洛必达法则（解析版）

洛必达法则思路引导思路引导“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则。法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)eq\o(lim,\s\do6(x→a))f(x)＝0及eq\o(lim,\s\do6(x→a))g(x)＝0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)eq\o(lim,\s\do6(x→a))f(x)＝∞及eq\o(lim,\s\do6(x→a))g(x)＝∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do6(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.母题呈现母题呈现类型一：用洛必达法则处理型函数【例1】已知函数，当时，，求的取值范围.【解析】当时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.记，，则，因此在上单调递增，且，所以；从而在上单调递增，所以.由洛必达法则有：，即当时，，所以，即有.综上所述，当，时，成立.【方法总结】用洛必达法则处理型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“”型式子；3.运用洛必达法则求值【针对训练】若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则；令，则；令，则；得在是减函数，故，进而（或，，得在是减函数，进而）．可得：，故，所以在是减函数，而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．类型二：用洛必达法则处理型函数【例2】已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．【解析】当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0⇔a<eq\f((x＋1)lnx,x－1)．令H(x)＝eq\f((x＋1)lnx,x－1)，则H′(x)＝＝eq\f(x－\f(1,x)－2lnx,(x－1)2)，令K(x)＝x－eq\f(1,x)－2lnx，则K′(x)＝eq\f(x2－2x＋1,x2)>0，于是K(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以K(x)>K(1)＝0，于是H′(x)>0，从而H(x)在(1，＋∞)上单调递增．由洛必达法则，可得eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f((x＋1)lnx,x－1)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f(((x＋1)lnx)′,(x－1)′)＝eq\o(lim,\s\do4(x→1＋))eq\f(1＋\f(1,x)＋lnx,1)＝2，于是a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2]．【方法总结】用洛必达法则处理型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“”型式子；3.运用洛必达法则求值【针对训练】设函数，若当时，求的取值范围【解析】当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令,则，令，则，，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值范围为。模拟训练模拟训练1.已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1),；函数在处取得极值，；又曲线在点处的切线与直线垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化为，即；当时，恒成立；当时，恒成立，令，则；令，则；令，则；得在是减函数，故，进而（或，，得在是减函数，进而）．可得：，故，所以在是减函数，而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．2.已知函数.（1）若在时有极值，求函数的解析式；（2）当时，，求的取值范围.【解析】（1）因为，所以由在处取极值，得，求得，所以.（2）当时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.记，，则，因此在上单调递增，且，所以；从而在上单调递增，所以.由洛必达法则有：，即当时，，所以，即有.综上所述，当，时，成立.3.已知函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求、的值；（2）如果当，且时，，求的取值范围。【解析】（1）略（2）由题设可得，当时，k<恒成立。令g(x)=(),则，再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，；在上为减函数，在上为增函数；故>=0，在上为增函数，=0，当时，，当x（1，+）时，，当时，，当x（1，+）时，，在上为减函数，在上为增函数，由洛必达法则知，，即k的取值范围为（-，0]4.已知函数，当时，若，都有恒成立，求的取值范围.【解析】当时，恒成立，等价于恒成立令则，再令，由得，当时，<0,在单调递减，，即，在单调递增，，即，，，在单调递增，由洛必达法则可得==1，，1，要使恒成立，只需，的取值范围是5.若不等式对于恒成立，求的取值范围.【解析】当时，原不等式等价于.记，则.记，则.因为，，所以在上单调递减，且，所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，且，故，因此在上单调递减.由洛必达法则有，即当时，，即有.故时，不等式对于恒成立.6.设函数.设当时，，求的取值范围.【解析】由题设，此时.①当时，若，则，不成立；②当时，当时，，即；若，则；若，则等价于，即.记，则.记，则，.因此，在上单调递增，且，所以，即在上单调递增，且，所以.因此，所以在上单调递增.由洛必达法则有，即当时，，即有，所以.综上所述，的取值范围是.7.设函数，若当时，求的取值范围.【解析】当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令,则，令，则，，知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值范围为。8.已知函数，．（1）若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；（2）若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围．【解析】(1)∵函数在R上单调递增，∴恒成立，∴，即，∴.(2)∵，∴函数，由对任意都成立，得恒成立.即恒成立.