数学人教A版选修2-3学案第一章1.2.1排列

1.2.1排列学习目标重点、难点1.能分析排列的意义，能记住排列数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用问题．2．掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法.重点：排列的简单应用与有限制条件的排列．难点：排列与排列数的综合应用.1．排列的概念及排列数的定义排列排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__表示.预习交流1(1)如何理解排列及排列数的定义？(2)A，B，C三名同学站成一排照相留念，写出所有站队方法．2．排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝__________________＝______，特别地，当n＝m时，Aeq\o\al(n,n)＝n！＝n(n－1)(n－2)…1，规定0！＝1(n，m∈N*，且m≤n)．预习交流2(1)13×12×11×10×9×8等于()．A．Aeq\o\al(5,13) B．Aeq\o\al(6,13) C．Aeq\o\al(7,13) D．Aeq\o\al(8,13)(2)eq\f(2n！,A\o\al(n,n))的值为()．A．2n！ B．Aeq\o\al(n,2n) C.eq\f(2n！,n) D．2答案：1．排成一列所有不同排列Aeq\o\al(m,n)预习交流1：(1)提示：排列的定义包括两个方面：①取出元素；②按一定顺序排列．两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的顺序也相同．排列是按一定顺序排列的一列元素，而排列数是一个数，并不表示具体的排列．(2)提示：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.2．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)eq\f(n！,n－m！)预习交流2：(1)提示：B(2)提示：eq\f(2n！,A\o\al(n,n))＝eq\f(2n！,n！)＝eq\f(2n！,2n－n！)＝Aeq\o\al(n,2n)，故选B.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、排列数公式的应用1．计算：(1)2Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(2,5)；(2)eq\f(A\o\al(8,8),A\o\al(5,8)).思路分析：按公式将排列数写成连乘形式计算．2．化简Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝()．A．Aeq\o\al(m＋1,n) B．Aeq\o\al(m,n) C．Aeq\o\al(m＋1,n＋1) D．Aeq\o\al(m,n＋1)1．若3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(5,9)，则x＝()．A．4 B．5 C．6 D．2．化简eq\f(A\o\al(m－1,n－1)·A\o\al(n－m,n－m),A\o\al(n－1,n－1))＝__________.应用排列数公式时应注意以下几个方面：(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确．(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算．(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算的速度和准确性．二、排列的概念与简单的排列问题1．判断下列问题是否为排列问题：(1)从1,2,3,4,5中任取两个数相加，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相减，其结果有多少种不同的可能？(3)有12个车站，共需要准备多少种普通票？(4)从10个人中选2人分别去植树和种菜，有多少种不同选法？(5)从10个人中选2人去参加座谈会，有多少种不同选法？思路分析：判断所给问题是否是排列问题，关键是看与顺序有无关系．2．(1)若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有()．A．180种B．360种C．15种D．30种思路分析：直接运用排列的概念求值．(2)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面(旗的颜色无重复)，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示__________种不同的信号．思路分析：如果把3面旗看做3个元素，那么“表示信号”这件事则是从3个元素中每次取出1个、2个或3个元素的排列问题．判断下列问题是否是排列问题，若是排列问题，求出对应的排列数．(1)从1,2,3,4,5中任取两个数组成两位数，有多少个这样的两位数？(2)若一个班级有40名同学，从中选5人组成学习小组，有多少种选法？(3)8种不同的菜种，任选4种种在不同的土地上，有多少种不同的种法？解决排列问题的步骤：(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关，则是排列问题．(2)注意排列对元素或位置有无特殊要求．(3)借助排列数公式计算．三、排队问题有4个男生和3个女生排成一排．(1)男生甲必须站在中间有多少种排法？(2)男生甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同排法？(3)甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同排法？(4)三个女生要排在一起有多少种不同排法？(5)三个女生两两不能相邻有多少种不同排法？(6)三个女生顺序一定，共有多少种不同排法？思路分析：本题都涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或位置．相邻问题(如(4))可用捆绑法，不相邻问题(如(5))可用插空法．1．(2012山东济南2月定时练习，理6)三位老师和三位学生站成一排，要求任何学生都不相邻，则不同的排法总数为()．A．720 B．144 C．36 D．2．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有()．A．20种 B．30种 C．40种 D．60种(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等．要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素．当用直接法比较麻烦时，可以先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏．(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．四、数字的排列问题用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？思路分析：该例中的每个小题都是有限制条件的排列问题．除了应注意题目中要求的明显条件外，还应注意隐含条件“0不能排在首位”．我们采取先特殊后一般的原则，将问题分解为几个易求解的简单问题．1．(2012广东执信中学期末，5)若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()．A．120个 B．80个 C．40个 D．20个2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()．A．72 B．96 C．108 D．不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题．其常见的附加条件有：奇偶数、倍数、大小关系等，也可以有相邻、插空问题，也可以与数列等知识相联系等．解决这类问题的关键是搞清事件是什么，元素是什么，位置是什么，给出了什么样的附加条件；然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决．这类问题的隐含条件“0不能在首位”尤其不能疏忽．答案：活动与探究1：1.解：(1)2Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(2,5)＝2×4×3×2＋5×4＝48＋20＝68.