高中数学人教B版选择性第一册课件1-2-3直线与平面的夹角

1.2.3直线与平面的夹角第一章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习核心素养思维脉络1.掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念.(数学抽象)2.理解最小角定理及公式cosθ=cosθ1cosθ2,并能利用这一公式解决相关问题.(逻辑推理、数学运算)3.会利用空间向量求直线与平面所成的角问题.(数学运算)课前篇自主预习激趣诱思迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市,被称为“流行音乐之王”.迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲,还有他那漂亮的太空步,尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步,据说迈克尔杰克逊早在1993年就申请了专利,专利名称“摆脱地心引力的幻想”.同学们,45度到底指的是哪个角呢?知识点拨1.直线与平面所成的角

微判断(1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角.(

)(2)若直线与平面相交,则该直线与平面所成角的范围为(0,).(

)答案

(1)×

(2)×微思考直线与平面的夹角的取值范围是什么?斜线与平面的夹角的取值范围是什么?2.最小角定理(1)线线角、线面角的关系式如图,设OA是平面α的一条斜线段,O为斜足,B为A在平面α内的射影,OM是平面α内的一条射线.θ是OA与OM所成的角,θ1是OA与OB所成的角,θ2是OB与OM所成的角,则有cosθ=cosθ1cosθ2.(2)最小角定理平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.微练习已知平面α内的角∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成角均为135°,则PC与平面α所成角的余弦值是(

)答案

B解析

设PC与平面α所成的角为θ,由最小角定理知cos

45°=cos

θcos

30°,微思考将公式cosθ=cosθ1cosθ2中角的余弦值换成正弦值是否成立?提示

不成立.只有在特定的条件下能相等.也只能是数值上的相等,不具有等式的一般性结论.3.用空间向量求直线与平面的夹角如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则有(2)cosθ=sin<v,n>,sinθ=|cos<v,n>|.微判断直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角.(

)答案

×

课堂篇探究学习探究一用定义法求直线与平面所成的角例1在正四面体ABCD中,E为棱AD的中点,连接CE,求CE和平面BCD所成角的正弦值.分析在求解斜线和平面所成的角时,确定斜线在平面内的射影的位置是一个既基本又重要的问题.解

如图,过A,E分别作AO⊥平面BCD,EG⊥平面BCD,O,G为垂足.则AO∥GE,AO=2GE.连接GC,则∠ECG为EC和平面BCD所成的角.因为AB=AC=AD,所以OB=OC=OD.因为△BCD是正三角形,所以O为△BCD的中心.连接DO并延长交BC于F,则F为BC的中点.令正四面体ABCD的棱长为1,反思感悟1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.2.找射影的两种方法:(1)斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上;(2)利用已知垂直关系得出线面垂直,确定射影.3.本例中找出点E在平面BCD中的射影是解决问题的核心,对于几何体中缺少棱长等数据信息,可根据几何体的特征进行假设,这样处理不影响角度问题.探究二向量法求直线与平面所成的角例2如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:AC⊥B1D;(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.要点笔记通过此类例题不仅要熟悉求直线与平面夹角的一般流程,更重要的是注意对所给几何体的结构分析、合理建系是问题的关键,如果求夹角还要结合线面角的范围.变式训练1如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.(1)证明

取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)解

由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两垂直,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.探究三最小角定理的应用例3如图,正四面体ABCD,CD在平面α内,点E是线段AC的中点,在该四面体绕CD旋转的过程中,直线BE与平面α所成的角θ不可能是(

)答案

D反思感悟1.最小角定理是立体几何的重要定理之一,指与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于该直线与平面内其他直线的夹角.2.本例中先明确直线BE与CD所成角的余弦值是突破口,再利用最小角定理即可做出判断.变式训练2PA、PB、PC是由P点出发的三条射线,两两夹角均为60°,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是(

)答案

C解析

设所求角为θ,根据最小角定理及公式可得

素养形成直线与平面所成角中的探索类问题

(1)证明:PN⊥AM;(2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该最大角的正切值.【规范答题】(1)证明

如图,以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则归纳提升(1)此类问题属于逆向思维问题,解决思路也是建立合适的空间直角坐标系,将相关点坐标明确或设出,然后根据空间角的计算公式表达出含参数的方程或函数.(2)解决此类问题还要注意题目中各动点的限制范围.当堂检测1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-,则l与α所成的角为(

)° B.60° C.120° D.150°答案

A解析

设l与α所成的角为θ且θ∈[0,90°],则sin

θ=|cos<m,n>|=.∴θ=30°.2.AB⊥平面α于点B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若∠ACD=60°,∠BCD=45°,则AC和平面α所成的角为(

)°°°°答案

C解析

设AC和平面α所成的角为θ,则cos

60°=cos

θcos

45°,故cos

θ=,所以θ=45°.答案

D解析

以O为原点,射线OA,OB,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,4.等腰直角△ABC的斜边A