中考数学复习满分突破（全国通用）：专题14 二次函数（解析版）

专题14二次函数【热考题型】【知识要点】知识点一二次函数的概念二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（QUOTEa ，  b ，  ca，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。二次函数y=ax1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。2）a ，b ，c是常数，a是二次项系数，3）二次项系数a≠0，而QUOTEb ，  cb，c知识点二二次函数的图象和性质（重点）二次函数的图象：它是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。【特征】：对称轴是直线；顶点坐标是(，)；c表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，c)；基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=h顶点(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0时，开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值。说明：最小值(或最大值)为0（k或）。增

减

性a>0x<0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的左边y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的右边y随x的增大而增大。a<0x<0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的左边y随x的增大而增大。x>0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的右边y随x的增大而减小。二次函数图象的平移：【平移规律口诀】h值正右移，负左移；QUOTEkk值正上移，负下移，简称“左加右减，上加下减”。知识点三二次函数的最值问题1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)；即：当时，（a>0，取得最小值；a<0,取得最大值）；2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，首先看x=是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内：①若对称轴在在此范围内，则当时，；②若对称轴不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性：1））如果在此范围内，y随x的增大而增大：则：当x=x2时，取最大值；当x=x1时，取最小值；2））如果在此范围内，y随x的增大而减小：则：当x=x1时，取最大值，当x=x2时，取最小值。知识点四二次函数图象与系数之间的关系抛物线y=ax1）公式法：y=ax2+bx+c=ax+b2）配方法：通过配方将抛物线的解析式化为y=ax−ℎ2+k的形式，得到顶点为(ℎ,k【扩展】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。二次函数图象与系数之间的关系：1）二次项系数a：决定抛物线的开口大小①当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；②当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．【总结】QUOTEaa决定了抛物线开口的大小和方向，aQUOTEa的正负决定开口方向，|QUOTEaa|的大小决定开口的大小，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．2)一次项系数b:决定了抛物线的对称轴①在a>0的前提下，当b>0时，−b2a<0，即抛物线的对称轴在y当b=0时，−b2a=0当b<0时，−b2a>0，即抛物线对称轴在y②在a<0的前提下，当b>0时，−b2a>0，即抛物线的对称轴在y当b=0时，−b2a=0当b<0时，−b2a<0，即抛物线对称轴在y【总结】在QUOTEaa确定的前提下，QUOTEbb决定了抛物线对称轴的位置。3）常数项cQUOTEc①当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；②当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；③当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．【总结】QUOTEcc决定了抛物线与QUOTEyy轴交点的位置。考查题型一二次函数的图象和性质题型1．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数y=a(x−1)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则aA．12或4 B．43或−12 C．−4【答案】D【提示】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．【详解】解：二次函数y=ax−12−a（1）当a>0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤4，y随x的增大而增大，∴当x=1时，y取得最小值，∴y=a1−12−a=−4（2）当a<0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤4，y随x的增大而减小，∴当x=4时，y取得最小值，∴y=a4−12−a=−4【名师点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．题型1-1．（2022·湖南郴州·中考真题）关于二次函数y=x−12+5A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是−1,5C．该函数有最大值，是大值是5 D．当x>1时，y随x的增大而增大【答案】D【提示】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．【详解】解：对于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；顶点坐标为（1，5），故B错误；该函数有最小值，最小值是5，故C错误；当x>1时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．【名师点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．题型1-2．（2022·新疆·中考真题）已知抛物线y=(x−2)2+1A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x=2 C．抛物线的顶点坐标为(2,1) D．当x<2时，y随x的增大而增大【答案】D【提示】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项提示判断即可得解．【详解】解：抛物线y=(x−2)2+1由解析式得，对称轴为直线x=2，因此B选项正确，不符合题意；由解析式得，当x=2时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为(2,1)，因此C选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，因此当x<2时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；故选D．【名师点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ题型1-3．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（

