贝塞尔曲线控制点确定的方法

#怎样确定Bezier曲线的控制点(一)设在平面上已知有n・1个数据点Pi(xi,yi),i=0,1,2，…，n。要求在相邻的每两个点Pi与P1之间，用一条3次Bezier曲线连接。3次Bezier由4个点确定：R是它的起点，R1是它的终点，在起点和终点之间，另外还有两个控制点，依次记为 Ai和Bio现在的问题是：如何确定这两个控制点？(二)如果在各段3次Bezier曲线的接头处，只要求曲线函数式的一阶导数连续，也就是说，只要求曲线的切线斜率连续，那么，控制点还是很容易确定的。我们只要过每一个 R点，分别作曲线的切线，然后把位于R前面的控制点BiJ和位于R后面的控制点Ai,都取在过R点所作的切线上就可以了。如果我们把过R点的切线方向，取为与线段R」Ri平行的方向，那么，控制点A的坐标就可以表示为：A(Xia(Xi1—Xi」),yia(yid-y^));控制点Bi的坐标就可以表示为：Bi(Xi1-b(Xj.2-Xi),yi1-b(yi2-yi))其中，a,b是两个可以任意给定的正数，比如说，我们可以取控制点的坐标可以用下列公式求出:,丄,丄人十一为4(Xi—V,yiBiBi，yi」—4例设Pi4,Pi,Pi1,R2例设Pi4,Pi,Pi1,R2这4点的坐标为(Xi4,yi4)=(1,1),(Xi,yi)=(2,2),(Xi1,yiJ=(3,1)(Xi2,yi2)=(4,2),按照上面给出的公式，可以求得控制点Ai的坐标为(XiXi1 -Xi4yi=(2.5,2)控制点Bi控制点Bi的坐标为4-24=(2.5,1)。连接P与Pii的3次Bezier曲线的参数方程为‘X=2(1—t)3+7.5t(1—t)2+7.5t2(1—t)+3t3=2+1.5t—1.5t2+t3

y=2(1—t)3+6t(1—t)2+3t2(1—t)+t3=2—3t2+2t3这条3次Bezier曲线的图像为还必须指出，对这种曲线的最初一段和最后一段， 不能用上述公式计算，因为公式中要用到(x」，yj和(xn1,yn1)，这两个点其实是不存在的。这时可以有几种处理方法:(1)用(Xo，yo)的值作为(X」，y」)的值，用(Xn,yn)的值作为(Xn・1,yn・1)的值。也就是说，在连接P。与R的最初一段Bezier曲线中，控制点A。的坐标为在连接A0也就是说，在连接P。与R的最初一段Bezier曲线中，控制点A。的坐标为在连接A0(X0X1x°y1—y。y0"VPn4与Pn的最后一段Bezier曲线中，控制点Bn4的坐标为Bn4 (XnXn—Xnjynyn-ynd4(2)用曲线开端处和结尾处的切线方向来确定曲线的最初一段和最后一段。(2)用曲线开端处和结尾处的切线方向来确定曲线的最初一段和最后一段。设在曲线开端处，即在F0(Xo,yo)点，给定参数函数的一阶导数值为x"(t)=x0M(t)=y0'也就是说，给定曲线在开端处的切线斜率为_r(D也就是说，给定曲线在开端处的切线斜率为_r(D=应X(t) X0在曲线结尾处，即在 Pn（Xn,yn）点，给定参数函数的一阶导数值为在曲线结尾处，即在 Pn（Xn,yn）点，给定参数函数的一阶导数值为Mmy'(t)=y也就是说，给定曲线在结尾处的切线斜率为y(t)_yn。X(t)Xn这时，在连接Po与Pi的最初一段Bezier曲线中，控制点 Ao的坐标为Ao(x°+ {：0 ’4px0+y022，y0）。仏Xo yo在连接 Pn」与Pn的最后一段Bezier曲线中，控制点 的坐标为XnyXnyn儿（XnlXn2Y，I"；'2）。如果在各段3次Bezier曲线的接头处，不仅要求一阶导数连续，还要求二阶导数连续，也就是说，不仅要求曲线的切线斜率连续，还要求曲线的曲率连续，那么， 控制点就很难求了。这时，不仅要求控制点 Bi」和A都取在通过R点所作的切线上，而且还需要满足下列等式:AjJLAjJLBi^xsinZA^Bi^PABj汉sinNRABji=1,2,,n-1满足上述要