因式分解公式大全

因式分解公式大全因式分解公式大全公式及方法大全待定系数法（因式分解）待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在中的应用．在因式分解时，一些经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．常用的公式：（工+0）（k+8）=x2+（0+S）丁+俗±S）°=a2±2ab+b2白±8尸=/±弘%+3=/±b3a2-h2=（以一8）（0+3）a3±b3=（a±b）（a2+ab+b2'）£-皖=（厘_双£一+£一％+也”一哥+…+就产+81）5为正整数）£-h= _…+毡襁一^*g为偶数）G=9+句（广1-广务+尸官 於W,）侬为奇数）（a+if+c）2=a2+ +c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3-3abc=（a+S+c）（a2+82+c2-ab-be-ca）例分解因式： ^分析由于若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 和的形式，应用待定系数法即可求出和，使问题得到解决.解设比较两边对应项的系数，则有解之得，.1所以原式（ .（ 1说明本题也可用，请同学们自己解一下.例分解因式： 7. 7分析本题所给的是一元整多项式，根据前面讲过的，若原式有有理根，则只可能是±1,±7（7的约数，经检验，它们都不是原式的根，所以，在集内，原式没有一次因式.如果原式能分解，只能分解为（ （的形式.解设原式（ （（ （，（所以有由，先考虑,1有所以原式（因式分解公式大全因式分解公式大全解法解法1用分组分解法，使每组都有因式 ．2因式分解公式大全因式分解公式大全(2=((2=(2X22+2=12说明由于因式分解的唯一性，所以对二,1二等可以不加以考虑.本题如果=1=代入方程组后，无法确定a,的值，就必须将 =的其他解代入，直到求出待定系数为止.本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．求根法(因式分解)我们把形如anxn+an1xn1+・・・+a1x+a0(n为非负整数的代数式称为关于x的一元多项式，并用 (X,(x,…等记号表示，如 (x=x23x+2(x=x+x2+…， 当x=a时，多项式(x的值用 (a表示.如对上面的多项式 (x(1=12-我们把形如anxn+an1xn1+・・・+a1x+a0(n为非负整数的代数式称为关于x的一元多项式，并用 (x,(x,…等记号表示，如(x=x23x+2(x=x+x2+…，当x=a时，(x的值用 (a表示.如对上面的多项式(x(1=12X1+2=0；若 ）则称为多项式 的一个根.定理1因式定理若是一元多项式 的根，即 成立,则多项式 有一个因式-根据因式定理，找出一元多项式的一次因式的关键是求多项式的根.对于任意多项式，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式的都是时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有是的，是的约数.特别地，当 柳整系数多项式 的整数根均为的约数.我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行．例2分解因式：的3-4的2+6．的-4分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有2 4232+6X24,即的=是2原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式的-．2因式分解公式大全因式分解公式大全9 3 3 9 39 3 3 9 3原式3TOC\o"1-5"\h\z解法用多项式除法，将原式除以 ,所以原式 ^说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3分解因式：9 33x3分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，为：所以，原式有因式9 3.解9x4-3x3+7x2-3x-2因式分解公式大全因式分解公式大全说明若整系数多项式有根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为 3这样可以简化分解过程.总之，对一元高次多项式，如果能找到一个一次因式，那么就可以分解为 ，而是比这一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对进行分解了.双十字相乘法（因式分解）分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式 ，我们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式 .我们将上式按降幂排列，并把当作常数，于是上式可变形为 ，可分解二次三项式时，我们常用．对于某些二元二次六项式y我们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式 y我们将上式按降幂排列，并把当作，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-，(22y2-35可以看作是关于的二次三项式.对于常数项而言，它是关于的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即．再利用十字相乘法对关于的二次三项式分解所以原式[ ]I ]．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式 进行因式分解的步骤是：用十字相乘法分解 ，得到一个十字相乘图有两列）；把常数项分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的x例1分解因式：因式分解公式大全因式分解公式大全因式分解公式大全因式分解公式大全例求 例求 4的8平4方1根TOC\o"1-5"\h\z原式 ^(2)原式 ^原式中缺项，可把这一项的系数看成来分解.原式 ^(4)原式 ^说明(中4有)三个字母，解法仍与前面的类似．笔算开平方对于一个数的开方，可以不用计算机，也不用查表，直接笔算出来，下面通过一个例子来说明如何笔算开平方，对于其它数只需模仿即可第一步,先将被开方的数，从小数点位置向左右每隔两位用逗号，分段，如把数316.4分8段4成13,16.48,41.第二步，找出第一段数字的初商，使初商的平方不超过第一段数字，而初商加1的平方则大于第一段数字，本例中第一段数字为3，初商为1，因为12=1，<而3（1+1）2=4>3.第三步，用第一段数字减去初商的平方，并移下第二段数字，组成第一余数，在本例中第一余数为216.第四步，找出试商，使（20X初商试商）X试商不超过第一余数，而【20X初商试商］）X（试商则大于第一余数第五步，把第一余数减去（20X初商试商）X试商，并移下第三段数字，组成第二余数，本例中试商为7，第二余数为2748依.此法继续做下去，直到移完所有的段数，若最后余数为零，则开方运算告结束.若余数永远不为零，则只能取某一精度的近似值.第六步，定小数点位置，平方根小数点位置应与被开方数的小数点位置对齐.本例的算式如下：17.79116.48,41■■I220X1=20+7216 ■笫一余数271 口1 V1CJ>20X17=340+7|">748 ■■第二余数3472429 ……347X720X177=3540+ 931941……第三余数3549319413549X90根式的概念【方根与根式】数的次方根是指求一个，它的次方恰好等于的次方根记为为大于的自然数作为式，称为根式称为根，称为根底数在范围内，负数不能开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其相同，符号相反作【算术根】的正方根称为算术根作零的算术根规定为作【基本性质】由方根的定义，有崎X=q=行根式运算【乘积的方根】乘积的方根等于各因子同次方根的乘积；反过来，同次方根的乘积等于乘积的同次方根，即三0,bN0)【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除，即三0,b>0)【根式的乘方】三0)【根式化简】三0)\/c+y/d (、卜+a历)(+y/b) +y/d)(+y/b)-「枢)+『而、 a~b三0,dN0)^/c+ )(小/^— gE+— )「又十『而+^/b)(,\/^— —h三0,dN0)【同类根式及其加减运算】根指数和根底数都相同的根式称为同类根式，只有同类根式才可用加减运算加以合并.进位制的基与数字任一可表为通常意义下的有限小数或无限小数，各数字的值与数字所在的位置有关，任何位置的数字当小数点向右移一位时其值扩大10倍，当小数点向左移一位时其值缩小10倍.例如173.246=lxl02+7xlO+3+2xlO-1+4xlO-2+6xl0-3一般地，任一正数可表为=awx10Mx10M-1H Hi31Ml0+劭+0_］父101+0_3父10°+…这就是进数，记作，数 称为进位制的基，式中在 中取值，称为进数的数字，显然没有理由说进位制的基不可以取其他的数现在取为任意大于的当作进位制的基，于是就得到进数表示式中数字在 中取值， 称为进数 的整数部分，记作称为 的分数部分，记作 常用进位制，除10进制外，还有2进制、8进制、16进制等，其数字如下2进制0,18进制0,1,2,3,4,5,6,716进制0,1,2,3,4,5,6,7,oj?23A5各种进位制的相互转换1q-10转换适用通常的10进数，根据公式1,可以把q进数转换为10进数表示例如743(8)=7xS2+4x8+3=448+32+3=483(10)1011.101(2)=lx23+0x22+1x2+1+1x2-1+0x2-2+lx2-3=11.625阿10fq转换转换时必须分为部分和部分进行对于整数部分其步骤是：1用q去除10得到和记下余数作为q进数的最后一个数字)用商替换1的0)位］置重复(1)和(2两)步，直到商等于零)用商替换为止

