胡不归习题集-20220502075812

第1页（共1页）胡不归习题集一．选择题（共11小题）1．（2022春•新罗区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，BE＝2AE，D是线段BE上的一个动点，则CDBD的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．102．（2021秋•澄海区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQPC的最小值是（）A．6 B．2 C．2+3 D．33．（2022•南山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则APCP的最小值为（）A．1 B． C． D．24．（2020秋•莲都区期末）△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（）A．4 B．3 C．6 D．235．（2021•锦州二模）如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则APOP的最小值为（）A．4 B．5 C．2 D．36．（2020秋•北仑区期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数yx分别交x轴、y轴于A、B两点，若C是x轴上的动点，则2BC+AC的最小值（）A．26 B．6 C．3 D．47．（2021•港南区四模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上一动点，则ADDC的最小值为（）A．26 B．6 C．3 D．38．（2021•安徽三模）如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（2，0），点B为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为（）A． B．5 C．3 D．59．（2021•安徽模拟）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝10，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．810．（2021•涡阳县模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（）A． B． C．10 D．11．（2021•太和县一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则BP+AP的最小值为（）A．5 B．10 C．5 D．10二．填空题（共13小题）12．（2022春•江汉区月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则的最小值是．13．（2022•江北区开学）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为．14．（2022•马鞍山一模）如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．（1）∠ABC＝．（2）E为BD边上的一个动点，BC＝6，当最小时BE＝．15．（2021秋•福清市期末）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，点P为BD上动点，连接AP，则APBP的最小值为．16．（2021秋•北碚区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为．17．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点A（﹣3，0），B（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CDAD的最小值为．18．（2021秋•宜兴市期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合．连接DE，请你探究：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的最小值为．19．（2021秋•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则C点的坐标是，的最小值是．20．（2021秋•南海区期末）如图，△ABC中AB＝AC，A（0，8），C（6，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为．21．（2021秋•缙云县期末）如图，在直角坐标系中，点M的坐标为（0，2），P是直线yx在第一象限内的一个动点．（1）∠MOP＝．（2）当MPOP的值最小时，点P的坐标是．22．（2022春•梁溪区期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P为边CD上的一动点，则PBPD的最小值等于．23．（2021春•石阡县期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠ABC＝60°，E为BC边的中点，M为对角线BD上的一个动点，则线段AMBM的最小值为．24．（2021•巴东县模拟）如图，已知菱形ABCD的周长为9，面积为，点E为对角线AC上动点，则AE+BE的最小值为．三．解答题（共1小题）25．（2022•东西湖区模拟）如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．（1）求m的值；（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CPAP的最小值，并求出此时点P的坐标．

