19.2双曲线的标准方程和性质

同学们好学习是进步的源泉技能是谋生的基础探究引导：如图19-9所示，有一条两边不等长的拉链〔拉链两边的长度差是常量〕，将长的一边端点固定在桌面上点F1上，短的一边端点固定在桌面上点F2上。在桌面上拉开拉链时，拉链锁头M移动的轨迹是一条曲线。再把短的一边的端点固定在F1上，长的一边的端点固定在F2上，同样可以得到一条曲线，这两条曲线合起来叫做双曲线，你能具体做一做吗？§19.2双曲线的标准方程和性质一、双曲线的定义与标准方程定义平面内到两个定点的距离之差的绝对值是常数〔大于0且小于两定点间距离〕的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点。设双曲线的两个焦点分别为F1，F2，取过F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xoy〔如图19-10〕即设︱F1F2︱=2c〔c＞0〕，那么焦点坐标为F1〔－c，0〕，F2〔c，0〕。设M〔x，y〕是双曲线上的任意一点，其到F1和F2的距离之差的绝对值等于定值2a〔0＜2a＜2c〕，由两点间距离公式，得化简整理，得由双曲线的定义可知，2c＞2a，即c＞a，故c2－a2＞0.令c2－a2=b2〔b＞0〕.那么上式可化为b2x2－a2y2＝a2b2.两边同除以a2b2,得叫做双曲线的标准方程，它表示中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。例1双曲线的焦点是F1〔－5，0〕和F2〔5，0〕，双曲线上一动点到两焦点的距离之差的绝对值是6，求双曲线的标准方程。解：由题意，可设双曲线的标准方程为因为2a＝6，c＝5，所以a＝3，b2＝c2－a2＝52－32＝16因而所求双曲线的标准方程为问题解决如果双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦点是F1〔0，－c〕和F2〔0，c〕〔如图19-11〕，那么可推出其标准方程为其中，a，b，c的关系仍为b2＝c2－a2二、双曲线的性质1.范围由双曲线的标准方程知，所以即x≥a

或

x≤－a这说明双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的平面区域内〔如图19-12〕2.对称性双曲线关于y轴、x轴和坐标原点都是对称的，因此，x轴和y轴都是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。双曲线的对称中心又称为双曲线的中心。3.顶点如图19-13，A1〔－a，0〕和A2〔a，0〕是双曲线与x轴的两个交点，这两个交点称为双曲线的顶点。线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。例2：求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的方程。解：由题意，设双曲线的方程为因为双曲线过点，所以解得k=－4或k=17〔舍去〕故所求的双曲线方程为4.渐近线对于双曲线，当它的各支向外延伸时，与直线和逐渐接近，但始终不会相交。把直线叫做双曲线的渐近线。例3求双曲线的实轴长、虚轴长，焦点和顶点坐标，渐近线方程。例4求与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程。5.离心率双曲线焦距2c与实轴长2a的比值叫做双曲线的离心率。记为e显然，双曲线的离心率e＞1离心率e越大，那么双曲线开口越大；离心率e越小，那么双曲线开口越小。6.准线如图19-14，直线叫做双曲线的准线。双曲线的准线垂直于双曲线焦点所在轴，且到双曲线中心的距离为，两条准线间的距离是。例5已知双曲线的焦点在