由费马原理推导的2个定律

由费马原理推导的2个定律

1光程最小来推导的控制律、律、法线、入射光线时v使用飞马原理可以确定折射定律和反射定法。然而，在一些教材中，费马原理认为反射时间和折射时间的光程最小，然后导出最小反射时间和光程的律法。一些教材使用光程极值，但在解释过程中，折射光线、法线和入射光束的反射时间在相同的平面上。反射时的反射光线、法线和入射光束在同一平面上。这些假设首先被假设，没有必要严格使用飞马原理。然而，我们的证明不需要假设条件，而是使用马原理来推理。这是非常严格的。2点间光程为极值路径费马原理是费马在1650年概括光线传播的实验定律提出的,其内容为:连结给定两点P和Q可以有许多路径,而光线只遵循两点间光程为极值的路径,数学表达形式为δ∫QPn(x,y,z)ds=0(1)费马原理要求光程为极值,可以是最小值,这是最常见的,也可以是最大值,还可以是稳定值.几何光学的核心就是费马原理,虽然几何光学被看作是波动光学的近似,但现在在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学的知识,费马原理是物理学和数学的精妙结合.3q需要在yz平面上传播出射线设光线由P点传播到Q点,P和Q两点分别在折射率为n1和n2的均匀媒质中,首先建立笛卡儿空间直角坐标系,选两种媒质的分界面为xy平面,选过P和Q两点并与媒质分界面垂直的平面为yz平面,如果P和Q两点的连线与分界面不垂直,yz平面选取为唯一,否则yz平面的选取不唯一,任选一个即可,如图1所示.设光线交xy平面于A点,由于在均匀媒质中光线沿直线传播,任意可能的路径是光线沿着直线PA传播到A点,并沿着直线AQ前进到Q点.设P点坐标为(0,y1,z1),Q点坐标为(0,y2,z2),A点坐标为(x,y,0),P和Q分别在两种均匀媒质中,不在xy平面上,即,z1≠0,z2≠0.令l1=¯ΡA=√x2+(y1-y)2+z12l1=PA¯¯¯¯¯=x2+(y1−y)2+z12−−−−−−−−−−−−−−−−√l2=¯AQ=√x2+(y2-y)2+z22l2=AQ¯¯¯¯¯=x2+(y2−y)2+z22−−−−−−−−−−−−−−−−√光程(PAQ)是x,y的二元函数,实际光线所走路径的光程为极值,则其对x,y的偏导数为零,这时的A点设为A0,即实际光线与媒质分界面的交点为A0,坐标为(x0,y0,0).这时的l1,l2分别为为l10,l20.fx(x,y)=(n1l-11−11+n2l-12−12)x=0则x0=0,即A0点在yz平面上,因此光线沿着yz平面传播,过A0点作xy平面的垂线OM即为法线,其也在yz平面上,由此得出折射光线、法线和入射光线在同一平面上,如图2所示.图2中的i1为入射角,i2为折射角.光程(PAQ)在A0点对y的偏导数也为0.fy(x,y)=n1l-11−11(y-y1)+n2l-12−12(y-y2)fy(0,y0)=0n1l-110−110(y0-y1)+n2l-120−120(y0-y2)=0则n1l-110−110(y0-y1)=n2l-120−120(y2-y0)(2)由(2)式得又到n1y0-y1l10=n2y2-y0l20(3)n1y0−y1l10=n2y2−y0l20(3)因此(y0-y1)(y0-y2)=-n2l10n1l20(y0-y2)2≤0(y0−y1)(y0−y2)=−n2l10n1l20(y0−y2)2≤0即min(y1,y2)≤y0≤max(y1,y2)(4)设y1≤y2,则y1≤y0≤y2(5)不失一般性,如果y1<y2,由(2)式则y0≠y1,y0≠y2,否则y1=y2.因此y1<y0<y2(y1<y2)(6)由(6)式可知,如果P,Q两点的连线与分界面不垂直,折射光线和入射光线分居在法线的两侧.如果y1=y2,由(4)式y0=y1=y2,因此y0=y1=y2(y1=y2)(7)在图2中,分别过P,Q两点做垂直于OM的垂线,垂足分别为B,C,由于P,A0,Q都在yz平面上,并且法线OM与z轴平行,所以y0-y1=¯ΡB‚y2-y0=¯CQ,并且l10=¯ΡA0‚l20=¯A0Q,把这些关系式代入(3)式得到n1¯ΡB¯ΡA0=n2¯CQ¯A0Q(8)由于sini1=¯ΡB¯ΡA0‚sini2=¯CQ¯A0Q,可以得到下式n1sini1=n2sini2(9)综合(6)式和(9)式得出斯涅耳定律:折射光线、法线和入射光线在同一个平面上,折射光线和入射光线分居在法线的两侧,并且入射角和折射角的正弦之比为常量(入射角不为0时).如果P,Q两点的连线与分界面垂直,由(7)式及P,A0,Q三点都在yz平面上,P,A0,Q三点共线,则(9)式也满足,这时折射角和入射角都为0,入射光线和折射光线垂直于分界面,折射光线、入射光线和法线都在同一直线上.为了证明光线遵循折射定律所走路径的光程为极值,还需要证明[fxy(0,y0)]2-fxx(0,y0)·fyy(0,y0)<0成立.fxx(x,y)=n1l-11+n2l-12+∂(n1l-11+n2l-12)∂xxfxy(x,y)=∂(n1l-11+n2l-12)∂yx因此fxx(0,y0)=n1l-110+n2l-120>0(10)fxy(0,y0)=0(11)fyy(x,y)=n1l-11+n2l-12[n1l-31(y-y1)2+n2l-32(y-y2)2](12)根据前面l1,l2的定义,由于z1≠0,z2≠0,因此(y-y1)2<l21,(y-y2)2<l22,则n1l-31(y-y1)2+n2l-32(y-y2)2<n1l-11+n2l-12因此fyy(x,y)>0,则fyy(0,y0)>0(13)根据(10)～(13)式得到[fxy(0,y0)]2-fxx(0,y0)·fyy(0,y0)<0(14)根据fxx(0,y0)>0可知,遵循折射定律的路径的光程确实为极小值.4q两反射定律对于反射定律的推导和折射