胡不归习题集参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2022春•新罗区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BE⊥AC于点E，BE＝2AE，D是线段BE上的一个动点，则CDBD的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．10【考点】胡不归问题；等腰三角形的性质．【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，BE的长，再证明DHBD，从而可得CDBD＝CD+DH，然后再由垂线段最短即可解答．【解答】解：过点D作DH⊥AB，垂足为H，过点C作CM⊥AB，垂足为M，∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵BE＝2AE，AB＝10，∴AE2+BE2＝AB2，∴5AE2＝100，∴AE＝2或AE＝﹣2（舍去），∴BE＝2AE＝4，∴sin∠ABE，∵∠A＝∠A，∠AEB＝∠AMC＝90°，AB＝AC，∴△AEB≌△AMC（AAS），∴CM＝BE＝4，在Rt△BHD中，DH＝BDsin∠ABEBD，∴CDBD＝CD+DH，∵CD+DH≥CM，∴CDBD≥4，∴CDBD的最小值是：4，故选：B．【点评】本题考查了胡不归问题，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2021秋•澄海区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+3x﹣4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQPC的最小值是（）A．6 B．2 C．2+3 D．3【考点】胡不归问题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【分析】过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC．再由PHPC得PQPC＝PQ+PH，根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH'，求出QH'即可．【解答】解：连接BC，过P作PH⊥BC，过Q作QH'⊥BC，令y＝0，即x2+3x﹣4＝0，解得x＝﹣4或1，∴A（1，0），C（﹣4，0），∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，∴PH＝PCsin45°PC．∴PQPC＝PQ+PH，根据垂线段最短可知，PQ+PH的最小值为QH'，∵BQ＝OB+OQ＝4+2＝6，∠QBH′＝45°，∴DH′＝sin45°•BQ＝3，∴PQPC的最小值为3．故选：D．【点评】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求PQPC的最小值转化为求PQ+PH的最小值．属于中考选择题中的压轴题．3．（2022•南山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB的中点，P为边CD上一动点，则APCP的最小值为（）A．1 B． C． D．2【考点】胡不归问题；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等边三角形的性质得出PFCP，再由APCP＝AP+PF≥AE，结合勾股定理求出AE即可．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，过点P作PF⊥EC于F，∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CDAB＝AD，∵∠CAB＝30°，∴∠B＝60°，∴△BCD为正三角形，∴∠DCE＝30°，∴PFCP，∴APCP＝AP+PF≥AE，∵∠CAB＝30°，AC＝2，∴CEAC＝1，∴AE，∴APCP的最小值为．故选：C．【点评】本题主要考查了含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决此题的关键是作出垂线CE和PF，将CP转化为PF．4．（2020秋•莲都区期末）△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（）A．4 B．3 C．6 D．23【考点】胡不归问题；含30度角的直角三角形．【分析】过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DFDC，2AD+DC＝2（ADDC）＝2（AD+DF）当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DFDC，∵2AD+DC＝2（ADDC）＝2（AD+DF），∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DFDC＝1，∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴2（AD+DF）＝2AF＝6，∴2AD+DC的最小值为6，故选：C．【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．5．（2021•锦州二模）如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为4，P为OB上一动点，则APOP的最小值为（）A．4 B．5 C．2 D．3【考点】胡不归问题；菱形的性质．【分析】如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．利用面积法求出AH，再证明PFOP，利用垂线段最短，可得结论．【解答】解：如图，过点A作AH⊥OC于点H，过点P作PF⊥OC于点F，连接AC交OB于点J．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，∴OJ＝JB＝2，CJ，∴AC＝2CJ＝2，∵AH⊥OC，∴OC•AH•OB•AC，∴AH4，∴sin∠POF，∴PFOP，∴APOP＝AP+PF，∵AP+PF≥AH，∴APOP≥4，∴APOP的最小值为4，故选：A．【点评】本题考查胡不归问题，菱形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．6．（2020秋•北仑区期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数yx分别交x轴、y轴于A、B两点，若C是x轴上的动点，则2BC+AC的最小值（）A．