湖南省长沙市2021-2022学年高二数学下学期期中题含解析

Page18湖南省长沙市2021-2022学年高二数学下学期期中题一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：，则.故选：A.2.A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.3.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正负相关与线性相关的强弱进行求解即可【详解】都是正线性相关，所以，并且相关性最强，所以；都是负线性相关并，所以，且相关性强，所以，所以；所以；故选：A4.函数的一个递减区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦函数的递减区间，可得，求解即可得到函数的递减区间，即可得到符合的结果【详解】对于函数，令，求得，可得函数的减区间为，，当时，可得该函数的一个减区间为，故选：B.5.已知圆柱的侧面积为，体积为则该圆柱的轴截面的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆柱侧面积与体积公式，解得底面半径及高，即可得到圆柱的轴截面面积．【详解】设圆柱底面圆半径为，高为，则由题意得到，解得，所以圆柱轴截面为正方形，此圆柱的轴截面正方形的面积为故选：．6.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】用二倍角余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，即，解得或（舍去），又.

故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.7.一试验田某种作物一株的生长果实个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取20株，果实个数在[的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为（）A.0.42 B.0.6 C.4.2 D.6【答案】C【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性和二项分布的方差公式即可求解.【详解】∵，且，∴，∴.X的方差为.故选：C.8.已知是定义域为R的偶函数，，，.若是偶函数，则（）A.－3 B.－2 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根据得到关于对称，得到，结合和为偶函数即可得周期为4，进而即得.【详解】因为为偶函数，则关于对称，即.即，即，也满足.又是定义域为R偶函数，关于y轴对称，∴，，∴周期为4，∴，∴.故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.记为等差数列的前n项和．已知，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．【详解】由题知，，解得，∴，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.若函数，则（）A.的定义域是B.有两个零点C.在点处切线的斜率为D.在递增【答案】BCD【解析】【分析】对A，根据定义域即可判断；对B，直接解方程可求解；对C，求出在处的导数可得；对D，求出函数导数，根据导数可判断单调性.【详解】对于A：函数的定义域是，故A错误；对于B：令，即，解得：或，故函数有2个零点，故B正确；对于C：斜率，故C正确；对于D：，时，，，故，在单调递增，故D正确.故选：BCD.11.已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则（）A.变量x与y具有正相关关系 B.去除后的回归方程为C.去除后y的估计值增加速度变快 D.去除后相应于样本点的残差为0.05【答案】AB【解析】【分析】A.根据回归直线方程的x系数的正负判断.B.根据去除前后样本点不变判断.C.根据去除前后x的系数大小判断.D.根据残差的计算公式判断.【详解】因为回归直线方程为，，所以变量x与y具有正相关关系.故A正确.当时，，样本点为，去掉两个数据点和后，样本点还是，又因为去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，所以，解得，所以去除后的回归方程为，故B正确.因为，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故C错误.因为，所以，故D错误.故选：AB【点睛】本题主要考查回归分析的理解，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.12.已知抛物线C：，圆F：（F为圆心），点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点A，则下列结论中正确的是（）A.的最小值是 B.的最小值是C.当最大时， D.当最小时，【答案】AC【解析】【分析】确定出抛物线C的焦点坐标，圆F的圆心和半径，分析、计算判断A，B；数形结合，计算判断C，D作答.【详解】抛物线C：的焦点，圆F：的圆心，半径，对于A，的最小值是的最小值减去圆的半径，又的最小值是1，的最小值是，A正确；对于B，设，则，，当时，，当时，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值是，B不正确；对于C，如图所示，要使最大，当且仅当AQ与圆F相切，AP与抛物线C相切，且P，Q在x轴两侧，所以当最大时，，C正确；对于D，因最小值为，即P，A，Q共线，则当最小时，即，D不正确.故选：AC【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心的距离加或减圆半径求解.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数是R上的偶函数，则实数m的值为___________.【答案】0【解析】【分析】根据奇偶性的性质可得函数是R上的奇函数，则，从而求出参数的值，再代入检验即可；【详解】解：因为函数是R上的偶函数，是R上的奇函数，所以函数是R上的奇函数，∴，∴，∴，当时，，∴，即符合题意.故答案为：14.的展开式中的系数为__________．【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式可求得结果.【详解】因为，又的展开式的通项所以的展开式中的系数为.故答案为：.15.已知平面向量，，.