对于分数部分其步骤是：(1)用q去a(10).(记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.(用乘积的分数部分替换a(10)的位置，重复(1)和(两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：103.118(10)=147.074324...(8)整数部分的 分数部分的草式 草式p-q转换通常情况下其步骤是：a(p)-a(10)-a(q).如果pc是同一数s的不同次，其步骤是：a(p)-a(s)-a(q).例如，进数1 .转换为1进数时，由于，1，所以s,其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-转2换表转换为2进数(三位一组)(8)=001010111.110101011(2)然后把2进数的所有数字从小数点起（左和右）每四位一组分组，从16-转2换表中逐个记下对应的16进数的数字，即■双⑻=cmi0111.110101011叫”.喟§正多边形各量换算公式为边数 为外接圆半径 为边长燎为内切圆半径为圆心角为多边形面积重心与外接圆心重合正多边形各量换算公式表各量正三角形为边数为半径为边长燎为半径为圆心角为面积重心与外接圆心重合正多边形各量换算公式表或许你还对作图感兴趣：所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图.若使用尺规有限次能作出几何图形，则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.很多平面图形可以用直尺和圆规作出，例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法.如何判断哪些作图可能，哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题，即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出.几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积.三等分角问题，即三等分一已知角.化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图.代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、求值中的方法技巧主要是式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．

解已知条件可变形为x解已知条件可变形为x所以说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解（或方程组），而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例已知a,为实数，且满足下式：，C求的值.解将②式变形如下所以a+b+c=或bc+ac+ab=.若bc+ac+ab=,则a+b+c=a+b+c+bc+ac+ab=a+b+c,=1所以a+b+c=±l.所以a+b+c的值为，1, 1说明本题也可以用如下方法对②式变形：即拆成1+1+L前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将拆成1+1+L.利用公式求值例3已知x+y=m,x3+y3=n,m#0,求x+y的值.解因为x+y=m,所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m•xy,所以求x+xy+的值.分析将x,y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x,y的值正好是一对共辗，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法.解x+xy+y=x+xy+y+xy=(x+y) +xy3.设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些（也叫辅助），以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．所以x+y+z=＋（+①由②有把①两边平方得u