四川省绵阳市三台中学校2021-2022学年高一下学期第一学月月考测试数学试题

高中2021级第二学期第一学月月考测试数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分100分，考试时间100分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的加法和减法则可化简所求代数式.【详解】.故选：A.2.下列结论正确的是（）A.向量与向量是共线向量，则ABCD四点在同一条直线上B.若，则或C.单位向量都相等D.零向量不可作为基底中的向量【答案】D【解析】分析】根据向量共线、垂直、单位向量、基底等知识，对四个选项逐一分析，从而得出正确选项.【详解】对于A选项，两个共线向量，对应点可以是平行的，不一定在同一条直线上，故A选项错误.对于B选项，两个向量数量积为零，可能这两个向量垂直，故B选项错误.对于C选项，单位向量是模为的向量，并没有确定的方向，故C选项错误.两个不共线的非零向量可以作为基底，零向量不能作为基底，故D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量共线的概念，考查两个向量数量积为零的性质，考查单位向量的概念，考查基底的知识，属于基础题.3.已知，在上的投影为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的数量积的几何意义，即可求解.【详解】因为，在上的投影为，可得，所以.故选：C.4.在中，内角的对边分别为，且，则角的大小是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用正弦定理求得，即可求解.【详解】在中，因为，由正弦定理，可得，又因为，则，所以.故选：A.5.等差数列中，，那么的值是（）A.60 B.24 C.36 D.48【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质及求和公式即可求解.【详解】因为等差数列中，,所以，故选：D【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，等差数列的性质，属于中档题.6.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.【详解】在中，，，根据余弦定理：可得，即由故.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7.在中，，则的形状为（）．A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【详解】，即由余弦定理可得可得：故三角形是直角三角形故选点睛：本题主要考查的知识点是三角形的形状判断，余弦定理的应用．直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简可得，通过边长之间的关系即可判断出三角形的形状．8.如图，在中，，，点为的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算化简，结合数量积的运算，求得的值.【详解】.故选：A点睛】本小题主要考查平面向量线性运算和数量积运算，属于基础题.9.已知的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的外接圆面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先化简得，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得的外接圆面积.【详解】由题得，所以，所以，所以,所以.由正弦定理得,所以的外接圆面积为.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】C【解析】【分析】设冬至日影长，公差为，结合等差数列通项及前n项和公式，结合题设列方程组求、，进而求小满日影长.【详解】从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，∴，解得，，∴小满日影长为（尺）.故选：C.11.在中分别是的对边，，若且，则的面积为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由三角形内角和定理及诱导公式可得，，再利用正弦定理，将已知等式中的角化边，可得，然后利用余弦定理，可得的值，最后由三角形的面积公式即可求解．【详解】解：在中，由，即，，，，由正弦定理得，，，，，化简得，又由余弦定理得，，即，解得或（舍），的面积．故选：B．12.已知△ABC的外接圆的圆心为M，，，D是BC的中点，则（）A.13 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图，首先转化，利用数量积的几何意义结合垂径定理即可得解.【详解】如图，作于，于，根据向量加法的平行四边形法则可得：，所以.故选：A第Ⅱ卷（共52分）注意事项：1．用钢笔将答案直接写在答题卷上.2．答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚.二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案直接填答题卷的横线上.13.已知平面向量与的夹角为，则______.【答案】【解析】【分析】利用，展开后利用向量的数量积的定义及运算即可求解.【详解】平面向量与的夹角为，则，，故答案为：.14.已知数列的前项和，则______【答案】【解析】【分析】根据数列的通项公式和前n项和的关系，分当时和当时，两种情况讨论求解.【详解】当时，，当时，，因为，不适合上式，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.如图，测量河对岸的旗杆AB高时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得，，，并在点C测得旗杆顶A的仰角为，则旗杆高AB为_________.【答案】【解析】【分析】先根据三角形内角和为，可求得，再根据正弦定理求得BC，进而在中，根据求得AB．【详解】在中，，由正弦定理得，所以，在中，，∴.故答案为：.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.16.已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则当与的面积之比为时，实数的值为________.【答案】或【解析】【分析】利用重心定理，把向量用表示，再利用，，共线，最后利用面积列方程求得变量间的关系，先求最后可得．【详解】解：设，，，三点共线可设，，为的重心，，，两式相乘得①②，②代入①即解得或即或故答案为或．【点睛】此题考查了三点共线与向量的关系，重心定理，三角形面积等，难度适中．三、解答题：本大题共4个小题，每小题10分，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知平面向量.(1)若,求x的值;(2)若,求与的夹角的余弦值.【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)利用向量平行的坐标表示，列方程求解；(2)根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出，再计算与所成夹角的余弦值.【详解】(1)平面向量，若,则，解得；(2)若,则，即,解得，∴，∴与的夹角的余弦值为.【点睛】本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是基础题.18.已知等差数列满足，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列的前n项和【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程，求得，进而得到的通项公式；（2）由（1）得到，结合裂项法求和得到，即可求解.【小问1详解】解：设数列的公差为，因为成等差数列且，所以，即，即，解得，所以数列的通项公式为.【小问2详解】证明：由，可得，所以，因为，可得，所以，即数列的前n项和.19.如图，平面四边形，已知，.（1）若平分，且，求的长；（2）若，求的长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平分，得出，进而得出，再由余弦定理，即可得出的长；（2）根据三角恒等变换的公式，求得，再由正弦定理得出的长.【详解】（1）若平分，则由余弦定理得解得或（舍）（2）又在中，由正弦定理可得即【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.20.的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积