2023年河南省郑州市统招专升本高数自考模拟考试(含答案)

2023年河南省郑州市统招专升本高数自考

模拟考试（含答案）学校:班级:姓名:考号:一、单选题（20题）TOC\o"1-5"\h\zJim-= （ ）Q 5A.上B.4 Cl D.O5 3.曲线y=皿-的渐近线的条数为 （ ：JiA.1 B.2 C.3 D,4设向量Q_b*FlIaI=1•IbI=2.则(。+b)•(a+2&)= ( )A.9 B.15 C.0 D.5已知/(i)=j••则lim/(“+21)一八a)= ( )a—o △jtA. B.1 C.2 D.-2,y=/In/在点彳=I处的切线方程是 ( )A<J：+y—1=0 B.J—2y—1=0Cat-y-1=0 1)・K+ -1=09.D［答案］D【精析】因为lim/Q)=lim(2j+3)=5, =lim(j--I)=lim/(x)丰J--J,所以不存在.I I10.C［答案］【精析】lim而出=。,舟F>LX> jIn(〃十2)•满足莱布尼茨定理.所以A项级数收敛；2白是公比q=R=］JV<1的等比级数,收敛•所以B项级数收敛；lim【精析】lim而出=。,舟F>LX> jIn(〃十2)•满足莱布尼茨定理.所以A项级数收敛；2白是公比q=R=］JV<1的等比级数,收敛•所以B项级数收敛；lim=5,不满足级数收敛的必要条件,故C项级数发散；li3H1 3 r/-〃+1IIaI3~3号=1，由比值审敛法可知D项级数收敛.［答案］C2、【精析】A=因为r(A)=2.所以5—4JLJL•v-z13.C-4=0•所以入=5.［答案］c【精析】由定积分的几何意义知C正确.【精析】联立2j:—/)。一1。W2♦7一，、取二者交集可得一三父］&3・【精析】A中.广学业.]ooIn.rdln.r=2-y(lnj')2=+8,发散;2B中『次=2y/x1=+00，发散;'+8—d.r=【精析】A中.广学业.]ooIn.rdln.r=2-y(lnj')2=+8,发散;2B中『次=2y/x1=+00，发散;'+8—d.r==(T)Ir+«>Dn15.Acosxdx=limsin.r-sinl不存在.发散.故选C.［答案］【精析】lim/(,r)=lime”=1r-»P•limr-*HJQ)=lim(6+sin2.r)rfI，/(O).由/（①）在1=0处可导知/（\r）在0处连续•所以。1.=lim(l+s3—1=2.又/'十（0）lim人以7.亚)l/XA 豆=3,(1)•lo 3*o+/1(0)=lim八")—，⑹=limTOC\o"1-5"\h\zT—0./-*0 "U所以“=2•故选A.【精析】|cos'-yd^=I1dr= sinr+C.\o"CurrentDocument"16.B ^ - ^一 -.D［答案］D【精析】直线的方向向量可取为$=（1.-4.2）,又直线过点（2.—5.1）.所以直线的对称式方程为续=安=与1 —4Z.A[答案1A【精析】/(.r)=(,r-l)(.r+1)vf(.r)=2w.当1V、r<+z时.//(?)>0./〃(])>0.故应选A.L答案1c【精析】由函数/（1）在点］=1处可导，则f(l+2才)二/(1 ，)cJ。才20.A［答案］A【精析】平面与已知直线垂直，则平面的法向量〃=（1・2.1）,又平面过点（3.一2・2）.则平面方程为R-3+2（y+2）+之一2=0,即工+2y+之一1=0.y(s\njc+C)=1【精析】 a=/cosw,则,dy=cosidiq两边积分,得一'=sinw+C♦即y(sin、r+dwky、 y［答案］43【精析】11 11］d(2z+3)【精析】7(2w+3)2 ―TJ-)(2—3)2=_ 1 1=2——2(2①+3)-i—T*(—89+8)]【精析】p=lim(]【精析】p=lim(%1产"一•87="m(一))"

n-*oo〃十1•lim—j-=lim门-.8" 1 〃-81 「 1 i hm-TT(］+ L8〃>1n=0,所以R=+8,故得级数收敛域为(-8・+8).24.1/2［答案］I【精析】因函数在(一8・+00)上连续•故函数在分段点1=0处一定连续•则lim/(jc)=limf(x)=/(0)；而lim/(.r)=lim(.r+t?cos2.r)=a, =lim(c"—a)=I—aJ(0)=1—a.心«n ,z .i-・n .，»<i故a=1—a•£/=y.125.2^/2TOC\o"1-5"\h\z(x=ky2, 1 1 P)【精析】由］，解得交点为(0,0),(:，一；)，则面积为§=(-y-ky2)dy=}y=-x k k T(一°=2=2,则£=M2 3 —+ 6公 48'人」 3-【精析】因为“工)是连续可导函数.故八工)在1=3处连续.所以有=/⑶，又 二2 存在•故lim(/(1)-2/F+T)=0,故/(3)=，1.则.r・3 .L—9 J-3iim£3二2”=lim iim£3二2”=lim 二4(3)jc—9+lim

