第二十二节 双变量问题之换元法与主元法-解析版

第二十二节双变量问题之换元法与主元法知识与方法1．换元法：将要证明的不等式或目标代数式通过变形成关于的整体结构，通过将换元成t把问题化归成单变量问题来处理，这一方法也称为“齐次换元”.2.主元法：要证明的不等式或目标代数式中含有和两个变量，将其中一个变量看成主元，另一个变量看成次元，将主元换成x，构造函数研究问题.典型例题【例1】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明：.解：（1）由题意，，所以，，故所求切线方程为.（2）证法1：要证，只需证，即证，也即证，故只需证，即证，令，由知，所以只需证对任意的成立，设，则，所以在上单调递减，又，所以恒成立，故对任意的成立，从而证法2：要证，只需证，即证，设，则，所以在上单调递减，结合知恒成立，因为，所以，故.【例2】已知函数.（1）若存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）若，是的两个不同的极值点，证明：.【解析】（1）由题意，，，若在上单调递减，则恒成立，即，所以，设，则，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故，因为恒成立，所以，故当在上单调递减时，，因为存在单调递增区间，所以，故a的取值范围为.（2）由题意，，是的两个零点，所以由3×①+②可得：，整理得：③，由①－②可得：，所以，代入式③得：，所以④，设，则且，且式④即为，所以要证，只需证，即证⑤，设，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，所以，故，当时，，即，所以，故，所以不等式⑤对任意的且都成立，故成立.【例3】已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，证明：.【解析】（1）当时，，易求得，设，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，故；当时，，故；从而在上单调递增，在上单调递减.（2）证法1：由题意，，设，则，所以在上单调递减，因为，所以，又，所以在上有唯一的零点，且当时，，所以；当时，，所以；从而在上单调递增，在上单调递减，故①，因为，所以，代入①整理得：，注意到函数在上为减函数，结合可得，设，，则，所以在上单调递减，又，所以，从而，因为，所以，结合是的最大值可得.证法2：由题意，要证，只需证，即证，也即证①，将a看成主元，x看成常数，设，则，当时，，所以，，从而在上单调递增，在上单调递减，故.设，则，所以在上单调递增，又，所以恒成立，即，因为，所以，即，所以不等式①成立；当时，，所以恒成立，故在上单调递减，从而，由（1）可得当时，，又，所以，即，所以不等式①成立；综上所述，当时，成立.【反思】本题第2问证法1直接对求导研究，求得的最大值，利用虚设零点，零点代换的方法去化简，再通过放缩证得；证法2则先将a看成主元，x看成次元，对x进行分类讨论证得不等式.强化训练1．设a和b是任意两个不相等的正数，证明：.证明：不妨设，先证，只需证，即证，令，则只需证对任意的成立，设，则，所以在上单调递减，结合可得，即，所以成立；再证，只需证，即证，也即证，令，则只需证对任意的成立，令，则，所以在上单调递减，结合可得恒成立，即，所以，综上所述，不等式成立.2．已知函数，（1）若直线与的图象相切，求实数k的值；（2）设，比较与的大小，并说明理由.【解析】（1）设切点为，因为，所以，解得：.（2）解法1（换元法）：，证明如下：要证，只需证，即证，也即证，故只需证①,令，则，且不等式①即为，整理得：②，令，，则，，所以在上单调递增，又，所以，从而在上单调递增，因为，所以，故式②成立，所以解法2（主元法）：，证明如下：要证，只需证因为，所以，故只需证，即证，令，，则，，所以在上单调递增，又，所以，从而在上也单调递增，易求得，所以恒成立，因为，所以，故3．已知函数，其中.（1）当时，求的极值；（2）当，时，证明：.【解析】（1）由题意，，，所以当时，，，由解得：或，由解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故有极大值，极小值.（2）由题意，，，要证，只需证，而，，所以只需证，即证①，下面给出两种证明不等式①的方法：证法1：要证，只需证，即证，令，则，所以在上单调递增，显然，所以当时，，因为，所以，即，故.证法2：要证，只需证，即证，令，则，所以只需证当时，，即证，令，则，所以在上单调递增，又，所以成立，即，故4．设函数，其中.（1）当时，证明：有且仅有一个零点；（2）在函数的图象上是否存在不同的两点，，使得线段中点的横坐标与直线的斜率k之间满足?若存在，求出；若不存在，说明理由.【解析】（1）当时，，，所以，从而在上单调递增，又，所以有且仅有一个零点.（2）假设存在A、B两点满足，不妨设，由题意，，易求得，所以，