角平分线的性质 省赛获奖 省赛获奖

12.3角的平分线的性质（1）霸州市第五中学冯绍兴一、知识回顾2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，则∠

=∠

.ABDCBD1、判定两个三角形全等的方法有哪几种？SSS，SAS，ASA，AAS；HL.过点D作DE⊥BC，垂足为E，则图中线段

的长度表示点D到BC的距离.DE直线外一点到这条直线垂线段的长度，叫做点到直线的距离非常4+1二、探究一个基本作图如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC，沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的角平分线，你知道为什么吗？D····BAEC思考几何画板演示

作法：

1.以Ｏ为圆心，适当长为半径画弧，交OA于Ｍ，交OB于Ｎ．

2.分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．

3.作射线OC.射线OC即为所求.

已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.尺规作图：作一个角的平分线几何画板演示角的平分线上的点到角的两边的距离相等。在∠AOB的平分线OC上任取一点P，过点P作∠AOB两边的垂线段PD，PE，测量PD，PE并作比较，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？三、探究角平分线的性质探究1.提出猜想PD=PE几何画板演示（1）分析命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的条件和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式。（2）画出图形，用符号语言表示已知和求证.已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OＣ上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：

PD=PE.2.验证猜想已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OＣ上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：

PD=PE.2.验证猜想证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠1=∠2=90°.在△PDO和△PEO中，

∠1=∠2

∠3=∠4OP=

OP∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=

PE.{角的平分线性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（1）如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等（2）定理的符号语言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴

PD=PE.请做好笔记，记到教材49页3.得出定理四、随堂练习1.如图(1)，在△ABC中，∠C=90°，

AD平分∠BAC，

DE⊥AB于E，若CD=3㎝，则点D到AB的距离DE是【】A.5㎝B.4㎝C.3㎝D.2㎝C图(1)图(2)2.如图(2)，在△ABC中，∠C=90°，

AD平分∠BAC，若AB=10，CD=3，则△ABD的面积是_____.153.如图：AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长为

.3分析：可求得S△ABD=4，所以S△ACD=7-4=3∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2.∵△ACD的面积是3，AC边上的高DF为2，∴AC的长为3.四、随堂练习4.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，则AD与BC之间的距离为【】

A.3B.4C.5D.6D四、随堂练习分析：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.∵AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，∴PM=

PE.同理，PN=

PE.∴PM=

PN=

PE=3.∴MN=6.即AD与BC之间的距离为6.四、随堂练习5.如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC，猜想∠BAD与∠C有什么数量关系？并说明理由.解：∠BAD+∠C=180°.证明：过点D作DF⊥BC于点F，作DE⊥AB，交BA的延长线于点E.∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC，∴DE=

DF.{在Rt△ADE和Rt△CDF中，

AD=

CDDE=

DF∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠1=∠C.∵∠BAD

+∠1=180°，∴∠BAD+∠C=180°.五、感悟与收获1、尺规作图：作一个角的平分线.2、角的平分线性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（1）如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等.（2）定理的符号语言：∵OP平分∠AOB