1f3/⑶-2工—-9=lim”

4・3/(])一/(3)■J+lim.，・34-277+1

储—qTOC\o"1-5"\h\z-2——=。⑶+lim：一16 工・3 LX=9'⑶一5

9 14_1一邛，j>:g=VVindo\\解得j>:g=VVindo\\O27.【精析】设[jQ)ch=J,对题中等式两边取[一1,口上的定积分.得1=「苧&一21.J-11+/Zm.i1]11+sinj'1 1f11 t.1f1sin.r > 1 1 ,nn则/=v ~~dj，+亏 T-；_Z&c=.arctan/ +0=—,TOC\o"1-5"\h\z3.一】1+.广 3Jt1+ioJ-j1+.r □ -i b故/(i)cLr=会・J-i b28.1【精析】lim/(j)=lim(j—a)=l-a»lim/(j)=limlnx=Ini=0=/⑴，由j-*r i-»i+ 3i+/(T)在(=1处连续，得1-〃=0Jfl£1=1.29.In32-ln38【精析】2N=i(ln3)w2”是公比为当V8【精析】2N=i(ln3)w2”是公比为当V】的等比级数且收敛•则2乙 M=I(ln3V2nln3yln3■一,i2ln32—ln330.-FC［答案］【精析】-yz/(V7)dr【精析】-yz/(V7)dr=29COSG_|_「2b十°31.N［答案］X【精析】由题可知/=2-两边积分可得），=/十。.将点（1,4）带人可得4=1—C解得C=3,故所求积分曲线为y=M-3.32.N[答案1x【精析】J]II./X【精析】J]II./XL•x/\+d.r-d.r=arcsine-J”［答案］【精析】33.Nx/~xdj-=【精析】33.Nx/~xdj-=lim/2，丁一12,)=2,是收敛的.34.N［答案］【精析】lini.r—1 I.【精析】lini.r—1 I.二 z—r=lim-=1§lini=lim =—1・一厂1―工由于由于lim―广,因此极限不存在.35.Y【精析】因为在［-1J］上连续，在（-1,1）上可导.且/（-I）=/（I）=1,所以八外满足罗尔定理.36.N［答案］dv【精析】半=半==COSf,所以&=CO5/L-ff=-1,当，="时・1=7TWV—1•drdr1df所以t=穴处的切线方程为了一1=—1(］—穴)•即1十y—1—7T=0.37.Y【精析】令P(e)=l.QGr)=e~,则微分方程的通解为v=e'1P(')drr|Q(.r)e/p(x>tbdj-+Cl= +C'j=€：(/+()■■38.Y【精析】因为反止弦函数的值域为「一口告］,所以arcsinl—1)的最小值为一L■■39.N［答案］x【精析】1-7|dr= 1—xdj,+I|1—j-|d、r= (1—.r)d、T+”—M .—：4 J1 3-：4:(.r-Dd.r=(1一>2)L+(A?—r)11=10,【精析】当If0时.2/-3«r+2f232-43+3f3.40.Y则lim2£一；*±2r-0.L—4/+340.Y41.【精析】 由/(x)在i=0处连续,则lim/(i)=lim/(x)=/(0),TOC\o"1-5"\h\zL()— L0+_ J(or产即limc?S"’=lim—— =—a2=］,得a=土&.\o"CurrentDocument"l(f£ l(f1 2-jbsinr+cost2dtlim-=lim(/?cosx+cost2)=〃+l=1,得〃=0.\o"CurrentDocument"lo+ 1 lo+42.【精析】令F(/、，『，之)=5。一2n+e"得FT=—ye-。♦Fy=—7©一。，R=—2+e"则当Fz¥0•即©n#2时，3/__Ff_yC_Fv_k©――Feer—2'dyFzez-2,【精析】原式=外44.d（.rd（T-b1）=yin||—yin|44.d（.rd（T-b1）=yin||—yin|工十1I+C【精析】A-2I=，十1十c.-2rlVAX=VAX=2X+A,且|A-2/\=-2.：.A-2i可逆.X（A-2IT}A.01（―101-2-1（―1-2―?-11101—2-2-2—901（―101-2-1（―1-2―?