）A．m>2 B．m>32 C．m<1 【答案】B【提示】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，y2=（m-1）2+n，∵y1＜y2，∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，即-2m+3＜0，∴m＞32【名师点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．题型1-4．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A，BA．a<0 B．点A的坐标为−4,0C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线x=−2【答案】D【提示】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误；∵解析式为y=a(x+2)2+k，故对称轴为直线x∵B−1,0∴A点坐标为（-3，0），故B由图可知当x<−2时，y随x的增大而减小，故C错误；故选D．【名师点拨】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．题型1-5．（2021·江苏常州·中考真题）已知二次函数y=(a−1)x2，当x>0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（A．a>0 B．a>1 C．a≠1 D．a<1【答案】B【提示】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．【详解】∵二次函数y=(a−1)x2的对称轴为y轴，当x>0时，y随∴二次函数y=(a−1)x2的图像开口向上，∴a-1＞0，即：【名师点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．题型1-6．（2022·广东深圳·中考真题）二次函数y=1y=y=0,03,m1,4,2,22,8−1,2,−2,21,8(1)m的值为

；(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出y=−12x(3)点Px1,y1,Qx2,y2在新的函数图象上，且P,Q两点均在对称轴的同一侧，若y【答案】(1)m=6(2)图见解析，(5,0)(3)<或>【提示】（1）把点3,m代入y=2x−32+6即可求解．（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若y1>y2，则x1<（1）解：当x=3时，m=23−32+6=6（2）平移后的图象如图所示：由题意得：−12x当x=5时，y=0，则交点坐标为：(当x=−5时，y=0，则交点坐标为：(−综上所述：y=−12x2+5与y=（3）由平移后的二次函数可得：对称轴x=3，a=2>0，∴当x<3时，y随x的增大而减小，当x≥3时，y随x的增大而增大，∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若y1>y当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若y1>y综上所述：点Px1,y1,Qx2,y2在新函数图象上，且P，Q【名师点拨】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．考查题型二y=ax2+bx+c的图象和性质题型2．（2022·辽宁阜新·中考真题）下列关于二次函数y=3(x+1)(2−x)的图像和性质的叙述中，正确的是（

）A．点(0,2)在函数图像上 B．开口方向向上C．对称轴是直线x=1 D．与直线y=3x有两个交点【答案】D【提示】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下，∴B错误；C、∵二次函数对称轴是直线x=−bD、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，∴D正确；故选：D．【名师点拨】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．题型2-1．（2022·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，xA．x<1 B．x>1 C．x<2 D．x>2【答案】B【提示】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：∵y=2∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．【名师点拨】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．题型2-2．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−2A．a<0 B．c>0C．当x<−2时，y随x的增大而减小 D．当x>−2时，y随x的增大而减小【答案】C【提示】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．故选C【名师点拨】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．题型2-3．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=−1，且经过点(−3A．b>0 B．c<0 C．a+b+c>0 D．3a+c=0【答案】D【提示】图象开口向下，得a<0，对称轴为直线x=−b2a=−1，得b=2a，则b<0，图象经过(−3，0)，根据对称性可知，图象经过点(1，0)，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b【详解】解：∵图象开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a根据对称性可知，图象经过(−3，0)，∴图象经过点当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；∴c=-a-b，∴c>0，故B不符合题意；将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．故选：D．【名师点拨】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．题型2-4．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【提示】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∵1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．【名师点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．题型2-5．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知二次函数y=mx2−4m2x−3（m为常数，m≠0），点Pxp,A．m≥1或m<0 B．m≥1C．m≤−1或m>0 D．m≤−1【答案】A【提示】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m>0或m<0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．【详解】解：∵二次函数y=mx∴对称轴为x=2m，抛物线与y轴的交点为0,−3，∵点Pxp,yp是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤−3，∴①当m>0时，对称轴②当m<0时，对称轴x=2m<0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤xp≤4时，yp≤−3恒成立；综上，m【名师点拨】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．题型2-6．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m【答案】4【提示】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．【详解】解：∵y=x∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，【名师点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．题型2-7．（2022·江苏盐城·中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y【答案】1≤n<10【提示】先判断−2<m<2，再根据二次函数的性质可得：n=m2+2m+2=【详解】解：∵点P到y轴的距离小于2，∴−2<m<2，∵点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2∴当m=−1时，n有最小值为1．当m=2时，n=2+12+1=10，∴n故答案为：1≤n<10【名师点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．题型2-8．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）抛物线y=x【答案】（3，5）【提示】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．【详解】解：抛物线y=x∵将抛物线y=（x-1）2+2再向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．故答案为：（3，5）．【名师点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．题型2-9．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【答案】(1)m=1(2)二次函数y=x2+x−2【提示】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．（1）解：∵二次函数y=x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4)，∴4=4+2m+m2−3，即m2+2m−3=0，解得：m1=1，m2=−3，又∵m>0，∴m=1；（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．【名师点拨】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．考查题型三二次函数图象与系数符号之间的关系题型3．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx−ca≠0，其中b>0、A．B．C．D．【答案】C【提示】利用排除法，由−c<0得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴x=−b2a>0【详解】解：对于二次函数y=ax2+bx−ca≠0，令∴抛物线与y轴的交点坐标为0,−c∵c>0，∴−c<0，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，∴可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中，抛物线的对称轴x=−b2a>0，∵b>0故选C．【名师点拨】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．题型3-1．（2022·四川成都·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1A．a>0 B．当x>−1时，y的值随x值的增大而增大C．点B的坐标为(4,0) D．4a+2b+c>0【答案】D【提示】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0，故该选项不符合题意；B、根据图像开口向下，对称轴为x=1，当x>1，y随x的增大而减小；当x<1，y随x的增大而增大，故当−1<x<1时，y随x的增大而增大；当x>1，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；C、根据二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，可得对称轴x=xBD、根据B(3,0)可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0，故该选项符合题意；故选：D．【名师点拨】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与x轴交点A(−1,0)得到B(3,0)是解决问题的关键．题型3-2．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，若−2<正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【提示】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．【详解】∵对称轴为直线x=1，-2<x1<-1，∴3＜x2＜4，①正确，∵−b2a=1，∴b=-2а，∴3a＋2b=3a-4a=-a，∵a＞0，∴3a+2∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，根据题意可知x=-1时，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=-2a<0，∴a＋c<0，∴b2-4ac>a+c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误；故选B【名师点拨】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．题型3-3．（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②2a−b=0；③9a+3b+c>0；④b2>4acA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【提示】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x＝−b2a＞0，∵a＜0，∴∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵对称轴为x＝−b2a＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b+c＜0，故③错误；④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正确；⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c<b，故⑤正确．综上所述，正确的结论是：④⑤．故选：B．【名师点拨】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．题型3-4．（2022·四川凉山·中考真题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（

