2随机变量及其分布练习课

PAGEPAGE14随机变量及其分布习题§2。1一维随机变量(One-dimensionRandomVariable）Exercise2.3设袋中装有6个球，编号为{—1，2，2,2，3,3｝，从袋中任取一球，求取到的球的号的分布律。Solution因为可取的值为—1，2，3,而且，，，所以的分布律为—123Exercise2.4在贝努里概型中,次独立试验,事件发生的次数为随机变量，它的所有可能取值为,的分布律为）Exercise2。5某车间有8台5.6千瓦的车床，每台车床由于工艺上的原因，常要停车。设各车床停车是相互独立的,每台车床平均每小时停车12分钟。（1）求在某一指定的时刻车间恰有两台车床停车的概率。（2）全部车床用电超过30千瓦的可能有多大？Solution由于每台车床使用是独立的，而且每台车床只有开车与停车两种情况，且开车的概率为12/60=0。2，因此，这是一个8重贝努里试验。若用表示任意时刻同时工作的车床数，则，其分布律为，(（1）所求概率为。（2）由于30千瓦的电量只能供5台车床同时工作，“用电超过30千瓦”意味着有6台或6台以上的车床同时工作，这一事件的概率为=Exercise2.6某商店出售某种商品。根据经验，此商品的月销售量服从的泊松分布。问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以99%的概率满足顾客要求?Solution设月初库存件，依题意那么即查附表3，可知最小应是8，即月初进货时要库存8件此种商品，才能以99％的概率满足顾客要求。Exercise2。7一本500页的书，共500错字,每个字等可能的出现在每一页上，求在给定的某一页上最多两个错字的概率。Solution设表示在给定的某一页上出现的错字的个数,则，因为n很大，，所以可以用泊松分布近似计算，依题意§2.3连续型随机变量的概率密度(ProbabilityDensityofContinuousRandomVariable)Exercise2.8设随机变量X具有概率密度（1）试确定常数；（2）求；（3)求。Solution(1）由于，即=得.于是的概率密度；（2）=；（3）由定义=。当时，=0；当时，==所以。Exercise2.9设，求（1)；（2）；(3）;（4）;（5）。Solution查标准正态分布表（1）=。(2)=。（3）=.（4）=。（5)Exercise2。10设,求(1)；（2）；（3）.Solution（1）=.（2）。(3）===。Exercise2.11设一批零件的长度服从参数为的正态分布,规定长度在内为合格品,现任取1个零件，问它为合格品的概率？Solution由题意，即求=Exercise2.12公共汽车的高度是按男子与车门定碰头的机会在0。01以下来设计的，设男子身高(单位:cm)服从正态分布，试确定车门的高度。Solution设车门的高度为（cm）.依题意有即因为,查标准正态分布表，所以得即（cm），故车门的设计高度至少应为184cm方可保证男子与车门碰头的概率在以下。§2。4二维随机变量及其分布（Two—dimensionRandomVariableandDistribution)Exercise2。131个口袋中有大小形状相同的2红、4白6个球,从袋中不放回地取两次球。设随机变量，。求(的分布律及.Solution利用概率的乘法公式及条件概率定义，可得二维随机变量(X，Y)的联合分布律把的联合分布律写成表格的形式：YX0101。§2.5边缘分布与随机变量的独立性(MarginalDistributionandIndependenceofRandomVariable）Exercise2。14设（X，Y）的联合分布律为YX01230102003000试求关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立？Solution由表中可按行加得，按列加得YX01230102003000即得关于X的边缘分布及关于Y的边缘分布由于，而，所以互不独立.Exercise２.15设二维随机变量具有密度函数试求:(1）常数；（2）落在如图2—4所示的三角区域内的概率；（3）关于和关于的边缘分布，并判断是否相互独立.图2—4Solution（1）=所以；（2）；（3）关于的边缘分布密度函数为当时，=0。当时，故有=；同理可求得关于的边缘分布密度函数为=.因为对任意的实数,都有，所以相互独立。Exercise2.16设服从域（如图2—5)上的均匀分布，求关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立.Solution由均匀分布的定义，的联合分布密度函数为图2—5关于的边缘分布密度函数为关于的边缘分布密度函数为在,，的连续点处，由于,所以不相互独立。§2.6随机变量函数的分布（DistributionforFunctionofRandomVariable)Exercise2.17设的分布律为X0.10。20。30.4求(1）的分布律;（2）的分布律。Solution（1）因为的可能取值为，而且，，，因而，的分布律为Y0。10.20。30。4（2)类似地可求出的分布律为X0。10。20。30。4因为的可能取的值为，而且所以的分布律可整理为0140。20.40.4Exercise2.18设随机变量的分布律为12．．．n．．．．．．．