从一块短轴长为e的取值范围是2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b，4b2]，2则该椭圆离心率[，]．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先设出椭圆的标准方程，在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，进而可表示出圆的内接矩形长和宽，≤≤2≤≤2进而表示出该矩形的面积，由3b2ab4b，求得3b2a4b，平方后，利用b=代入求得a和c的不等式关系，进而求得的范围，即离心率e的范围．解答：解：设椭圆的标准方程为+=1，在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，2≤≤2由已知得：3b2ab4b，3b≤2a≤4b，2≤2≤平方得：9b4a16b2，9（a2﹣c2）≤4a2≤16（a2﹣c2），5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴≤≤即e∈[，]故答案为：[，]点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆的应用和椭圆的参数方程的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．13．已知A，B，P为椭圆+=1（m，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的率斜乘积kPA•kPB=﹣2，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设出得直线PA和直线PB的率斜之积，进而求得m和n的关系，进而根据双曲线的离心率解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A（x1，y1），B（﹣x，﹣y），P（x，y），与方程．分析：A，B和P的坐标，把A，B点坐标代入双曲线方程可求公式即可得出答案．解答：11则﹣=1，有kPA•kPB=﹣=﹣2，∴=2．∴e===．故答案为：．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．涉及了双曲线的对称性质，考查了学生对双曲线基础知识的全面掌握．14．（2012•江苏一模）已知椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先求出FQ的长，直角三角形FMQ中，由边角关系得tan30°=，建立关于离心率的方程，解方程求出离心率的值．解答：解：由已知得FQ=，MF=，因为椭圆的方程为，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，所以tan30°=====e