）A．a＞0B．a＋b＝3C．抛物线经过点（－1，0）D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根【答案】C【提示】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知a>0，该说法正确，故该选项不符合题意；B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知{a+b+c=0c=−3，解得C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意；D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y=−1的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），−3<−1<0，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y=−1的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；故选：C．【名师点拨】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键．题型3-5．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为(A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【提示】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，∴函数的最大值为4a﹣2b+c，∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，∴16a+c＞4b，故③正确；∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），∵抛物线开口向下，∴若-4<x0<0，则y0＞c．若x0≥0，则y【名师点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．题型3-6．（2022·四川广安·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2c﹣3b<0；③5a+b+2c=0；④若B（43，y1）、C（13，y2）、D（−13，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【提示】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．【详解】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则a>0，c<0，对称轴为直线x=−b2a=1，则b=−2a<0当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵b=−2a，∴3a+c=0，即3a=−c∴2c−3b=2×(−3a)−3×(−2a)=0，故②错误；∵对称轴为直线x=−b2a=1，∴抛物线与x∴a−b+c=0，∵9a+3b+c=0，两式相加，则10a+2b+2c=0，∴5a+b+c=0，故③错误；∵|−13−1|=43，|∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有y3∴正确的结论有2个，故选：B【名师点拨】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．考查题型四二次函数与一次函数、反比例函数综合判断题型4．（2022·湖北武汉·中考真题）二次函数y=a(x+m)2+nA．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限【答案】C【详解】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0．∴m＜0，∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．故选C．题型4-1．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数y=bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx−a(c≠0)和二次函数y=aA．B．C．D．【答案】D【提示】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．【详解】解：∵反比例函数y=b∴b>0，若a<0，则-b2a>0，所以二次函数开口向下，对称轴在y当a>0，则-b2a<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意．故选：D．【名师点拨】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．题型4-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=−A．B．C．D．【答案】C【提示】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数y=ax+b所经过的象限和反比例函数y=−c【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y∴a>0，−b2a<0，c<0，∴b>0，-c>0，∴一次函数y=ax+b【名师点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键．23．（2022·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y=ax+b2A．B．C．D．【答案】B【提示】根据y=ax2+bx+c的函数图象可知，a>0，b2−4ac>0【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，则a>0，与x轴存在2个交点，则b∵二次函数y=ax2+bx+c的图象，当x=2∴反比例函数y=4a+2b+cx图象经过一、三象限，结合选项，一次函数y=ax+b2−4ac【名师点拨】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．考查题型五y=ax2+bx+c的最值题型5．（2022·内蒙古包头·中考真题）已知实数a，b满足b−a=1，则代数式a2+2b−6a+7的最小值等于（A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【提示】由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．【详解】解：∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，∵(a-2)2≥0，∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故选：A．【名师点拨】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5是解题的关键．题型5-1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点A(a,b)，B(4,c)在直线y=kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（

