电象法计算均匀带电圆环电流的层级解

电象法计算均匀带电圆环电流的层级解

电象法是利用唯一科学原理和场面叠加原理作为理论依据的间接求解磁体侧值问题的方法。其基本原则是使用假设的“象噪声”分布来取代所需区域内所有界面中的感应或极端电莲分布。当没有边界时，空间中的位置分布对应于有效电和湿电流。“点电荷”和“直线电”的镜像问题被广泛应用于计算磁体侧值的问题。然而，在现有的教材中，关于“细环形带”体球壳中的象电荷分布没有提及。而关于均匀带电细圆环周围空间电场的分布是电磁场中经常研究的问题.最常用的是用椭圆积分或数值积分的方法获得其电场分布;再者是选用直角坐标系下电势分布或柱坐标系下电场分布的级数形式解.本文首先推导均匀带电细圆环在金属导体球壳内的“镜象”,进而根据该系统的电场是轴对称与球对称兼并的特征,选择球坐标系,应用Taylor公式,将电场强度的计算公式作级数展开,从而求得均匀带电细圆环在全空间的电场分布的级数形式解;最后结合唯一性定理和电场的叠加原理,获得带电细圆环与导体球壳系统在全空间的场分布.1比色法求解“象细鞣”,确定最大荷的模型如图1所示,真空媒质中有一半径为R的不带电、亦不接地的导体球壳,在距离球心r1(r1>R)处有一带电荷量为Q的同心细圆环.从物理分析知,在电荷Q的作用下,导体球壳将出现感应电荷分布.静电屏蔽的结果,使球壳内部空间为一等势区,而球壳外部空间的场分布,则由带电圆环上的电荷及导体球壳上的感应电荷共同决定.应用电象法,可将导体球壳上的感应电荷分布,用带电圆环在导体球壳内的“镜象电荷”来代替.为了得出带电圆环在导体球壳内的镜象,可先将带电圆环视为点电荷系统,该点电荷系统到球心的距离均为r1.根据点电荷在不带电、也不接地的导体球内引入象电荷的思路,可在球内离球心为r′1(r′1=R2r1)处引入与该点电荷系统对应的“镜象”,它们将组成一个半径为r′1的同心细圆环,设其带电荷量为Q′.Q′与Q的共同作用是使导体球壳的电势为零.但是,由于导体球壳不接地,自身原来也不带电,根据静电平衡,导体球面应为等势面.因此,还需在球心处引入另一象电荷Q″,使其与Q′的电荷量相等,电性相反,即Q″=-Q′,这样就可以满足对应的边界条件.为了得出“象细圆环”的电荷分布,可在原圆环和象圆环上取对应的电荷元,如图2所示,则有:dQ′=-Rr1dQQ′=∫dQ′=∫-Rr1dQ=-Rr1Q(1)如果设“象细圆环”的电荷线密度为λ′,而λ=Q2πr1,则由式(1)得:2πr′1λ′=-Rr1(2πr1λ)⇒λ′=-Rr′1λ(2)Q″=-Q′=Rr1Q(3)2dq激发的电场如图3所示,设圆环的半径为r0,电荷线密度为λ0.选择球坐标系,由对称性知,带电圆环的电场分布关于z轴对称,因此,电场分布与φ无关,为简化计算,可取φ=0,即求解xOz平面内的任一点P的电场,就可以代表整个空间的场分布.球坐标基矢(er‚eθ‚eφ)与直角坐标基矢ex,ey,ez之间的变换关系为:{er=exsinθcosφ+eysinθsinφ+ezcosθeθ=excosθcosφ+eycosθsinφ-ezsinθeφ=-exsinφ+eycosφ反之为:{ex=ersinθcosφ+eθcosθcosφ-eφsinφey=ersinθsinφ+eθcosθsinφ+eφcosφez=ercosθ-eθsinθ如图3所示,在xOz平面内任取一场点Ρ(r‚θ‚0)；在圆环上任取的一电荷元dq,即源点dl′(r0‚π2‚φ′).各自位矢为:r=err,r0=e′rr0,间距:r′=r-r0=err-e′rr0.