26 B．6 C．3 D．4【考点】胡不归问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】2BC+AC＝2（BCAC），先得到∠BAO＝30°，作B点的对称点E，作CD⊥AE，所以CD，可得BCAC＝BC+CD，可得当B、C、D共线时，BCAC最小，进而可求得．【解答】解：如图，∵B（0，），A（3，0），∴tan∠BAO，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝2，在BO的延长线上取OE＝OB，∴∠OAE＝∠BAO＝30°，作CD⊥AE于D，∴CDAC，∴BCAC＝BC+CD，∴当B、C、D在同一条直线上时，BCAC最小，过B点作BH⊥AE于H，在Rt△ABH中，∠BAH＝2∠BAO＝60°，∴BH＝AB•sin60°＝2＝3，∴BCAC最小值是3，∴2BC+AC＝2（BCAC）最小值是6，故选：B．【点评】本题考查了“胡不归”问题，即PA+k•PB形式问题，解决问题的关键是根据三角函数构造出“k”或．7．（2021•港南区四模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上一动点，则ADDC的最小值为（）A．26 B．6 C．3 D．3【考点】胡不归问题；含30度角的直角三角形．【分析】过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，DFDC，ADDC＝AD+DF，当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长．【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE＝30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在Rt△DFC中，∠DCF＝30°，∴DFDC，∵ADDC＝AD+DF，∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BC＝4，∴DC＝2，∴DFDC＝1，∴AF＝AD+DF＝2+1＝3，∴ADDC的最小值为3，故选：D．【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．8．（2021•安徽三模）如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点C坐标为（2，0），点B为线段OA上一个动点，则AB+BC的最小值为（）A． B．5 C．3 D．5【考点】胡不归问题；坐标与图形性质．【分析】在x轴上取点D（﹣3，0），连接AD，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，由tan∠DAO得EBAB，从而AB+BC＝EB+BC≥CF，求出CF即可．【解答】解：如图，在x轴上取点D（﹣3，0），连接AD，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，∵tan∠DAO，∴∠DAO＝30°，∠ADO＝60°，∴EBAB，∴AB+BC＝EB+BC≥CF，∵CD＝OD+OC＝3＝5，∴CF＝CDsin60°，∴AB+BC的最小值为．故选：A．【点评】本题主要考查了胡不归问题，通过取D（﹣3，0）将AB+BC转化为EB+BC是本题的关键．9．（2021•安徽模拟）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝10，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．8【考点】胡不归问题．【分析】以AP为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP，过B作BE⊥AD于E，由sin∠PAD得AP+PB＝DP+PB≥BE，再由∠BAC＝15°求出BE即可．【解答】解：如图，以AP为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP，过B作BE⊥AD于E，∵∠PAD＝45°，∴sin∠PAD，∴DPAP，∴AP+PB＝DP+PB≥BE，∵∠BAC＝15°，∴∠BAD＝60°，∴BE＝ABsin60°＝5，∴AP+PB的最小值为5．故选：B．【点评】本题主要考查了胡不归问题，以AP为斜边在AC下方作等腰Rt△ADP将AP+PB转化成DP+PB是本题的关键．10．（2021•涡阳县模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（）A． B． C．10 D．【考点】胡不归问题；等腰三角形的性质．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，由勾股定理得PE．继而证明当C、P、E三点共线且CEAB，BP+PC＝PE+PC的值最小为CE．由由等腰三角形腰上的高相等，解出BD的长，即为CE的长．【解答】解：∵∠A＝45°，BD⊥AC，∴∠ABD＝45°．过点P作PE⊥AB于点E，由勾股定理得PE．∴．当C、P、E三点共线，且CEAB时，BP+PC＝PE+PC的值最小为CE．∵△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，由等腰三角形腰上的高相等，∴BD＝CE，在Rt△ABD中，BDCE．故BP+PC＝PE+PC＝CE．故选：B．【点评】本题考查垂线段最短（此题也是胡不归模型），涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，属于常考内容，掌握BP+PC转化为PE+PC是解题关键．11．（2021•太和县一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，P为AC上一动点，若BC＝4，AC＝6，则BP+AP的最小值为（）A．5 B．10 C．5 D．10【考点】胡不归问题．【分析】BP+AP（BPAP），求BPAP的最小值属“胡不归”问题，以A为顶点，AC为一边在下方作45°角即可得答案．