一轮复习 7 平面解析几何

[归纳·知识整合]1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角①一个前提：直线l与x轴

；一个基准：取

作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上的方向．②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为

.③倾斜角的取值范围为

．

(2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k=

.②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝.相交x轴0°[0，π)tanα[探究]

1.直线的倾角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系[探究]

2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？

提示：不正确，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．3．直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0，y0)_______________不含直线x＝x0斜截式斜率k与截距b___________不含垂直于x轴的直线y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b名称条件方程适用范围两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)截距式截距a与b不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)若直线x＝2的倾斜角为α，则α(

)答案：C

2．(教材习题改编)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为

(

)A．1

B．4C．1或3 D．1或4答案：A

3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为

(

)A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0答案：B

4．直线l的倾斜角为30°，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1＝________；若直线l2⊥l，则直线l2的斜率k2＝________.5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x等于________．答案：－36．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(

)答案：B

直线的平行与垂直的判断及应用3．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝________.答案：－64．已知过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________．答案：－8易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点[典例]

(2013·常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为______________________．[答案]

x＋y－1＝0或3x＋2y＝01．因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x＋2y＝0而致错．所以，可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解．

2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有：

(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；

(2)选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况．[归纳·知识整合]交点坐标(1)若方程组有唯一解，则两条直线

，此解就是

；相交交点的坐标(2)若方程组无解，则两条直线

，此时两条直线

，反之，亦成立．无公共点平行[探究]

1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．2．距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝

点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝[探究]

1.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？

提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(

)答案：D

2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为

(

)A．10 B．5C．8 D．6解析：设A(a,0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)．答案：A

答案：B

3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝

(

)答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝05．点(2,3)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是________．答案：(－4，－3)

[例1]

经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程是________．[归纳·知识整合]1．圆的定义

(1)在平面内，到

的距离等于

的点的轨迹叫做圆．

(2)确定一个圆的要素是

和

．定点定长圆心半径2．圆的方程(1)标准方程①两个条件：圆心(a，b)，

；②标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.半径r(2)圆的一般方程①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②方程表示圆的充要条件为：

；③圆心坐标，半径r＝.D2＋E2－4F>0[探究]

1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？

提示：不一定．只有当D2＋E2－4F>0时，上述方程才表示圆．2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？

提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：3．点与圆的位置关系(1)理论依据：

与

的距离与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)①

⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内．点圆心(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是

(

)A．(2,3)

B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．答案：D

2．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是

(

)A．－1<k<4 B．－4<k<1C．k<－4或k>1 D．k<－1或k>4解析：由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.答案：D

答案：A3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是

(

)解析：∵点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，∴(2a)2＋a2<5，解得－1<a<1.4．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为

(

)A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8答案：B

5．(教材习题改编)经过圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心，且与直线2x＋y＝0垂直的直线方程是______________．答案：x－2y－3＝0求圆的方程[例1]

(1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为______________．

(2)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．[答案]

(1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)

(2)(x＋1)2＋y2＝21．求下列圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．2．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．答案：x＋y－1＝0[归纳·知识整合]1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交相切相离d<rΔ>0d＝rΔ＝0d>rΔ<0[探究]

1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？

提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离________________相外切______________________相交__________________________________相内切___________________________内含_________________________d>r1＋r2无解d＝r1＋r2一组实数解|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解[探究]

2.若两圆相交时，公共弦所在直线方程与两圆的方程有何关系？

提示：两圆的方程作差，消去二次项得到关于x，y的二元一次方程，就是公共弦所在的直线方程．[自测·牛刀小试]答案：A

1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是

(

)A．相交B．相切C．相离

D．不确定2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为

(

)A．内切

B．相交C．外切

D．相离答案：B

答案：A

答案：D

4．已知圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－6x＋6y＋14＝0关于直线l对称，则直线l的方程是

(

)A．x－2y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．x－y＋3＝0 D．x－y－3＝05．(2012·重庆高考)设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝

(

)解析：因为直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，所以所得弦长|AB|＝2.答案：D

1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y－3＝0的位置关系是________．解析：将x2＋y2－2y－3＝0化为x2＋(y－1)2＝4.由于直线l过定点(1,1)，且由于12＋(1－1)2＝1<4，即直线过圆内一点，从而直线l与圆相交．答案：相交有关圆的弦长问题

[例2](2012·北京高考)直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．—————————————————求圆的弦长的常用方法答案：D

5．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．解：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，[归纳·知识整合]1．椭圆的定义

(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之

等于常数；③常数大于

.(2)焦点：两定点．

(3)焦距：两

间的距离．

[探究]

1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，则动点的轨迹如何？

提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．和|F1F2|焦点2．椭圆的标准方程和几何性质－aa－bbb－bax轴、y轴(0,0)－a(－a,0)(a,0)(0，－b)(0，b)(0，－a)(0，a)(－b,0)(b,0)2a2b2c(0,1)a2－b2[探究]

2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？[自测·牛刀小试]答案：D

答案：AA．6 B．5C．4 D．3解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为

(

)答案：A

答案：C

答案：4椭圆的定义、标准方程答案：3答案：B

[归纳·知识整合]1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F距离与到定直线l的距离

；

(3)定点

定直线上．

[探究]

1.当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？

提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线．相等不在2．抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，结果如何？2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形1[自测·牛刀小试]1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是

(

)A．y2＝－8x

B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝4x解析：抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x.答案：C

2．已知d为抛物线y＝2px2(p>0)的焦点到准线的距离，则pd等于

(

)答案:D

4．若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中心，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________.答案：21．(1)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．

(2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于_______．解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.(2)抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.答案：(1)x2＝12y

(2)8抛物线的标准方程与性质[例2]

(1)抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(

)A．y2＝8x

B．y2＝12xC．y2＝16x D．y2＝20x(2)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为

(

)A．18B．24C．36D．48答案：C

3．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，求k的值．

[典例]

(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽____________米．1．抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0的距离最短的点的坐标是

(

)3．如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点为A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．(2)由(1)知b＝－1，方程(*)为x2－