-11101—2-2-2—9-101-2即（,4-21尸1 1 1■MM - - -WB2 2 21 1 1■MM - - -WB2 2 2i\o"CurrentDocument"_JL 1T 1因此X=（A-21）fA=一小01 0【精析】方法一•0,=1+（—3尸〃+11+（-3【精析】方法一•0,=1+（—3尸〃+11+（-3产n1+（二3》1+（-3厂+（一3产：・收敛半径/?二!=3,P：•收敛区间为：IIV3,即(一2,4)；方法二Vlitn〃十11+（一方法二Vlitn〃十11+（一3产[+（_3）Kw-Dx-1•••由比值判别法知，当［I1<1,即I］一1|<3时，幕级数收敛，而当\］一1|>1，即I1一1|>3时，耗级数发散.，所求收敛区间为：IX-1|<3,即(-2.4).【证明】设F(T)=明一工)因为/(二)在［0.口上连续.在(0.1)内可导，所以F(t)在［0.1］上连续,在(0J)内可导.又/(1)=1•F(O)=0•/(0)-02=0,F(l)=1•/(l)-l2=0>即F(Q)=F(l).故由罗尔定理知在(0.1)内至少存在一点8使F'(W)=0.即/(0+b'(6—23=0成立.【证明】(I)A、8均为〃阶矩阵，且由A+8=AB,可得AB-A-H=所以AB—A—V+E=E.从而(A—E)(If—E)=E♦所以A—£可逆；(]|)由(I)知(八一£；)1=8—£•则(A-EXB-E)=(B-E)(A-E)=E,即AB—A—B+E=BA-A—8十£从而AB=BA.【精析】设切点为=21一2.则切线方程为v=2(z0—1)，代入曲线方程，得2(jo-1)二=一一2ro+9・解出To=9・？o=±3.切线方程为v=4.r和y=-8”所求面积为S= (./—2.r+9+8,r)dj+(.r—2/+9—4j)d.rTOC\o"1-5"\h\zJ-3 JO•o ri= (M+Sr+9)d.r+I(.r—6,r+9)d.rJ-3 J0Y+3M+9]o=(9-27+27)+(9-27+27)=18.【精析】 设行驶的距离为s(公里),可视为已知量•且可知S>0口>0•行驶距离S所用的总费用为c,时间为W•则由题意可知c=.—+loo.—= +122^.2500z 1 2500z〃aS100S /J：10()、u/, /1 ,200xcc=西一==(由F)SI=(西+f)s・令(“=0,则可得唯一驻点]=50.且(七50)=T^-S>0,1IJU所以、r=50是极小值点，又因实际问题最值一定存在，可知该点也是最小值点•故最经济的行驶速度是50公里/小时.【精析】设扇形的半径为W.则弧长为/一2w.其中0OV十.1设扇形的面积为门则山题意得v=|(/-2M=—/十口.令/=-2.r+彳=0.得乙 乙 L_/1_彳.唯一的驻点即为最大值点•故当扇形的半径为4时•扇形的面积最大.4【精析】 企业的利润函数L(/>)=/<?-C=/>(120-8/>)-[100+5(120-8/))]=-8/>24-160/>-700,//(/>)=-16/)+160,令//(/))=0,得唯一驻点/>=10,由于//(/>)=-16V0,所以/)=10是函数/，(/>)的极大值点,而且是最大值点.此时，最大利润为L=-8XIO?十160X10—700=100,即当每件产品的定价为1。元时.企业的获利最大.最大利润为100元._ ?I2【精析】联立「'•可得二者围成的立体的投影区域D为/+?2或。2,故立\z=a2体体积为V=1[/—(、/+)，)]心=J由|(/一―).设函数y=(sirur尸•则裂=di(siikz)J(lnsirL7—.rcot.r)C.(sinj)J(lnsinj—^tana)(sirkr)’(Insiirr+^cot.r)D.(sinT)J(Insin.r+jtanj)7.极限limrr-*oo2〃A-lB.0C.8D.不存在8.函数/(j)=arctan*在定义域内是A.奇函数A.奇函数C.偶函数B.周期函数D.有界函数9.A.02.j=1则 为.1IB.2C.5D.不存在10.下列级数中发散的是ln(??+1)D.V4M3"11.若矩阵A=•且A的秩为2,则;1=A.3B.4C.5D.612.