）A．52 B．2 C．32【答案】B【提示】把A(a,b)代入y=kx+3后表示出ab，再根据ab最大值求出k，最后把B(4,c)代入y=kx+3即可．【详解】把A(a,b)代入y=kx+3得：b=ka+3∴ab=a(ka+3)=k∵ab的最大值为9∴k<0，且当a=−32k时，ab解得k=−14∴直线解析式为y=−14x+3把B(4,c)代入【名师点拨】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据ab的最大值为9求出k的值．题型5-2．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数y=−x2−2x+3，当a⩽x⩽12【答案】−1−3##【提示】先把函数解析式化为顶点式可得当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若a≥−1；若a<−1，即可求解．【详解】解：y=−x∴当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，若a≥−1，当a⩽x⩽12时，y随此时当x=12时，函数值y最小，最小值为若a<−1，当x=a时，函数值y最小，最小值为1，∴−a2−2a+3=1，解得：a=−1−综上所述，a的值为−1−3．故答案为：【名师点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．题型5-3．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是二次函数y=x【答案】−4【提示】先根据二次函数的对称轴为直线x=−1可求出b的值，再将点(−3,0)代入可求出c的值，然后求出x=−1时，y的值即可得．【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线x=−1，函数的图像经过点(−3,0)，则x=−b2=−1，9−3b+c=0将b=2代入9−3b+c=0得：9−3×2+c=0，解得c=−3，则二次函数的解析式为y=x当x=−1时，y=(−1)2+2×(−1)−3=−4【名师点拨】本题考查了二次函数的图像、以及最值，读懂二次函数的图像是解题关键．题型5-4．（2022·广东·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A1,0，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交(1)求该抛物线的解析式；(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．【答案】(1)y=x2+2x−3【提示】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由S△CPQ（1）解：∵点A（1，0），AB=4，∴点B的坐标为（-3，0），将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：{0=1+b+c0=9−3b+c，解得：b=2，c=-3，∴抛物线的解析式为（2）解：由（1）得抛物线的解析式为y=x顶点式为：y=(x+1)2−4由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，∵PQ∥BC，设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P(n由{y=−2x+ny=2x−2解得：∵P在线段AB上，∴−3<n2<1，∴n则S∴当n=-2时，即P（-1，0）时，S△CPQ【名师点拨】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．题型5-5．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【答案】(1)b＝-6，c=-3(2)x＝－3时，y有最大值为6(3)m＝－2或−3−【提示】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−xc=−3−36−6b+c=−3，解得：b=−6（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝−x2−6x−3∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），∵-1＜0∴抛物线开口向下，

又∵-4≤x≤0，∴当x＝-3时，y有最大值为6．（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，①当-3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为-3，当x＝m时，y有最大值为−m2−6m−3，∴−m2②当m≤-3时，当x＝-3时，y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴−(m+3)2+6=-4，∴m＝−3−10或综上所述，m＝-2或−3−10【名师点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．考查题型六待定系数法求二次函数解析式题型6．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标xx-2-101y0466下列结论不正确的是（

