上海市黄浦区格致中学2024届高一上数学期末学业质量监测试题含解析

上海市黄浦区格致中学2024届高一上数学期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的定义域是A.（-1，2] B.[-1,2]C.（-1，2） D.[-1,2)2．设集合，集合，则等于（）A(1,2) B.(1,2]C.[1,2) D.[1,2]3．直线l1的倾斜角,直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为A.- B.C.- D.4．若，则关于的不等式的解集是（）A. B.或C.或 D.5．设函数,A.3 B.6C.9 D.126．设θ为锐角，，则cosθ=（）A. B.C. D.7．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A. B.C. D.8．已知函数在[2，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.9．圆与圆有（）条公切线A.0 B.2C.3 D.410．函数(其中为自然对数的底数)的图象大致为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在长方体ABCD—中，AB＝3cm，AD＝2cm，，则三棱锥的体积___________.12．如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________13．已知函数（1）当时，求的值域；（2）若，且，求的值；14．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的直线方程是________.15．已知，，，则的最大值为___________.16．函数最大值为__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，.（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若，函数为奇函数，且对任意，存在，使得，求实数的取值范围.18．计算（1）；（2）计算：；（3）已知，求.19．设全集为，集合，（1）分别求，；（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合20．如图，是平面四边形的对角线，，，且.现在沿所在的直线把折起来，使平面平面，如图.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.21．已知函数常数证明在上是减函数，在上是增函数；当时，求的单调区间；对于中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可【题目详解】由题意得：解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]，故选A【题目点拨】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.2、B【解题分析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.【题目详解】因为，，所以.故选：B.【题目点拨】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.3、C【解题分析】由题意可得L2的倾斜角等于30°+90°＝120°，从而得到L2的斜率为tan120°，运算求得结果【题目详解】如图：直线L1的倾斜角α1＝30°，直线L1⊥L2，则L2的倾斜角等于30°+90°＝120°，∴L2的斜率为tan120°＝﹣tan60°，故选C【题目点拨】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题4、D【解题分析】判断出，再利用一元二次不等式的解法即可求解.【题目详解】因，所以，即.所以，解得.故选：D【题目点拨】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于简单题.5、C【解题分析】.故选C.6、D【解题分析】为锐角，故选7、A【解题分析】判断两函数定义域与函数关系式是否一致即可；【题目详解】解：．和的定义域都是，对应关系也相同，是同一函数；的定义域为，的定义域为，，定义域不同，不是同一函数；的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；的定义域为，的定义域为或，定义域不同，不是同一函数故选：8、C【解题分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.【题目详解】由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：在上单调递减，且，所以且，解得：.故的取值范围是故选：C.9、B【解题分析】由题意可知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为半径为∵两圆的圆心距∴∴两圆相交，则共有2条公切线故选B10、A【解题分析】由为偶函数，排除选项B、D，又，排除选项C，从而即可得答案.【题目详解】解：令，因为，且定义域为，所以为偶函数，所以排除选项B、D；又，所以排除选项C；故选：A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解题分析】根据题意，求得棱锥的底面积和高，由体积公式即可求得结果.【题目详解】根据题意可得，平面，故可得，又因为，故可得.故答案为：.【题目点拨】本题考查三棱锥体积的求解，涉及转换棱锥的顶点，属基础题.12、2.【解题分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果详解：由题意知底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，解得n＝90，所以展开图中∠PSC＝90°，根据勾股定理求得PC＝2，所以小虫爬行的最短距离为2.故答案为2点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决三、13、（1）（2）【解题分析】（1）化简函数解析式为，再利用余弦函数的性质求函数的值域即可；（2）由已知得，利用同角之间的关系求得，再利用凑角公式及两角差的余弦公式即可得解.【小问1详解】，，利用余弦函数的性质知，则【小问2详解】，又，，则则14、2x＋y－14＝0【解题分析】求出直线AB的斜率，即可得出高的斜率，由点斜式即可求出.【题目详解】由A，B两点得，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y－4＝－2(x－5)，即2x＋y－14＝0.故答案为：2x＋y－14＝0.15、【解题分析】由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可.【题目详解】解：，当时取等，所以，故令，则，所以，当时，等号成立.所以的最大值为故答案为：16、3【解题分析】分析:利用复合函数的性质求已知函数的最大值.详解：由题得当=1时，函数取最大值2×1+1=3.故答案为3.点睛：本题主要考查正弦型函数的最大值，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】（1）由函数的定义域为，得到恒成立，即恒成立，分类讨论，即可求解.（2）根据题意，转化为，利用单调性的定义，得到在R上单调递增，求得，得出恒成立，得出恒成立，分类讨论，即可求解.【题目详解】（1）由函数定义域为，即恒成立，即恒成立，当时，恒成立，因为，所以，即；当时，显然成立；当时，恒成立，因为，所以，综上可得，实数的取值范围.（2）由对任意，存在，使得，可得，设，因为，所以，同理可得，所以，所以，可得，即，所以在R上单调递增，所以，则，即恒成立，因为，所以恒成立，当时，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，解得，所以；当时，显然成立；当时，恒成立，没有最大值，不合题意，综上，实数的取值范围.【题目点拨】利用函数求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.18、（1）；（2）；（3）【解题分析】（1）（2）根据分数指数幂的定义，及指数的运算性质，代入计算可得答案；（3）由，可得，即，将所求平方，代入即可得答案【题目详解】（1）；（2）（3）∵＝3，∴（）2＝x2+x﹣2+2＝9，∴x2+x﹣2＝7则（）2＝x2+x﹣2﹣2＝5，∴【题目点拨】此题主要考查指对幂四则运算，熟练掌握指对幂的基本知识点很容易求解，属于简单题目19、（1），或或；（2）【解题分析】（1）解一元二次不等式求得集合，由交集、并集和补集的概念计算可得结果；（2）根据集合的包含关系可构造不等式组求得结果.【题目详解】（1），则或，，或或；（2），，，解得：，则实数的取值范围构成的集合为.20、(1)见解析；（2）.【解题分析】（1）由平面平面，平面平面，且平面,且，根据线面垂直的判定定理可得平面；（2）取的中点，连.由，可得，又平面，所以，又，所以平面，因此就是点到平面的距离，在中，，，所以.试题解析：（1）证明：因为平面平面平面平面，平面,且，所以平面（2）取的中点，连.因为，所以，又平面，所以，又，所以平面，所以就是点到平面的距离，在中，，，所以.所以是点到平面的距离是.【方法点晴】本题主要考查、线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.21、（1）见解析；（2）见解析；（3）【解题分析】利用定义证明即可；把看成整体，研究对勾函数的单调性以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性；对于任意的，总存在，使得可转化成的值域为的值域的子集，建立关系