关于库仑定律的讨论

关于库仑定律的讨论

众所周知，库伦丁律是1785年法国科学家科伦丁科伦士制定的具有显示静电现象的基本实验规则。真空中两个静止的点电荷q1和q2间的相互作用力的大小与它们电量的乘积成正比,与它们之间的距离r的平方成反比;作用力的方向沿着它们的连线,同号电荷相斥,异号电荷相吸。其中,⇀FF⇀代表q1对q2的作用力,⇀r0r⇀0为由q1到q2的方向的单位矢量,如图1所示。库仑定律也与其它物理规律一样,从量的方面来讲,都是反映着有关物理量之间在特定条件下的制约关系,也就是说,库仑定律也具有一定的适用条件。显然,从库仑定律的内容表述可知,它的适用条件应该是:①真空;如用各向同性均匀介质ε充满整个场所在空间,则库仑定律经推广为⇀F=q1q24πε0εr2⇀r0F⇀=q1q24πε0εr2r⇀0后亦适用。②点电荷;或带电体的线度d比带电体之间的距离r要小得多,即要求d<<r。③电荷静止。然而,有些书中甚至有些教材中在叙述或讨论库仑定律的适用条件时是很不严密的。要么忽略了条件①,要么忽略了条件③,要么条件①和③条件皆被忽略。在这种情况下,库仑定律成立与否,是一个值得分析和探讨的问题。为此,本文拟通过若干典型问题和实例的分析与讨论,使我们进一步明确库仑定律的适用条件。问题1:如果库仑定律的适用条件不包含“点电荷”或条件d<<r不满足时,那么,库仑定律的正确性仍能确保吗?为了回答这个问题,首先分析下面的例题。例:如图2表示,真空中有一半径为r0,带电量为Q的导体球,距球心为r(r>r0)处有一点电荷q,求电荷q所受的力。分析:由于带电体具有一定的形状和大小,当其周围存在其它电荷时,根据静电感应现象,一般情况下将影响它的电荷分布的均匀性。因此,不能直接应用库仑定律求解。不过本题所给定的是导体上的总电量,故可以找到一种合理的电荷分布,只要导体球上电荷总量保持不变,根据静电场的唯一性定理,利用电象分析法,即可求得结果。用迭加原理求解:i)先将导体球接地,在球心与电荷q所在位置的联线上,在球内距球心O为b处放一电象,根据q′边界条件要求,可求得,当b=r20r‚q´=-r0rq时,q与q′使得球面电势φ=0,即满足边界条件。ii)去掉导体的接地线,此时电荷分布已达平衡。再给此绝缘导体球加电荷(Q-q′)所加电荷必在导体球面上均匀分布。因此,(Q-q′)在球面上产生的电势宛如它在球心一样,这样才使球面为等势体,故此电荷分布是合理的。此时导体球的总电量为(Q-q′)+q′=Q,恰好满足唯一性定理的要求。因此,点电荷q与电荷为Q的导体球之间的相互作用力F的大小为:F=14πε0[q(Q-q´)r2+qq´(r-b)2]即:F=14πε0[qQr2-q2r03(2r2-r02)r3(r2-r02)2](1)显然,两电荷的相互作用力的大小是不满足库仑定律平方反比律的。仅当r>>r0时,(1)式变为:F=qQ4πε0r2近似为q与Q两点电荷之间的作用,这是合理的,这正是库仑定律的适用条件②所要求和满足的。但当r>>r0条件不满足时,则(1)式第二项是不可忽略的。再看作用力的方向。根据(1)式,若力以q2/r2为单位,距离以r0为单位。当Q/q取不同值时,则力与距离r的函数关系如图3所示。