(2)eq\f(A\o\al(8,8),A\o\al(5,8))＝eq\f(8×7×6×5×4×3×2×1,8×7×6×5×4)＝6.2．D解析：Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝eq\f(n！,n－m！)＋eq\f(m×n！,n－m＋1！)＝eq\f(n－m＋1×n！＋m×n！,n－m＋1！)＝eq\f(n－m＋1＋mn！,n－m＋1！)＝eq\f(n＋1！,n－m＋1！)＝Aeq\o\al(m,n＋1).迁移与应用：解析：由3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(5,9)，得eq\f(3×8！,8－x！)＝eq\f(4×9！,4！)，∴(8－x)！＝2！.∴x＝6.故选C.2．1解析：eq\f(A\o\al(m－1,n－1)·A\o\al(n－m,n－m),A\o\al(n－1,n－1))＝eq\f(n－1！,[n－1－m－1]！)×(n－m)！×eq\f(1,n－1！)＝eq\f(n－1！,n－m！)×(n－m)！×eq\f(1,n－1！)＝1.活动与探究2：1.解：(1)两数相加，由加法交换律知与两数顺序无关，所以(1)不是排列问题．(2)两数相减，要确定谁是被减数，谁是减数，与顺序有关，所以(2)是排列问题．(3)票中要确定哪一个车站为起点站，哪一个车站为终点站，与顺序有关，所以(3)是排列问题．(4)要从选出的2人中确定谁去植树，谁去种菜，与顺序有关，所以(4)是排列问题．(5)只需从10人中选出2人即可，与顺序无关，所以(5)不是排列问题．2．(1)B解析：不同的选派方案有Aeq\o\al(4,6)＝6×5×4×3＝360种．(2)15解析：第1类，挂1面旗表示信号，有Aeq\o\al(1,3)种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有Aeq\o\al(2,3)种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有Aeq\o\al(3,3)种不同方法；根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(3,3)＝3＋3×2＋3×2×1＝15种．迁移与应用：解：(1)选取的两个数，要确定哪一个数在十位，哪一个数在个位，与顺序有关，是排列问题，且有Aeq\o\al(2,5)＝5×4＝20个这样的两位数．(2)只需选出5人即可，与顺序无关，不是排列问题．(3)选取的4种菜种，与4块不同的地对应，与顺序有关，是排列问题，且有Aeq\o\al(4,8)＝8×7×6×5＝1680种不同的种法．活动与探究3：解：(1)由于甲的位置已确定，其余6人可随意排列，共有Aeq\o\al(6,6)＝720种排法．(2)由于甲、乙两人不站排头和排尾，则这两个位置可从其余5人中选两人来站，共有Aeq\o\al(2,5)种排法，剩下的人有Aeq\o\al(5,5)种排法，共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(5,5)＝2400种不同排法．(3)甲站排头有Aeq\o\al(6,6)种排法，乙站排尾有Aeq\o\al(6,6)种排法，但两种情况都包含了“甲站排头且乙站排尾”的Aeq\o\al(5,5)种排法，故共有Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720种排法．(4)先把女生看成一个元素，与其他4个男生共5个元素来排有Aeq\o\al(5,5)种排法，再排三个女生有Aeq\o\al(3,3)种排法，共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,3)＝720种不同排法．(5)先排4个男生，有Aeq\o\al(4,4)种排法，形成5个空位，将3个女生插入5个空位中，有Aeq\o\al(3,5)种排法，因此共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440种不同排法．(6)在7个位置上任意排列7名学生共有Aeq\o\al(7,7)种排法．由于女生的顺序一定，且在所有不同排法中，女生的某一顺序均会有Aeq\o\al(3,3)种情况，因此三名女生顺序一定的排法共有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝840种．迁移与应用：解析：先将老师排好有Aeq\o\al(3,3)种排法，形成4个空位，将3个学生插入4个空位中，有Aeq\o\al(3,4)种排法，∴共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144种排法．2．A解析：分类完成：①甲排周一，乙、丙只能从周二至周五中选2天排，有Aeq\o\al(2,4)种排法；②甲排周二，乙、丙有Aeq\o\al(2,3)种排法；③甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有Aeq\o\al(2,2)种排法，∴共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝20种排法．活动与探究4：解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有Aeq\o\al(3,5)个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个(有Aeq\o\al(1,4)种)，十位和百位从余下的数字中选(有Aeq\o\al(2,4)种)，于是有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)个；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数：Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝156(个)．(2)五位数中5的倍数的数可分为两类：个位上的数字是0的五位数有Aeq\o\al(4,5)个；个位上的数字是5的五位数有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)个．故满足条件的五位数共有Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)个；第二类：形如14□□，15□□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)个；第三类：形如134□，135□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)个；由分类加法计数原理知，比1325大的四位数共有：Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)＝270(个)．迁移与应用：解析：①若十位是3时，个位与百位从1,2中选有Aeq\o\al(2,2)种选法；②若十位是4时，个位与百位有Aeq\o\al(2,3)种选法；③若十位是5时，个位与百位有Aeq\o\al(2,4)种选法；④若十位是6时，个位与百位有Aeq\o\al(2,5)种选法，则共有Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,5)＝2＋6＋12＋20＝40种，故选C.2．C解析：第一步，先将2,4,6全排，有Aeq\o\al(3,3)种排法．第二步，将1,3,5分别插入2,4,6排列产生的前3个空中，若1,3相邻且不与5相邻，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种排法，若1,3,5均不相邻，有Aeq\o\al(3,3)种排法．故总的排法有Aeq\o\al(3,3)(Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(3,3))＝108(种)．故选C.1．3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是()．A．1260 B．120 C．240 D．2．从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有()种．A．16 B．12 C．20 D．3.eq\f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))＝()．A．12 B．24 C．30