第讲不等式全国高中数学联赛分类汇编

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第01讲：不等式1、（2009一试3)在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域,它由不等式所确定，的取值范围是,则和的公共面积是函数．【答案】【解析】由题意知2、（2009一试4）使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为．【答案】20093、（2011一试3）设为正实数，，，则．【答案】-1【解析】由，得．又,即=1\*GB3①于是=2\*GB3②再由不等式=1\*GB3①中等号成立的条件，得．与=2\＊GB3②联立解得或故．4、（2012一试3)设，则的最大值是。【答案】【解析】不妨设则因为所以当且仅当时上式等号同时成立.故5、(2014一试2)设集合中的最大值与最小值分别为，则=_________。【答案】6、（2015一试6）在平面直角坐标系中点所对应的平面区域的面积为.【答案】24【解析】设，先考虑在第一象限中的部分，此时有x+3y≤6，故这些点对应于图中的△OCD及其内部.由对称性知，对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部.同理,设,则对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部.由点集K的定义知，K所对应的平面区域是被中恰好一个所覆盖的部分，因此本题要求的即为图中阴影区域的面积S。由于直线CD的方程为x+3y=6，直线GH的方程为3x+y=6,故它们的交点P的坐标为，由对称性知，7、（2016一试1)设实数满足，则的取值范围是。【答案】【解析】由可得，原不等式可变形为即，所以.又，故。8、（2009一试11）求函数的最大和最小值．又由柯西不等式得所以．由柯西不等式等号成立的条件,得，解得．故当时等号成立．因此的最大值为．9、（2009二试2)求证不等式:，，2，…【解析】证明：首先证明一个不等式：⑴，．事实上，令，．则对，,．于是，．在⑴中取得⑵．令，则，因此．又因为．从而．10、（2012二试3）设是平面上个点，它们两两间的距离的最小值为求证：以为圆心，为半径画个圆，它们两两相离或外切；以圆心,为半径画圆，这个圆覆盖上述个圆所以由易知所以对时也成立。综上，对任意正整数都有。因而证法二:不妨设故所以11、（2013一试12)(本题满分20分)求所有的正实数对,使得函数满足：对任意实数，有.【解析】已知条件可转化为：对任意实数,有。 eq\o\ac(○,1）先寻找所满足的必要条件。在eq\o\ac(○，1）式中令，得，即对任意实数,有。由于，故可取到任意大的正值,因此必有，即.在eq\o\ac(○，1)式中再令,得，即对任意实数，有. eq\o\ac(○，2）将eq\o\ac(○,2）的左边记为，显然(否则，由可知,此时，其中,故可取到负值,矛盾)，于是对一切实数成立，从而必有，即。 进一步,考虑到此时，再根据，可得.至此,求得满足的必要条件如下：，,。 eq\o\ac（○，3)下面证明,对满足eq\o\ac（○,3）的任意实数对以及任意实数，总有eq\o\ac(○，1）成立，即对任意取非负值。综上所述，所求的正实数对全体为.12、(2014二试1)（本题满分40分）设,满足，，求证：【证明】13、（2015一试9）（本题满分16分）若实数满足，求的最小值。14、(2015二试1）（本题满分40分)设是实数，证明：可以连取使得【证明】我们证明：15、（2016二试1）（本题满分40分)设实数满足。求的最大值.以下考虑的情况，约定,由平均不等式得，所以。当时,上述不等式等号成立，且有，此时.综上所述，所求最大值为.16、（2017一试9）