由图可知,q与Q的相互作用力究竟为斥力还是为吸力,取决于:a)当q靠近球面时,即r/r0～1(r>r0),不论Q、q是同号,还是异号,永远为引力。这当然是由于q在附近的感应电荷与其反号的缘故;b)Q=0,或Q与q异号,永远为引力;c)Q、q同号,近则吸引,远则排斥,且随Q>q,斥力增大。由此可见,当其库仑定律的适用条件中不包含“点电荷”或条件d<<r不满足时,不仅两电荷间作用力大小不满足平方反比律,而且作用力的方向也不再遵从“同号电荷相斥,异号电荷相吸”的规律。也就是说,库仑定律此时失去了它的正确性。问题2:如果库仑定律的适用条件不包含“真空”或不满足“各向同性均匀介质充满整个场所在空间”时。那么,库仑定律的正确性仍能确保吗?仍先分析一个例子。例:如图4所示,设y=0是介电常数为ε1和ε2的两种介质的分界面。介质1中有一点电荷q位于y=a处,介质2中有另一点电荷Q位于y=-a处。试求电荷q所受的作用力。此题曾是某大学考试题。据悉当时不少“灵机”的同学力图想将库仑定律直接推广用于此题。于是有:ε=ε1+ε22(是乎在求空间平均介电常数)。所以q受力大小为:F=qQ4πε0εr2=2qQ4πε0(ε1+ε2)(2a)2显然,计算过程非常简捷、明快。然而,此结果合理吗?分析:由于两点电荷都位于介质中,我们知道,当介质周围存在带电体时,二者相互作用的结果,介质将被极化,而介质的极化电荷又将反过来影响空间的电场。因此,不能直接应用库仑定律求解。不过在给定介质及其形状的情况下,可以找到一种合理的电荷分布,来替代或者等效极化电荷和给定电荷对空间电场的影响,从而确保其相同的效果。根据静电场的唯一性定理,利用电象分析法,即可求得结果。在分界面上方介质ε1中的电场应由两部分组成:一是由在y=a的点电荷q和它的镜象电荷q′(位于y=-a处)所造成的,而全部空间应看作为第一种介质ε1所充满;二是由在y=-a的可看成是等效于电荷Q在介质ε1中的影响一个点电荷Q′所造成的,而全部空间也应看作为第一种介质ε1所充满。根据静电场的唯一性定理,利用电象分析法,由分界面上的边值条件不难求得镜象电荷q′及Q′的值为:q´=ε1-ε2ε1+ε2q及Q´=2ε1ε1+ε2Q为此,根据推广后的库仑定律及其力的迭加原理,电荷q所受作用力的大小F为:F=14πε0ε1[qq´(2a)2+qQ´(2a)2]即F=q4πε0(ε1+ε2)⋅4a2[(ε1-ε2)qε1+2Q]⋯⋯(2)显然,点电荷q所受作用力的大小是不满足库仑定律平方反比律的,仅当ε1=ε2=ε时,(2)式变为:F=qQ4πε0ε(2a)2这正是当介质ε充满整个场所在空间时,库仑定律的推广所要求的。特别地,当ε=1(即为真空)时,F=qQ4πε0(2a)2这正是库仑定律的适用条件①所要求和满足的。但当ε1≠ε2时,则(2)式第一项是不可忽略的。再看作用力的方向。F的方向究竟沿y轴方向(相当于斥力)还是沿y轴负向(相当于引力),取决于:a)、若ε1>ε2,当q、Q同号时,⇀F永远沿y轴正向;当q、Q异号时,只要满足条件:|qQ|>2ε1(ε1-ε2)时,F的方向就沿y轴正向。上述条件不满足时,⇀F的方向则沿y轴负向。b)、若ε1<ε2,当q、Q异号时,⇀F永远沿y轴负向;当q、Q同号时,只要满足条件qQ>2ε1(ε2-ε1)时,⇀F的方向就沿y轴负向,上述条件不满足时,⇀F的方向则沿y轴正向。