【解答】解：以A为顶点，AC为一边在下方作∠CAM＝45°，过P作PF⊥AM于F，过B作BD⊥AM于D，交AC于E，如图：BP+AP（BPAP），要使BP+AP最小，只需BPAP最小，∵∠CAM＝45°，PF⊥AM，∴△AFP是等腰直角三角形，∴FPAP，∴BPAP最小即是BP+FP最小，此时P与E重合，F与D重合，即BPAP最小值是线段BD的长度，∵∠CAM＝45°，BD⊥AM，∴∠AED＝∠BEC＝45°，∵∠ACB＝90°，∴sin∠BEC＝sin45°，tan∠BEC，又BC＝4，∴BE＝4，CE＝4，∵AC＝6，∴AE＝2，而sin∠CAM＝sin45°，∴DE，∴BD＝BE+DE＝5，∴BP+AP的最小值是BD＝10，故选：B．【点评】本题考查线段和的最小值，解题的关键是做45°角，将求BPAP的最小值转化为求垂线段的长．二．填空题（共13小题）12．（2022春•江汉区月考）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，∠A＝30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则的最小值是5．【考点】胡不归问题；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；轴对称﹣最短路线问题．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，先在Rt△ABD中求出∠ABD及BD，再在Rt△BPE中利用sin60°得到EP+CP，当当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时其取得最小值，最小值为CE，计算即可求出结果．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△ABD中，∠ABD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，BD5，在Rt△BPE中，sin60°，∴EPBP，∴EP+CP，当C、P、E三点在同一直线上，且CE⊥AB时EP+CP取得最小值．∵AB＝AC＝10，BD⊥AC，CE⊥AB，∴CE＝BD＝5，∴EP+CP的最小值为5．故答案为5．【点评】此题是胡不归模型，涉及到等腰三角形的性质，直角三角形的性质、锐角三角函数等，解题关键是将转化成EP+CP．13．（2022•江北区开学）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为6．【考点】胡不归问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点B'，可证△ABB'是等边三角形，由直角三角形的性质可得CHAC，则2BC+AC＝2（B'C+CH），即当点B'，点C，点H三点共线时，B'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点B（0，），∴AO＝3，BO，∴AB2，如图，作点B关于OA的对称点B'，连接AB'，B'C，过点C作CH⊥AB于H，∴OB＝OB'，又∵AO⊥BB'，∴BB'＝2，AB＝AB'＝2，BC＝B'C，∴AB＝BB'＝B'A，∴△ABB'是等边三角形，∵AO⊥BB'，∴∠BAO＝30°，∵CH⊥AB，∴CHAC，∴2BC+AC＝2（BCAC）＝2（B'C+CH），∴当点B'，点C，点H三点共线时，B'C+CH有最小值，即2BC+AC有最小值，此时，B'H⊥AB，△ABB'是等边三角形，∴BH＝AH，∠BB'H＝30°，∴B'HBH＝3，∴2BC+AC的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．14．（2022•马鞍山一模）如图，AC垂直平分线段BD，相交于点O，且OB＝OC，∠BAD＝120°．（1）∠ABC＝75°．（2）E为BD边上的一个动点，BC＝6，当最小时BE＝2．【考点】胡不归问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质即可求得∠ABC；（2）作A关于OB的对称点A'，过A作AG⊥A'B于G，过点E作EF⊥A'B于F，将BE转化为EF，再根据AEBE＝AE+FE≥AG，设AG与OB交于E'，BE'即为当最小时的BE，求出BE'即可．【解答】解：（1）∵AC垂直平分线段BD，∴AB＝AC，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝120°，∴∠ABD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∵OB＝OC，OB⊥OC，∴∠OBC＝45°，∴∠ABC＝30°+45°＝75°，故答案为：75°；（2）作A关于OB的对称点A'，过A作AG⊥A'B于G，过点E作EF⊥A'B于F，∵∠ABO＝30°，∴∠A'BO＝30°，∴FEBE，∴AEBE＝AE+FE≥AG，设AG与OB交于E'，BE'即为当最小时的BE，∵BC＝6，∠OBC＝45°，∴OB＝OC＝BCcos45°，∵cos∠A'BO，∴BA'，∵∠A'BA＝60°，AB＝A'B，∴△ABA'为等边三角形，∴BGBA'，∵cos∠A'BO，∴BE'＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，锐角三角函数解三角形，解决此题的关键是作出垂线EF和AG，将BE转化为EF．15．（2021秋•福清市期末）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，△ABC的面积为，点P为BD上动点，连接AP，则APBP的最小值为．【考点】胡不归问题；等边三角形的性质．【分析】过A作AF⊥CB于E，过点P作PE⊥BC于E，故PEBP，故APBP＝AP+PE≥AF，求出AF即可．【解答】解：过A作AF⊥CB于E，过点P作PE⊥BC于E，∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝30°，∴PEBP，∴APBP＝AP+PE≥AF，∵△ABC的面积为，∴AC2，∴AC＝2，∴BC•AF，∴AF，∴APBP的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出垂线PE，得到PEBP是解决本题的关键．16．（2021秋•北碚区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为3．