直线的倾斜角与斜率课件高二上学期数学人教A版选择性

在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系，这种方法通常称为综合法．本章我们采用坐标法研究几何图形的性质．坐标法是解析几何中最基本的研究方法．

解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数(有序数对或数组)对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质．解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础．

本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等．

类似地，通过确定圆的几何要素，建立圆的方程，再通过圆的方程研究与圆相关的问题；最后应用直线和圆的方程解决一些实际问题．

我们知道，点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来．直线倾斜角与斜率学习目标1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.思考：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线，如何利用坐标系确定它的位置？yxlOABOPxyl1l2l3

在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．1.方向追问：这些直线的区别是它们的方向不同．如何表示这些直线的方向？

我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同,则他们与x轴所成的角不同．因此,我们可以利用这些角来表示这些直线的方向．2.倾斜角

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线的倾斜角。规定:1.当直线与x轴平行或重合时，2.当直线与x轴垂直时，

这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角.(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度.(3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.注意点：(1)(多选)下列命题中，正确的是A.任意一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为－30°C.倾斜角为0°的直线有无数条D.若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)例1√√(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为A.α＋45° B.α－135°C.135°－α

D.α－45°√√(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________.跟踪训练160°或120°(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为_____.135°下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法．OxyOxyPPOxyP1P2OxyP2P1PPOxyP2P1OxyP1P2P思考：当直线P1P2与x轴垂直或平行时，上式还成立吗？（4）当直线P1P2与x轴垂直或平行时，上式还成立吗？当直线P1P2与x轴垂直时，x1=x2，α=90°，没有正切值.4.斜率

是否每条直线都有斜率?由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90o的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．

练习

练习思考：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化?为什么?

1-1y0

当倾斜角α满足0o≤α<90o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大且k＞0;

当倾斜角α=90o，斜率不存在;

当倾斜角α满足90o<α<180o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大，且k＜0.

不能单纯理解为倾斜角越大，斜率越大练习1若45°≤≤135°,则斜率k的取值范围为______________.练习2若-1≤k≤1,则倾斜角

的取值范围为_________________.[0°,45°]∪[135°,180°)(-∞,-1]∪[1,+∞)我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度．5.过直线上任意两点的斜率公式直线的斜率与P1和P2的顺序无关；利用斜率相等，可以证明三点共线。

追问：1.当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？答：成立，因为分子为0，分母不为0，所以k=0.追问：2.当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？答：α=90°，斜率不存在，因为分母为0.6.直线的方向向量结论2

若直线l的斜率为k，则它的一个方向向量的坐标为(1,k).反思感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k01－14.已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角:(1)A(a,c)，B(b,c);(2)C(a,b)，D(a,c);(3)P(b,b+c)，Q(a,c+a).

练习

倾斜角和斜率的综合应用

例3

已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围；要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.反思感悟倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.

已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).(1)求直线AB和AC的斜率；跟踪训练3(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.如图所示，当D由B运动到C时，直线