电偶极子与电偶极矩的相互作用

电偶极子与电偶极矩的相互作用

静电学中有很多有趣的基本问题。其中之一是电压法中轴和点电负荷相互作用的问题。在许多文章中，讨论了著名的1.2因子问题。此外，如果可以忽略任何形状的不受腹领运动，静电作用可以表示为1.2。然后，从不同角度分析了祖母和外部电极之间的相互作用。同时，本文给出了静电学能量的讨论，由于篇幅有限，本文省略了一些常规的导言，但请参考相关参考书，以便在本节中突出讨论部分的讨论部分。1民法的静电能量式我们知道,电偶极子可看成正负点电荷系统,在外电场E中,其能量通常表示为Wdipole=-p·E(1)其中p=ql(q是正电荷的电量,l是从负电荷指向正电荷的矢量)是固定的电偶极矩,值得注意的是,以上表达式只计及正负电荷在外场中的能量,不但扣掉了两点电荷的自能(点电荷自能可认为是个很大的常数),还扣除了固定距离的两点电荷之间的相互作用能.现在来考虑一个不带电导体在外电场中的势能.根据计算,它的静电能量表达式是(推导见参考文献,第6页):W导体=-12p⋅E(2)W导体=−12p⋅E(2)其中p是导体的感应电荷所导致的电偶极矩.式(2)是只考虑电偶极子在外场中的转向和平移等运动,不涉及内部运动.式(1)和式(2)有一个非常令人瞩目的差别,就是式(2)有个1212因子.如何理解呢?显然,在式(2)的情况下,电偶极矩大小p不再是给定不变的,而是随着外电场大小和方向发生变化的,因它是感应出来的.导体表面的这些连续感应电荷之间肯定具有相互作用能.这部分能量的大小应该是W2=12p⋅E(3)W2=12p⋅E(3)显然,这部分能量应该是正的.这是因为,无外场时导体表面电荷密度和电偶极矩均为零.式(3)的能量是偏离不带电的稳定状态多出来的自作用能量,必定是正数,否则在无外场时将会出现电荷.式(3)加上感应电荷在外场中的能量式(1),就得到式(2).杜浩在文献中明确提出,导体在静电场中的能量可分为三部分,其中第二部分就是导体的带电状态改变所涉及的能量变化(另外两部分为导体-外场的相互作用能和外电源的做功).文献中是根据静电能的定义出发做严格地推导的.还有一个值得注意的问题,在上述式子中出现的电场E,是电偶极子或者导体所在处的实际总电场还是外电场?答案是外电场.我们将在第3节后面讨论这个问题.下面,我们将从另外两个不同的角度来推导式(2)或者式(3).2有关参数设置的讨论我们知道,一个真空平行板电容器的静电能为W0=12CV2(4)W0=12CV2(4)其中C=Aε0d(A是面积,d是两板间距)是电容.而一个充满相对介电常数为εr的电介质的电容器的能量为Wr=12εrCV2(5)这两式都不难从元功(dW=Vdq)做积分来得到.但是另一方面,我们可从电场能量密度的一般公式中得到:W0=12ε0∫E2dV(6)和Wr=12∫D⋅EdV=ε02∫E2dV+12∫P·EdV(7)式(7)的第一项已经表示全部静电场的能量,那么第二项的物理意义究竟是什么?显然它是和介质的极化强度P有关的,是外界让介质发生极化的过程所做的功.为了更仔细理解这一点,可想象介质是由密度为n的偶极子p=qx构成的,这样,P=nqx=χeε0E,其中χe是极化率.x正比于E,如同简谐振子的力正比于位移.若令qE=kx;就有k=nq2ε0χe.因此单位体积内简谐振子的势能为n12kx2=12Ρ⋅E.在微观上这是极化电荷间的内部相互作用静电能量,或者介质的机械能.形式上,这也正等于前面所讨论的导体表面感应电荷之间的相互作用能式(3)(前面记为12p⋅E).在静电学中,导体是一种特殊的电介质(εr→∞).这样,我们就从电介质的机械类比推导出了式(2)的1/2因子.由于线性介质中P与E成正比,式(7)第二项能量密度的变分是δP·E(相应地,总能量变分一般写成δD·E).这在后面讨论一般的介质热力学表达式中还要提到.