）A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x=C．抛物线与x轴的一个交点坐标为2,0 D．函数y=ax2【答案】C【提示】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可【详解】解：由题意得4a−2b+c=0a−b+c=4c=6，解得∴抛物线解析式为y=−x∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=12，该函数的最大值为254，故A、B、D说法正确，不符合题意；令y=0，则−x2∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；故选C．【名师点拨】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．题型6-1．（2022·浙江杭州·中考真题）已知二次函数y=x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线x=1A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④【答案】A【提示】根据对称轴为直线x=−a2=1，确定a的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个根为x【详解】假设抛物线的对称轴为直线x=1，则x=−a2=1∵函数的图像经过点(3，0),∴3a+b+9=0，解得b=-3，故抛物线的解析式为y=x令y=0，得x2−2x−3=0，解得故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；故命题②，③，④都是正确，命题①错误，故选A．【名师点拨】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物线与x轴的交点，对称轴，熟练掌握待定系数法，抛物线与x轴的交点问题是解题的关键．题型6-2．（2022·山东淄博·中考真题）若二次函数y=ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式nA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【提示】先求得a=1，推出m2=n−2，原式化简得【详解】解：∵二次函数y=ax2+2的图象经过P（1，3），∴3=a+2∴二次函数的解析式为y=x∵二次函数y=ax2+2的图象经过Q（m，n），∴n=∴n2∵(n−4)2≥0，∴【名师点拨】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．题型6-3．（2022·湖北荆州·中考真题）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1=2x+2与y2=−2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y=kx2+2【答案】y=2x−3或y=−【提示】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．【详解】解：∵函数y=kx2+2k−1x+k−3（k∴函数y=kx2+2k−1x+k−3当k=0时，函数解析为y=−2x−3，它的“Y函数”解析式为y=2x−3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴4kk−3−2k−124k故原函数的解析式为y=−x故它的“Y函数”解析式为y=−x故答案为：y=2x−3或y=−x【名师点拨】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．题型6-4．（2022·黑龙江·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A−1,0，点B2,−3，与y(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)存在，P11+【提示】（1）将点A−1,0，点B2,−3，代入抛物线得1−b+c=04+2b+c=−3（2）将解析式化成顶点式得y=x2−2x−3=x−12−4，可得D点坐标，将x=0代入得，y=−3，可得C点坐标，求出S△BCD=1的值，根据S△PBC=4S【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A∴1−b+c=04+2b+c=−3，解得b=−2c=−3，∴抛物线的解析式为：（2）解：存在．∵y=x2−2x−3=将x=0代入得，y=−3，∴C0,−3又∵B（2，-3），∴BC//x轴，∴D到线段BC的距离为1，BC=2，∴S△BCD=1设Pm,m2−2m−3，由题意可知点则S△PBC=1解得m1=1+5，或m2=1−∴存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，点P的坐标为P11+5【名师点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．考查题型七二次函数图象的平移规律题型7．（2022·四川泸州·中考真题）抛物线y=−12xA．y=−12xC．y=−12x【答案】D【提示】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a不变，选出答案即可．【详解】解：抛物线y=−12x2+x+1【名师点拨】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题关键，还要掌握y=ax2+bx+c(a≠0)题型7-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x−12+1A．y=x−22−1C．y=x2+1【答案】D【提示】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将二次函数y=x−12+1【名师点拨】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）小嘉说：将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点①向右平移2个单位长度

②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度

④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【提示】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．【详解】解：①将二次函数y=x2向右平移2个单位长度得到：y=x−22，把点②将二次函数y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：y=x−12−1③将二次函数y=x2向下平移4个单位长度得到：y=x2−4④将二次函数y=x2沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：y=−x2+4综上所述：正确的个数为4个；故选D．【名师点拨】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．题型7-3．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）函数y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0的图象是由函数①2a+b=0；②c=3；

