大学概率论第五章 大数定律与中心极限定理

第五章大数定律与中心极限定理§1大数定理§2中心极限定理§1大数定律一、问题的提出1、频率的稳定性2、算术平均值的稳定性二、依概率收敛设是一个随机变量序列，a是一个常数。若对任意，有或则称随机变量序列依概率收敛于a。记为1、定义2、依概率收敛的性质设，且在点连续，则3、大数定律的概念设是一个随机变量序列，记若存在常数序列，使得对任意，都有则称随机变量序列服从大数定律(大数法则)。1、切比雪夫大数定律并且它们有公共上界，即则对任意相互独立，方差设随机变量都存在，都有或意义:在定理的条件下，n个随机变量的算术平均，当n无限增加时将几乎变成一个常数。三、大数定律1、切比雪夫大数定律的特殊情况设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差：记则对任意有或三、大数定律意义:在定理的条件下，n个随机变量的算术平均，当n无限增加时将几乎变成一个常数。2、伯努利大数定律（2）设X为n重贝努利试验中事件A发生的次数，且每次试验或相互独立且都服从参数为p的分布，则对任意（1）设随机变量都有或都有中A发生的概率为则对任意或3、辛钦大数定律相互独立同分布，期望存在。设随机变量记为它们共同的期望，则对任意都有§2中心极限定理一、问题的提出例如:考虑大炮的射程.受风速、风向影响产生的误差；在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响。如大炮炮身结构导致的误差；发炮士兵技术引起的误差等等。对我们来说重要的是这些随机因素的总影响。大炮的射程受很多随机因素的影响:瞄准时的误差；观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限.可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.1、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理）独立同分布，且具有数学期设随机变量望和方差：则随机变量的分布函数为，则对任意实数x，有二、中心极限定理之和标准化的变量1、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理）~近似地即，n充分大时，有~近似地可化为记~近似地则有1、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理）~近似地即，n充分大时，有记~近似地则有或~近似地大样本统计推断的基础例1一加法器同时收到20个噪声电压，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间上服从均匀分布。记，求的近似值。于是例2

根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为且E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y>1920)设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,…,16E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)P(Y>1920)=1-P(Y

1920)=1-

(0.8)1-=1-0.7881=0.2119解棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理1、林德伯格-列维定理（独立同分布的中心极限定理）独立同分布，且具有数学期设随机变量望和方差：记~近似地

考虑特殊情况:均服从参数为p的0-1分布

于是有~近似地

相互独立,均服从参数为p的设随机变量0-1分布，则对任意实数x，有2、棣莫弗-拉普拉斯中心定理即，n充分大时，有~近似地

相互独立,均服从参数为p的设随机变量0-1分布，则对任意实数x，有2、棣莫弗-拉普拉斯中心定理即，n充分大时，有~近似地

~2、棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）~近似地即，n充分大时，有设随机变量

服从参数为n，p的二项分布，则对任意实数x，恒有或~近似地意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。（1）对任意非负整数意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。具体用法:设n充分大（2）对任意非负整数意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。具体用法:设n充分大解：在90000次波浪冲击中纵摇角大于的次数记为X，则有于是，所求概率为例1一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于的概率，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角度大于的概率是多少?例1一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于的概率，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500～30500次纵摇角度大于的概率是多少?解：在90000次波浪冲击中纵摇角大于的次数记为X，则有于是，所求概率为（利用中心极限定理）拉普拉斯中心极限定理例2

假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试计算这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。解：设X表示600粒种子中的良种数，则有于是由契比雪夫不等式，有例2

假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试计算这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：解：设X表示600粒种子中的良种数，则有于是例2

假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试计算这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：由契比雪夫不等式，有例3设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元,求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.例3设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元,求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.解:设10000投保人中一年死亡X人，则显然有保险公司一年的收入为：保险公司一年的支出为：（1）保险公司没有利润的概率为拉普拉斯中心极限定理例3设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元,求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.解:设10000投保人中一年死亡X人，则显然有保险公司一年的收入为：保险公司一年的支出为：（2）每年利润不少于60000元的概率为拉普拉斯中心极限定理例4设相互独立,设则根据列维-林德伯格中心极限定理,当n充分大时,近似服从正态分布,只要(A)有相同的数学期望(B)有相同的分布(C)服从同一指数分布(D)服从同一离散型分布例5设为独立同分布序列,且均服从参数为的指数分布,则（A）（B）（C）（D）例6假设独立同分布,已知并且。证明当n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。例6假设独立同分布,已知并且。证明当n充分大时，随机变量近似服从正态分布,并指出其分布参数。解：由已知知，独立同