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；垂线段最短．【分析】连接MN、AC，由菱形ABCD的性质和∠BAD＝120°得到AB＝AD＝CD、∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，从而得到△ADC和△ABC为等边三角形，然后得到AC＝DC，然后结合AM＝DN得证△AMC≌△DNC，得到CM＝CN、∠DCN＝∠ACM，从而得到∠MCN＝60°，得到△CMN为等边三角形，由点F是CM上靠近点C的四等分点得到S△CFNS△CMN，所以△CMN的面积最小时，△CFN的面积也最小，从而有当CN和CM最短，即CN⊥AD、CM⊥AB时△CFN的面积最小，取BE的中点为点G，连接MG，由△ABC为等边三角形和CM⊥AB得到点M是AB的中点、AE＝BE，进而有MGAEBE，所以BE+AEAE，最后由点E是CM上的动点，得到AE的最小值即为AM的长度，从而求得结果．【解答】解：如图，连接MN、AC，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝AD＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，∴△ADC和△ABC为等边三角形，∴AC＝DC，∠ACD＝60°，∵AM＝DN，∴△AMC≌△DNC（SAS），∴CM＝CN，∠DCN＝∠ACM，∴∠MCN＝∠MCA+∠ACN＝∠DCN+∠ACN＝∠ACD＝60°，∴△CMN为等边三角形，∵点F是CM上靠近点C的四等分点，∴S△CFNS△CMN，∴△CMN的面积最小时，△CFN的面积也最小，∵S△CMN，∴当CN和CM长度最短时，S△CMN的面积最小，即CN⊥AD，CM⊥AB时△CFN的面积最小，取BE的中点为点G，连接MG，∵△ABC为等边三角形，CM⊥AB，∴点M是AB的中点，∴AE＝BE，∴MGAEBE，∴BE+AEAE+AEAE，∵点E是CM上的动点，∠AME＝90°，∴AE的最小值即为AM的长度，∵CD＝4，∴AMAB＝2，∴（BE+AE）最小值2＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、等边三角形的面积，将求三角形CFN的面积最小值转化为CM和CN的最小值是解题的关键．17．（2021秋•亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点A（﹣3，0），B（1，0）．根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：在Rt△ABC中，AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若点D是AB边上的动点，则CDAD的最小值为3．【考点】胡不归问题；坐标与图形性质；含30度角的直角三角形．【分析】作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，故DEAD，故CDAD＝CD+DE≥CF，求出CF即可．【解答】解：作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，∴DEAD，∴CDAD＝CD+DE≥CF，∵A（﹣3，0），B（1，0）．∴AB＝4，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴BCAB＝2，∴AC2，∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，∴AFAC，∴CF3，∴CDAD的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG，使得∠BAG＝30°是本题的关键．18．（2021秋•宜兴市期末）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点C沿BE折叠与AB上的点D重合．连接DE，请你探究：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在△OPM中，∠OPM＝90°，∠M＝30°，若OM＝2，点G是OM边上的动点，则的最小值为．【考点】胡不归问题；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【分析】由折叠的性质可得AD＝BD，BC＝BD，则有AB＝2BC；作P点关于OM的对称点P'，作P'N⊥PM交于N点，交OM于G'点，P'G'+G'N≥P'N，此时的值最小，求出P'N的长即为所求．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵点C沿BE折叠与AB上的点D重合，∴∠DBE＝∠CBE＝30°，∴∠A＝∠ABE，∵∠BDE＝∠C＝90°，∴AD＝BD，∵BC＝BD，∴AB＝2BC，∴，作P点关于OM的对称点P'，作P'N⊥PM交于N点，交OM于G'点，∴PG'＝P'G'，∵∠M＝30°，∴NG'G'M，∴P'G'+G'N≥P'N，此时的值最小，∵OM＝2，在Rt△OPM中，OPOM＝1，∴PM，在Rt△PDM中，PDPM，∴PP'，∵∠P'＝30°，∴PN，在Rt△PP'N中，P'N，∴的最小值为，故答案为：，．【点评】本题是图形的折叠变换，熟练掌握折叠的性质，直角三角形的勾股定理，胡不归求最短距离是解题的关键．19．（2021秋•汕尾期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则C点的坐标是（3，0），的最小值是4．【考点】胡不归问题；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；轴对称﹣最短路线问题．【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据PD+PC（PDPC）（DP+PJ），求出DP+PJ的最小值即可解决问题．