值得提到的是,上面的E是总电场,那么式(7)的第一项似乎已经是全部的静电能量,为什么还会有第二项呢?原因在于,E是宏观的电场强度,是微观电场的平均.而全部静电能量应该是微观电场对应的总能量.当我们引进宏观物理量E、P等来描述电介质时,需要小心两者的差别,即式(7)的第二项.这一项虽然也是起源于静电相互作用,在宏观平均后我们就称之为介质内部的机械能了,其大小由介质的宏观参数(如极化率)决定.3等温条件下系统的能量分析根据电介质系统对外界的反应,可以研究它的热力学关系.为了讨论电介质热力学,我们假定空间电场的源头是一些理想带电导体(以下推导参考文献,44-50页):某个理想导体的电量发生变化,外界做功大小为δR=ϕδq(8)上式可以表达为场量的积分.可以证明,忽略其他做功形式,电介质系统内能U的变分可以表示为δU=TδS+∫E·δDdV(9)其中第二项就是式(8)的场量积分形式.而自由能F=U-TS的变分可写为δF=-SδT+∫E·δDdV(10)定义热力势˜F=F-∫D·EdV,则有δ˜F=-SδΤ-∫D·δEdV(11)考虑导体系统,则有∫E·DdV=∑iqiϕi,并且有(δF)T=∑iϕiδqi(12)(δ˜F)Τ=-∑iqiδϕi(13)利用热力学原理,由以上两式可知,在等温条件下,在固定导体电荷(或电势)的约束条件下,系统的自由能F(或热力势˜F)取极小值.式(12)和式(13)选取不同的物理量(电荷或者电势)作为热力学变量来刻画导体的状态,其区别是系统是否开放.这一点类似于正则系综和巨正则系综对热力学体系的不同描述.显然,对于实际的导体系统,它们在外电场中的静电受力与我们选择热力学变量无关.如果我们在自由能F中减去没有电介质存在时的外电场E0的电场能量,即做如下代换:F→F-ε02∫E20dV,并记为F′易知,在等温条件下,(δF′)T=∫[E·δD-ε0E0δE0]dV可以把它分解为如下形式:(δF′)T=∫dV[(D-ε0E0)·δE0+(δD-ε0δE0)·E-(D-ε0E)·δE0](14)可以证明,前两项的结果为零(利用小括号内两项的散度为零).最后我们可以得到(δF′)T=∫dV[-(D-ε0E)·δE0]=-∫P·δE0dV(15)此式的物理意义是,当外电场发生变化时,因为介质存在而引起的系统能量的变化.需要区分,前面讨论到的表达式∫δP·EdV代表的是状态发生变化时,系统机械能的变化.这两个能量物理意义上很容易混淆.需要指出,式(15)是总能量的变化,可直接用于热力学稳定性的讨论.而∫δP·EdV描述电介质的机械能变化,只是部分的能量改变(另一部分则是宏观平均后的电场能量改变),它们的物理意义不同,而且不是勒让德变换的关系(注意总电场E和外电场E0的区别).现在,利用式(15)来讨论第一节中提出的问题.在均匀外电场中(或者导体所处空间范围内,外电场变化缓慢),(δF′)T=-∫PdV·δE0=-p·δE0,p是系统总偶极矩.对大小确定的电偶极子,p固定,积分得其能量为u=-p·E0,这正是将p引入到电场E0中系统能量的改变,也就是静电相互作用能式(1).对引入外电场中的导体,因为电动力学基本规律的线性,p与E0成正比,可积分得,u=-12p⋅E0,正是式(2).这就从式(15)出发导出了式(2).本节的讨论也澄清了式(1)和式(2)中出现的电场大小的问题:在讨论介质(包含导体)在外电场中的静电势能时,出现在势能表达式中的电场的是外电场,而不是总电场.式(15)是一般的表达式.对于有限大小的电介质系统,如果我们考虑电场的空间变化,可以根据此式来求解热力学量,上文讨论的电偶极子问题和导体只是它的两个特例而已.同样,磁介质也有类似于式(15)的关系.4对两式的讨论在本文中,我们定性描述了电偶极子的静电能式(1)和导体静电能式(2)