( 线性代数)向量与向量组的线性组合

向量与向量组的线性组合(一)向量及其线性运算(二)向量组的线性组合

一个m

n矩阵的每一行都是由n个数组成的有序数组

其每一列都是由m个数组成的有序数组

在研究其他问题时也常遇到有序数组

这种有序数组称为向量

(一)向量及其线性运算定义3

1(向量)n个实数组成的有序数组称为n维向量

一般用

等希腊字母表示

有时也用a

b

c

u

v

x

y等拉丁字母表示

例如

都是向量

称为n维行向量

其中ai(1

i

n)称为向量

的第i个分量

称为n维列向量

其中bi(1

i

n)称为向量

的第i个分量

(一)向量及其线性运算定义3

1(向量)n个实数组成的有序数组称为n维向量

一般用

等希腊字母表示

有时也用a

b

c

u

v

x

y等拉丁字母表示

例如

(一)向量及其线性运算定义3

1(向量)n个实数组成的有序数组称为n维向量

一般用

等希腊字母表示

有时也用a

b

c

u

v

x

y等拉丁字母表示

(一)向量及其线性运算定义3

1(向量)

所有分量均为零的向量称为零向量

记为0

(0

0

0)

向量相等零向量和负向量n个实数组成的有序数组称为n维向量

一般用

等希腊字母表示

有时也用a

b

c

u

v

x

y等拉丁字母表示

两个n维向量当且仅当它们各对应分量都相等时

才是相等的

即对n维向量

(a1

a2

an)

(b1

b2

bn)

当且仅当ai

bi(i

1

2

n)时

n维向量

(a1

a2

an)的各分量的相反数组成的n维向量

称为

的负向量

记为

即

(

a1

a2

an)

定义3

2(向量的和)

由向量加法及负向量的定义

可定义向量减法

(

)

(a1

a2

an)

(

b1

b2

bn)

(a1

b1

a2

b2

an

bn)定义3

3(向量的数乘)

向量的加、减及数乘运算统称为向量的线性运算

两个n维向量

(a1

a2

an)与

(b1

b2

bn)的各对应分量之和所组成的向量

称为向量

与

的和

记为

即

(a1

b1

a2

b2

an

bn)n维向量

(a1

a2

an)的各个分量都乘以k(k为一实数)所组成的向量

称为数k与向量

的乘积

记为k

即

k

(ka1

ka2

kan)

由题设条件

有

3

1

2

2

2

0

解

(二)向量组的线性组合x1

1

x2

2

xn

n

线性方程组的向量形式(二)向量组的线性组合x1

1

x2

2

xn

n

线性方程组的向量形式

线性方程组是否有解

就相当于是否存在一组数

x1

k1

x2

k2

xn

kn

使线性关系式

k1

1

k2

2

kn

n

成立

即常数列向量

是否可以表示成上述系数列向量组

1

2

n的线性关系式

定义3

5(向量的线性组合与线性表示)

对于给定向量

1

2

s

如果存在一组数k1

k2

ks

使关系式

k1

1

k2

2

ks

s成立

则称向量

是向量组

1

2

s的线性组合

或称向量

可以由向量组

1

2

s线性表示

例如

(2

1

1)

1

(1

0

0)

2

(0

1

0)

3

(0

0

1)

显然有

2

1

2

3即

是

1

2

3的线性组合

或说

可由

1

2

3线性表示

定义3

5(向量的线性组合与线性表示)

对于给定向量

1

2

s

如果存在一组数k1

k2

ks

使关系式

k1

1

k2

2

ks

s成立

则称向量

是向量组

1

2

s的线性组合

或称向量

可以由向量组

1

2

s线性表示

定理3

3(判断法)

设向量

(b1

b2

bm)T

j

(a1j

a2j

amj)T(j

1

2

n)

则向量

可由向量组

1

2

n线性表示的充分必要条件是

以

1

2

n为列向量的矩阵与以

1

2

n

为列向量的矩阵有相同的秩

定义3

5(向量的线性组合与线性表示)

对于给定向量

1

2

s

如果存在一组数k1

k2

ks

使关系式

k1

1

k2

2

ks

s成立

则称向量

是向量组

1

2

s的线性组合

或称向量

可以由向量组

1

2

s线性表示

定理3

3(判断法)

设向量

(b1

b2

bn)

j

(a1j

a2j

anj)

(j

1

2

n)

则向量

可由向量组

1

2

n线性表示的充分必要条件是

以

1T

2T

nT为列向量的矩阵与以

1T

2T

nT

T为列向量的矩阵有相同的秩

例2

任何一个n维向量

(a1

a2

an)都是n维向量组

1

(1

0

0)

2

(0

1

0)

n

(0

0

1)的线性组合

因为

a1

1

a2

2

an

n

向量组

1

2

n称为Rn的初始单位向量组

例3

零向量是任何一组向量的线性组合

因为

0

0

1

0

2

0

s

例4

向量组

1

2

s中的任一向量

j(1

j

s)都是此向量组的线性组合

因为

j

0

1

1

j

0

s

例5

判断向量

1

(4

3

1

11)与

2

(4

3

0

11)是否各为向量组

1

(1

2

1

5)

2

(2

1

1

1)的线性组合

若是

写出表示式

例5

判断向量

1

(4

3

1

11)与

2

(4

3

0

11)是否各为向量组

1

(1

2

1

5)

2

(2

1

1

1)的线性组合

若是

写出表示式

向量组之间的线性表示设有两个向量组

1

2

s(A)及

1

2

t(B)如果向量组(A)中每一向量都可由向量组(B)线性表示

则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示

定理3

4

如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示

而向量组(B)又可由向量组(C)线性表示

则向量组(A)也可由向量组(C)线性表示

定义3

6(向量组的等价关系)

设有两个向量组

1

2

s(A)及

1

2

t(B)如果向量组(A)

(B)可以相互线性表示

则称向量组(A)与(B)等价

向量组等价关系的性质

(1)自反性任一向量组与其自身等价

(2)对称性如果向量组(A)与(B)等价

则向量组(B)与(A)等价

(3)传递性如果向量组(A)与(B)等价

向量组(B)与(C)等价

则向量组(A)与(C)等价

例6

设向量组

(A)

1

(1

0

0)T

2

(0

1

0)T

3

(0

0

1)T(B)a1

(1

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

1

1)T(C)

1

(0

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

0

0)T试判断三个向量组是否相互等价

因为

1

1

2

1

2

3

1

2

3所以向量组(B)可由向量组(A)线性表示

又

1

1

2

2

1

3

3

2所以向量组(A)可由向量组(B)线性表示

故向量组(A)与(B)等价

解

例6

设向量组

(A)

1

(1

0

0)T

2

(0

1

0)T

3

(0

0

1)T(B)a1

(1

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

1

1)T(C)

1

(0

0

0)T

2

(1

1

0)T

3

(1

0

0)T试判断三个向量组是否相互等价