【解答】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），C（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，∴DH＝BD•sin45°＝2，∵PJ⊥CB，∴∠PJC＝90°，∴PJPC，∴PD+PC（PDPC）（DP+PJ），∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥2，∴DP+PJ的最小值为2，∴PD+PC的最小值为4．故答案为：（3，0），4．【点评】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求PD+PC得最小值转化为求（DP+PJ）的最小值．属于中考选择题中的压轴题．20．（2021秋•南海区期末）如图，△ABC中AB＝AC，A（0，8），C（6，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为．【考点】胡不归问题；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；轨迹．【分析】过B点作BH⊥AC交于H点，交AO于D点，连接CD，设P点的运动时间为t，在CD上的运动速度为v，t（CD），只需CD最小即可，再证明△ADH∽△ACO，可得DH，则当B、D、H点三点共线时，此时t有最小值，再由△BDO∽△ADH，求出OD即可求坐标．【解答】解：过B点作BH⊥AC交于H点，交AO于D点，连接CD，∵AB＝AC，∴BD＝CD，设P点的运动时间为t，在CD上的运动速度为v，∵点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，∴t（CD），∵∠AHD＝∠AOC＝90°，∴△ADH∽△ACO，∴，∵A（0，8），C（6，0），∴OC＝6，OA＝8，∴AC＝10，∴，∴DH，∴t（DH+CD），当B、D、H点三点共线时，tBH，此时t有最小值，∵∠BDO＝∠ADH，∴∠DBO＝∠OAC，∴△BDO∽△ADH，∴，即，∴DO，∴D（0，），故答案为：（0，）．【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离和胡不归求最短距离的方法，三角形相似的判定及性质是解题的关键．21．（2021秋•缙云县期末）如图，在直角坐标系中，点M的坐标为（0，2），P是直线yx在第一象限内的一个动点．（1）∠MOP＝30°．（2）当MPOP的值最小时，点P的坐标是P（1，）．【考点】胡不归问题；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）设P（t，t），过点P作PH⊥x轴交于H，由tan∠POH，则∠POH＝60°，即可求∠MOP＝30°；（2）作M点关于直线yx的对称点M'，过M'作M'N⊥y轴交于N，连接MM'，则有MPOP＝M'P+OP＝M'N，此时MPOP的值最小．【解答】解：（1）设P（t，t），过点P作PH⊥x轴交于H，∴OH＝t，PHt，∴tan∠POH，∴∠POH＝60°，∴∠MOP＝30°，故答案为：30°；（2）作M点关于直线yx的对称点M'，过M'作M'N⊥y轴交于N，连接MM'，∴MP＝M'P，∵∠MOP＝30°，∴NPOP，∴MPOP＝M'P+OP＝M'N，此时MPOP的值最小，∵MM'⊥OP，∠MOP＝30°∴MGOM，∵M（0，2），∴MG＝1，∴MM'＝2，∵∠OMG＝60°，∴MN＝1，∴ON＝1，∴P（，1），故答案为：P（，1）．【点评】本题考查胡不归问题，熟练掌握胡不归问题的解题方法，轴对称求最短距离的方法，直角三角形的性质是解题的关键．22．（2022春•梁溪区期中）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝8，BC＝3，P为边CD上的一动点，则PBPD的最小值等于4．【考点】胡不归问题；平行四边形的性质．【分析】过点P作AD的垂线交AD延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，所以∠EDP＝∠DAB＝30°，得EPDP，要求PBPD的最小值，即求PB+EP的最小值，当点B、P、E三点共线时，PB+EP取最小值，最小值为BE的长，根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求出PBPD的最小值．【解答】解：如图过点P作AD的垂线交AD延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝30°，∴EPDP，要求PBPD的最小值，即求PB+EP的最小值，当点B、P、E三点共线时，PB+EP取最小值，最小值为BE的长，∵在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝8，∴BEAB＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握30度角所对直角边等于斜边的一半．23．（2021春•石阡县期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠ABC＝60°，E为BC边的中点，M为对角线BD上的一个动点，则线段AMBM的最小值为5．【考点】胡不归问题；垂线段最短；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；菱形的性质．【分析】过点M作MF⊥BC，垂足为F，根据菱形和含30度的直角三角形的性质可得MFBM，从而可得AMBM＝AM+MF，根据垂线段最短可得线段AMBM的最小值为AE，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的值即可解答．【解答】解：过点M作MF⊥BC，垂足为F，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC∠ABC＝30°，∴MFBM，∴AMBM＝AM+MF，∴当点A，点M，点F三点共线且垂直BC时，AM+MF有最小值，∴线段AMBM的最小值为AE，在Rt△ABE中，AE＝ABsin60°＝105，∴线段AMBM的最小值为5，故答案为：5．【点评】本题考查了胡不归问题，含30度的直角三角形，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，垂线段最短，根据题目的条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．24．（202