③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【提示】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为−b2a=1，进而可得2a+b=0，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0的图象【详解】解：由函数图象可得：y=ax2+bx+c∴对称轴为x=−1+32=1，即−∵y=ax2y=ax2+bx+ca>0可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿∵y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0中a∴abc>0，故③正确；设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=a解得：a＝－1，∴y=−x+1∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；故选：D．【名师点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．题型7-4．（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x【答案】1，−3【提示】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．【详解】解：∵y=x∴抛物线的顶点为（-1，-2），将抛物线y=x旋转后的抛物线为y=−x−1再向下平移5个单位，y=−x−12+2−5∴新抛物线的顶点（1，-3）故答案是：（1，-3）．【名师点拨】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．题型7-5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．(1)求抛物线L1的函数表达式．(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．【答案】(1)y=x2+2x−3(2)【提示】（1）把A(1,0)代入y=a(x+1)2−4即可解得抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x−3；（2）将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，顶点为(−1,−4+m)，关于原点的对称点为(1,4−m)，代入y=x2+2x−3可解得m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得抛物线L3为y=(x−n+1)2−4，根据点B(1，y1)，C(3，（1）解：把A(1,0)代入y=a(x+1)2−4得：a∴y=(x+1)2−4=x2（2）解：抛物线L1:y=(x+1)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为(−1,−4+m)，而(−1,−4+m)关于原点的对称点为(1,4−m)，把(1,4−m)12+2×1−3=4−m，解得m=4，答：（3）解：把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L3，抛物线L3∵点B(1,y1)，C(3,y2y2=(3−n+1)2−4=(4−n)2−4，∵整理变形得：(2−n)2(2−n+4−n)(2−n−4+n)>0−2×(6−2n)>0，6−2n<0解得n>3，∴n的取值范围是n>3．【名师点拨】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．知识点五二次函数与方程、不等式之间的关系二次函数与一元二次方程的关系：1）一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标；2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①当△>0时，图象与x轴有两个交点；②当△=0时，图象与x轴有一个交点；③当△<0时，图象与x轴没有交点。二次函数与不等式的关系:1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围。考查题型八二次函数与一元二次方程题型8．（2022·湖北荆门·中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(

)A．a＝14 B．a≤14 C．a＝0或a＝﹣14 D．a＝0或【答案】D【提示】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax2-x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解．【详解】解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0），∴Δ=1﹣4a=0，∴a=14②函数为一次函数，∴a=0，∴a的值为14【名师点拨】此题考查了二次函数的性质，根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．题型8-1．（2022·四川雅安·中考真题）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（）①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．A．②③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④【答案】B【提示】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．【详解】解：∵y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，∴当x＝2时，y取得最小值﹣9；故①符合题意；∵y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为x=2，而3−2<4−2,∴y2>y1,故②符合题意；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）解得：x1=5,x【名师点拨】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．题型8-2．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知函数y=mx2+3mx+m−1【答案】1或−【提示】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可【详解】当函数图象过原点时，函数y=mx2+3mx+m−1的图象与坐标轴恰有两个公共点，此时满足m−1=0当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，此时满足Δ=3m2−4mm−1当m=0是，函数变为y=−1与y轴只有一个交点，不合题意；综上可得，m=1或m=−4故答案为：1或−【名师点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质．题型8-3．（2022·江苏无锡·中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．【答案】m>3【提示】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴m-3>0，解得：m>3，故答案为：m>3．【名师点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．题型8-4．（2022·四川遂宁·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．【答案】−4<m<0【提示】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x=-1代入解析式求解．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴-b2a＜0，∴b∵抛物线经过（0，-2），∴c=-2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c=0，∴a+b=2，b=2-a，∴y=ax2+（2-a）x-2，当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4，∵b=2-a＞0，∴0＜a＜2，∴-4＜2a-4＜0，故答案为：-4＜m＜0．【名师点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．题型8-5．（2022·山西·中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象（称为抛物线）与下面根据抛物线的顶点坐标（−b2a，4ac−b24a）和一元二次方程根的判别式△=（1）a>0时，抛物线开口向上．①当△=b2−4ac>0时，有4ac−b2∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．②当△=b2−4ac=0时，有4ac−b2∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．∴一元二次方程ax③当△=b……（2）a<0时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的提示过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选出两个即可）；A．数形结合B．统计思想C．分类讨论．D．转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的提示过程，写出③中当a>0,△<0时，一元二次方程根的情况的提示过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为【答案】(1)AC(2)提示见解析；作图见解析(3)答案见解析【提示】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，故答案为：AC；（2）解：a>0时，抛物线开口向上．当△=b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a>0﹒∴顶点在∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．（3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）【名师点拨】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．考查题型九二次函数与不等式题型9．（2022·山东滨州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A−2,0,B6,0，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2−4ac>0；②4a+b=0；③当A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【提示】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−2,0、∴抛物线对应的一元二次方程ax即△=b对称轴为x=−b2a=6−22由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时x＜－2或x＞6，故③错误，由图像可知，当x＝1时，y=a+b+c＜【名师点拨】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．题型9-1．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y1)，A．x≤−3或x≥1 B．x≤−1或x≥3 C．−3≤x≤1 D．−1≤x≤3【答案】D【提示】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】∵y=kx+m与y=−kx+m关于y轴对称抛物线y=ax2+c因此抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m的交点和与直线y=−kx+m的交点也关于y轴对称设y=−kx+m与y=ax2+c交点为A'、∵ax2+c≥−kx+m∴ax2+c≥−kx+m的解集为：【名师点拨】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解y=kx+m与y=−kx+m关于y轴对称是解题的关键．题型9-2．（2022·四川自贡·中考真题）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（