由此可见,当其库仑定律的适用条件中不包含“真空”或不满足“各向同性均匀介质充满整个场所在空间”时,不仅电荷受力大小不满足平方反比律,而且受力方向也随介质的差异及电荷的电量而变。也就是说,库仑定律此时就失去了它的正确性。问题3:如果库仑定律的适用条件不包含“电荷静止”。那么,库仑定律的正确性仍能确保吗?仍先分析一个例子。例:真空中点电荷q1以匀速V沿参考系Σ的x轴正向运动(在t=0时恰过原点O)。另一点电荷q2静止在Σ系中的y=b处,如图5所示,求电荷q2所受作用力。分析:由于电荷q1与q2间存在着相对运动,一方面,当其场源电荷相对于观察者(即某惯性参考系)运动时,它除了激发电场之外还要激发磁场,另一方面,当其相对于观察者运动的电荷置于电磁场中时,不仅要受到电场力的作用,一般情况还受到磁场力的作用。可见,电荷q2所受作用力,即取决于它所在处的电磁场,也取决于观察者所处的参考系。因此,也不能直接应用库仑定律求解。不过在明确参考系的前提下,只要求到q2所在处的电磁场,根据洛仑兹力公式⇀F=q(⇀E+⇀V×⇀B),即可求得结果。为不失一般性,从相对论情况入手。选参考系Σ′固定在q1上,如图5所示。且在t=t′=0时,O、O′重合。i)若在Σ′上观察。此时,任意时刻t′,电荷q1皆静止,因而只有静电场。其q2所在处电磁场强度分别为:⇀E´=q1⇀x´4πε0r´3‚⇀B´=0⋯⋯⋯⋯(3)其中r′2=[b2+(vt′)]。如果上式再换成以Σ系中的t来表示,因为t´=γ(t-vC2x1)。(其中γ=1√1-v2/C2=1√1-β2)而在Σ中,对q2所在处有x1=0,则t=γt。故r′2=[b2+(vγt)2]。于是相对于Σ′系,q2所受作用力为:⇀F´=q2(⇀E´+⇀V×⇀B´),即⇀F´=q2⇀E´所以有:⇀F´=q1q2⇀x´4πε0r´3⋯⋯⋯⋯(4)由(4)式知,作用于在Σ′中运动(在Σ′上观察,电荷q2以速度v沿x′负向运动)的电荷q2的力只取决于电荷q2的电量及在Σ′中的电场⇀E´,与电荷q2运动的速度完全无关。由此我们看到:只要产生场的场源电荷相对于观察者静止,受力电荷可作等速运动,虽然受力大小不一定与静止时相等,但形式上都与库仑定律相同。ii)若在Σ系上观察。此时,q2静止,而q1则以v沿x轴正向运动。根据洛仑兹变换式及电场和磁场变换式的逆变换。并注意到将v变为-v,不难得到在Σ上观察到的电磁场表达式:⇀E=q1γ⇀x4πε0r3‚⇀B=⇀vC2×⇀E⋯⋯⋯⋯(5)其中r2=[b2+(vγt)2]顺便指出:(5)式在非相对论情况下,即r→1时,有⇀E=q1⇀r4πε0r3‚⇀B=u0⇀v×⇀r4πr3⋯⋯⋯⋯(6)其中r2=[b2+(vt)2]‚⇀r=vti⇀+bj⇀。(6)式恰为静止电荷的静电场和对运动电荷的磁场的毕——莎定律表示式。于是,相对于Σ系,由(5)式即得q2所受作用力为:⇀F=q2(⇀E+⇀V×⇀B)即⇀F=q2⇀E所以有:⇀F=q1q2γ⇀x4πε0r3⋯⋯⋯⋯(7)由(7)式知,当场源电荷q1相对于Σ系运动时,q2所受作用力不满足库仑定律。仅当在非相对论情况下(r→1)‚⇀F形式上才与库仑定律相同,然而,一般情况下,若受力电荷还存在运动,则电荷受力应由洛仑兹力给出。由(4)式和(7)式可看出,仅当v=0(电荷静止)