幂函数教学设计

PAGE§3.3幂函数教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学必修第一册》第三章第三节《幂函数》，幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数的的概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能进一步培养利用函数的性质研究函数的意识。从教材地位看，学生对特殊的正反比例函数和二次函数等已经很熟，幂函数正是对这些在形式上有着共同特征的函数的推广;从研究方法上看本节突出幂指数从特殊到一般的推广，为后续学习做了铺垫。二、学情分析在知识上，学生已经有了学习指数函数和对数函数的经历，有初中的一次函数、二次函数和反比例函数等作为基础，这为学习幂函数做好了知识和方法上的准备。在能力上，学生已经具备一定的形象思维和抽象思维能力，有一定的分析和解决问题的能力。对于进入高中半个学期的学生来说，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，需要教师点拨。三、教学目标1．知识目标（1）掌握幂函数的概念、图象特征和性质.（2）掌握幂函数的图象位置和形状变化，2.素养目标（3）使学生体会到数形结合思想的重要性，同时进一步体会到类比的数学思想。四、教学重点与难点教学重点：通过五个具体的幂函数了解概念，研究性质，体会图象的变化规律。教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质。五、教学设计（一）实例观察，引入新课问题1：已知一个汝瓷包装盒的价格为1元，如果小明买x个，那么他支付的钱数y=问题2：如果一块擦拭汝瓷的正方形棉布边长为x，那么该棉布的面积y=问题3：如果正方体形状的汝瓷包装盒棱长为x，那么该包装盒的体积y=问题4：如果一块擦拭汝瓷的正方形棉布面积为x，那么该棉布的边长y=问题5：如果老师去买汝瓷，我x小时内骑车行进1千米，那么我骑车的平均速度y=问题1：观察以上问题中的函数具有什么共同特征?师生活动：这几个函数解析式都具有幂的形式，幂的底数是自变量，指数是常数（为定值）.设计意图：引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的定义.（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，为常数。幂函数解析式特征：幂函数的解析式必须是的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．设计意图：加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.幂函数的图像与性质问题3：有了幂函数的定义，接着我们应该研究什么？师生活动：根据我们学习过的函数的知识，应该研究函数的定义域，值域，单调性，奇偶性等性质。根据初中学习函数的经验，我们可以先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质不妨也找出典型的函数作为代表：追问1：的图像是我们熟悉的，如何画出的图像呢？师生活动：观察函数解析式的特点，得出是奇函数，的定义域为非负数的集合，取点利用描点法作图。学生进行作图，在同一坐标系中画出五个幂函数的图像。问题4：观察这五个函数图像，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？师生活动：学生回答，通过交流补充归纳得到五个幂函数的性质，并将这些性质填入表格中。函函数性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR[0，+∞){x︱x≠0}值域R[0，+∞)R[0，+∞){y︱y≠0}单调性增(-∞,0)增[0，+∞)减增增(-∞,0)减（0+∞)减奇偶性奇偶奇非奇非偶奇公共点（1,1）【小组讨论总结幂函数的性质】(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)。(2)当α＞0时，幂函数在其定义域上单调递增。当α＜0时，幂函数在(0，+∞)上单调递减，在第一象限内，图像无限向坐标轴靠近。（3）当α＞1时，图像呈上升趋势，且越增越快；当0＜α＜1时图像呈上升趋势，且图像越增越慢。（4）当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数。【幂函数动态演示验证猜想】【画幂函数图像小程序扩展视野】新知应用问题10：利用图像得出幂函数的性质并不严谨，我们还应该对其进行严格的证明。你能证明幂函数在[0，+∞)上是增函数吗？师生活动：学生独立完成，教师对学生的证明过程进行评价纠错。证明：设计意图：（1）复习定义证明单调性的过程.(2)幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明。（3）幂函数的单调性很容易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断（四）巩固练习已知图中曲线是在第一象限的图像，已知n取（五）课堂小结（1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.（2