由两坐标基矢间的关系得:e′r=ercosφ′sinθ+eθcosφ′cosθ+eφsinφ′,故:r′=r-r0=er(r-r0cosφ′sinθ)+(-eθr0cosφ′cosθ-eφr0sinφ′)(4a)r′=(r2+r20-2rr0sinθcosφ′)12(4b)令:A=(r2+r20)‚B=2rr0sinθr2+r20,代入式(4b)得r′=A12(1-Bcosφ′)12(4c)而电荷元dq=λdl′=λ0r0dφ′,dq激发的电场为dE=dqr′4πε0r′3=λ0r0dφ′r′4πε0r′3(5)将式(4)代入式(5)得dE在球坐标系下的3个分量为:dEr=λ0r0dφ′(r-r0cosφ′sinθ)4πε0A32(1-Bcosφ′)32(6a)dEθ=-λ0r0dφ′(r0cosφ′cosθ)4πε0A32(1-Bcosφ′)32(6b)dEφ=-λ0r0dφ′(r0sinφ′)4πε0A32(1-Bcosφ′)32(6c)对式(6)积分得:Er=∫dEr=λ0r04πε0A32∫2π0(r-r0cosφ′sinθ)(1-Bcosφ′)32dφ′(7a)Eθ=∫dEθ=-λ0r20cosθ4πε0A32∫2π0cosφ′(1-Bcosφ′)32dφ′(7b)Eφ=∫dEφ=-λ0r204πε0A32∫2π0sinφ′(1-Bcosφ′)32dφ′=0(7c)为了计算(7a)、(7b),我们引用如下等式:∫2π0cosnφ′dφ′={0n=正奇数2πCnn=正偶数(8)其中‚C0=1‚Cn=(n-1)(n-3)(n-5)⋯3⋅1n(n-2)(n-4)(n-6)⋯4⋅2‚当n为不等于零的正偶数(9)由于|B|=|2rr0sinθr2+r20|＜1,所以可对(1-Bcosφ′)-32作Taylor展开得(1-Bcosφ′)-32=1+32Bcosφ′+5⋅32!22(Bcosφ′)2+⋯+Dn(Bcosφ′)n+⋯(10)式中Dn为Dn=(2n+1)(2n-1)⋯3⋅1n!2n(11)利用式(8)—式(11)计算如下积分:∫2π01(1-Bcosφ′)32dφ′=∫2π0[1+32(Bcosφ′)+5⋅32!22(Bcosφ′)2+⋯+Dn(Bcosφ′)n+⋯]dφ′=(1+5⋅32!22⋅B2⋅12+⋯+DnBnCn+⋯)2π=[1+∞∑n=2‚4‚6‚⋯(DnBnCn)]2π(12)∫2π0cosφ′(1-Bcosφ′)32dφ′=∫2π0cosφ′[1+32Bcosφ′+5⋅32!22(Bcosφ′)2+⋯+Dn(Bcosφ′)n+⋯]dφ′=(32B12+7⋅5⋅33!23B33⋅14⋅2+⋯+DkBkCk+1+⋯)2π=2π∞∑k=1‚3‚5‚⋯(DkBkCk+1)(13)将式(12)、(13)代入式(7)得:Er=λ0r0r2ε0A32[1+∞∑n=2‚4‚6‚⋯(DnBnCn)-r0sinθ∞∑k=1‚3‚5‚⋯(DkBkCk+1)](14)Eθ=-λ0r20cosθ2ε0A32∞∑k=1‚3‚5‚⋯(DkBkCk+1)(15)对于圆环轴线上一点而言,θ=0‚B=2rr0sinθr2+r02=0,代入式(14)、(15)得:Eθ=0Er=λ0r0r2ε0A32=Q0r4πε0(r02+r2)32此结论与文献—文献一致.3任意一步的系统分布对于由带电圆环和导体球壳所组成的系统,由唯一性定理知,该带电系统的场分布,可以简化为由两个带电细圆环和一个点电荷所组成的系统共同激发,如图4.因此,对于球外空间中任意一点的场分布为E=EQ+EQ′+EQ″(16)由式(14)、(15)得:其中λ=Q2πr1‚λ′=-Rr′1λ‚r′1=R2r1‚Q″=Rr1Q对于系统对称轴(Oz轴)上任意一点而言,有E=λr1r2ε0(r12+r2)32er+