设曲线y=一/(“)在曲1上连续,则由曲线y=-f(z)•宜线2= =〃及1轴围成的图形的面积4=A・/(.r)d.r/(才)IdrB.1/(.r)d.rJaD../(、r)dr13.函数y=V2r—T2—aresin ~-的定义域为oA.[-3.4] B.(-3,4) C[0,2]()D.(0,2)14.下列广义积分收敛的是pt-OO15.feaz.若JQ)=J|b-|-sin2.r•A.a=2J)=1C.a=2J)=1j<0,在]=0处可导.则aJ)的值为r20B.a=1・〃=2D.a=2,。=116...不定积分COS2春di=JLA.-J-sirkr+C乙 乙C.j'-sirLr+CB.1h+Jsirur+C乙 乙D..r+siar+(，17.经过点（2,—5.1）且与平面了一43一2t—3=0垂直的直线方程为jj-iy-z-23=0「.r42_y-5_j-]= =218.j—4、y+w+23=0n?-2=1+5=之一1♦1 -4 2设/'（.r）=（工一1”才+1）・则曲线/Q）在区间（1.十一）内A.单调增加且是凹的 B.单调减少且是凹的C.单调增加且是四的 D.单调减少且是凸的19.TOC\o"1-5"\h\z设函数f(jc)在点"=1处可导.则lim/(1+2J)——1S1———= ( )L” 7A,/(I) B.2/71) C3/71) D.-/(I)20.过点(3,—2,2)与直线工=方=之垂直的平面方程是 ( )A.1+2y+z-1=0 B.j+v+-3=0C.x+2y+z—9=0 D./+y+z+9=0二、填空题（10题）…方程学=y2cos,r的通解是21.(2.r；3)<rQO寨级数£1的收敛域为23. 〃=1"ear—a. /<（）,设函数/（.r）=v 为（-2,I8）上的连续函数•则立=xIacos2.r.r>0已知曲线/=ky2（k>0）与直线y=一£所围图形的面积为工，则k=若lim""/2"=1=一1其中八/）为连续可导函数，则/（3）=设/（.「）是连续函数•满足/（］）=注年一「/（才）/•则「/（Jr）cLr=X|Jt«一】 ■一】I ■（I■<?- ].已知/（J-）=.J 若函数/（.r）在z=1处连续.则a=।Injr.721•级数£粤¥=m"已知At）的一个原函数为竺文.则|士/（6）dw=/Jx/7三、判断题（10题）在切线斜率为2I的积分曲线族中,通过点（1.4）的曲线是y=2/+2. （ ）A.否B.是[工1+'d.r=arccosjH-C. ( )J7rA.否B.是产1瑕积分 —也是发散的. ( )一h一1A.否B.是极限limJ一：।的值是1. ()LlIX-1A.否B.是在区间上，函数/(.r)=hJ满足罗尔定理.2广+1 A.否B.是参数方程《 在1=近处的切线方程为/+y—1=0. ( )\y=1+sin/A.否B.是y=(.r+r)e：是微分方程y'+y=e-/的通解(其中。是任意常数).A.否B.是函数y=arcsinQ—1)的最小值是 JA.否B.是1—.X'|dr=3.A.否B.是r212_3i+2_2in15j~q•A.否B.是40A.否B.是四、计算题（5题）四、计算题（5题）41.1—COSCLV-P-,设义为=」'*-r6sirur+cosZ2df由方程LTw+e工=0所确定.求卜.0]-1，且满足AX=2X+A,求矩阵X.17V0,”=。'在工=o处连续，试求常数a力.工〉0已知函数£=/（%•*）42.求不定积分「一二此TOC\o"1-5"\h\z«一1,1—1已知4= 0 1一1 0求塞级数£]——的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.M-]1+（3）五、证明题（2题）46.设函数/（，）在［0,1］上连续，在（0,D内可导，且/1（1）=1,证明•在（0・1）内至少存在一点8使得/（»+日飞）-2^=0成立.设〃阶矩阵A和B满足条件4+B=AB.（I）证明：4-E为可逆矩阵，其中E是〃阶单位矩阵；（||）证明：AB=六、应用题（5题）求由曲线y=M—2、r+9与该曲线过原点的两条切线所围成图形的面积.已知汽车行驶时每小时的耗油费用），（元）与行驶速度/公里/小时）的关系是V=舄,若汽车行驶时除耗油费用外的其他费用为每