）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2【答案】C【提示】分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．【详解】解：方案1，设AD=x米，则AB=(8−2x)米，则菜园的面积=x(8−2x)=−2当x=2时，此时散架的最大面积为8平方米；方案2，当∠BAC=90°时，菜园最大面积方案3，半圆的半径=8π,此时菜园最大面积=【名师点拨】本题主要考查了同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为8米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．知识点六二次函数与实际问题“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。“解”就是求出说列方程的解；“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程考查题型十利用二次函数解决图形问题题型10．（2022·新疆·中考真题）如图，用一段长为16m的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______m【答案】32【提示】设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为16−2x米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解．【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为16−2x米，∴围栏的面积S=x⋅(16−2x)=−2x2+16x=−2∴当x=4时，S取最大值，最大值为32，故答案为：32．【名师点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键．题型10-1．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)x的值为2m；(2)当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为140【提示】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36m2，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=13(24-BD)=8-x，依题意得：3x(8-x解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，此时x的值为2m；；（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜103∵-3<0，∴x＜4时，S随着x的增大而增大，∴当x=103时，S有最大值，最大值为−3×即当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403【名师点拨】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型10-2．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m0<m≤6，求栅栏总长l与m（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P【答案】(1)y＝−16x2＋8(2)（ⅰ）l＝−12m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：−30＋9≤P1横坐标≤30；方案二：−21＋【提示】（1）通过提示A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）（ⅰ）结合矩形性质提示得出P2的坐标为（m，－16m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质提示最值；（ⅱ）设P2P1＝n（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，解得：a＝−16，∴抛物线对应的函数表达式为y＝−1（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，−16m2＋8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝−16m2＋8，P2P3＝2m，∴l＝3（−16m2＋8）＋2m＝−12m2＋2∵−12＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝−12m2＋2（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，∵－3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1＝3，P2P3＝9，令−16x2＋8＝3，解得：x＝∴此时P1的横坐标的取值范围为−30＋9≤P1横坐标≤30方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－92）2＋81∵－1＜0，∴当n＝92时，矩形面积有最大值为814，此时P2P1＝92，P2P3令−16x2＋8＝92，解得：x∴此时P1的横坐标的取值范围为−21＋92≤P1横坐标≤【名师点拨】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．考查题型十一利用二次函数解决图形运动问题题型11．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=43cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以3cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN，设运动时间为t s，△MND的面积为S cmA．B．C． D．【答案】B【提示】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB=43∴∠B＝60°，BC=12AB=2∵CD⊥AB，∴CD=12AC=3，AD=∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD=AM−AD=33−3∴S=1当M在BD上时，3＜t≤4，MD=AD−AM=3∴S=1【名师点拨】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高提示问题、解决问题的能力．题型11-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与tA．B．C．D．【答案】D【提示】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，∴直线EO垂直BC，∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，∴S=12当1＜t≤2时，∵正方形ABCD的边长为2，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，∴S=12【名师点拨】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．题型11-2．（2022·山东烟台·中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为_____．【答案】2【提示】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时BF＝3，AB＝2BF，即可解决问题．【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），∴x＝4时，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，∵3＝2FH，∴FH＝32，∵∠ABC＝60°，∴BF＝32sin∵DE∥AB，∴AB＝2BF＝23，故答案为：2【名师点拨】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．题型12（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．【答案】149##【提示】根据已知得出直