若与共线，则在上的投影向量的坐标为___________.【答案】【解析】【分析】先根据向量的坐标运算，表示出，根据共线求出，然后可得在方向上的投影向量的坐标.【详解】∵，，∴，又∵与共线，∴，∴，∴，向量在向量方向上的投影为，由于向量在向量方向上的投影向量与共线，且，可得所求向量为.故答案为：16.设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点A是C右支上的一点，则的最小值为___________.【答案】8【解析】【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值．【详解】解：由双曲线C：，可得，，所以，所以，，由双曲线定义可得，所以，所以，由双曲线性质可知：，令，则，所以，记，设，则，所以，即在上单调递增，所以当时，取得最小值，此时点A为双曲线的右顶点（1，0）．故答案为：8．四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，且对于任意，，都有.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先求出，，再判断数列是首项和公比都为的等比数列，最后求即可；（2）先求出，再判断数列是以为首项，以为公比的等比数列，最后求即可.【详解】解：（1）∵对于任意，，都有成立，∴令，，得，即，，∴数列是首项和公比都为的等比数列，∴，.（2）∵，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴.【点睛】本题考查利用递推关系求通项公式，等比数列的通项公式与前项和，是基础题.18.在中，.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，即可得出的周长.【小问1详解】解：在中，设内角、、的对边分别为、、，因为，即，由题意得：由正弦定理得，即，所以，，又因为，所以，.【小问2详解】解：，代入，则，即，因为，所以，，则，可得，因此，的周长为.19.“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措.为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业.因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：男生女生总计90分钟以上8018090分钟以下220总计160240400（1）求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？（2）教务处从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，校长再从这9人中选取3人进行访谈，记校长选取的3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.0763.8415.0246.635【答案】（1），，，列联表答案见解析，没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关（2）分布列答案见解析，数学期望：【解析】【分析】（1）根据给定数表计算x，y，z，完善列联表，再计算观测值与临界值比对作答.（2）根据分层抽样分别求得抽得的男女生人数，再根据超几何分布可求解.【小问1详解】由表中的数据可得：；；；所以列联表如下：男生女生总计90分钟以上8010018090分钟以下80140220总计160240400.所以没有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关.【小问2详解】抽取的9人中，需要抽取男生：人，女生：人，X取值0，1，2，3，，，故X的分布列为X0123P.20.如图，在四棱台中，底面四边形ABCD是矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD.（1）求证：平面ABCD；（2）若二面角的余弦值为，求四棱台的高.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质可得，，再利用线面垂直的判定推理作答.（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量及二面角余弦值计算作答.【小问1详解】因为底面四边形ABCD矩形，有，而平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，则平面，又平面，则有，因平面平面ABCD，同理有，而，平面ABCD，所以平面ABCD.【小问2详解】在四棱台中，由（1）知，AB，AD，两两垂直，且即为四棱台的高，以A为原点，射线AB，AD，分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，设平面的一个法向量，则，令，得，平面的一个法向量，因此，，解得，所以四棱台的高为1.21.已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，直线与椭圆相交于两点P和Q，且.（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O且斜率为的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D.证明：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得，即得；（2）由题可设AB方程为，利用韦达定理，弦长公式及椭圆的性质即得.【小问1详解】由对称性知点在椭圆上，由题意可得，解得，，∴椭圆E的方程为；【小问2详解】设直线AB方程为，联立，得，∴，即.设，，，则，，∴，，即，则OM所在直线方程为，联立，得或.∴，.则.而∴，即.22.已知函数，.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，函数的最小值为（其中为的导函数），求的值.【答案】（1）增区间为、，减区间为（2）【解析】【分析】（1）当时，求得，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；（2）设，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可知存在极值点，且满足，求得，根据已知条件求出的值，即可求得实数的值.【小问1详解】解：因为，则，当时，，由，得或，当或时，，当时，，所以函数的增区间为、，减区间为.【小问2详解】解：设，且，，设，则，当时，，当时，，所以，函数