相似三角形的性质“黄冈赛”一等奖

相似三形的性质(1)

两个三角形相似，除了它们的对应角相等，对应边成比例等性质外，相似三角形还有哪些性质呢？相似三角形的对应角相等，对应边成比例.相似三角形的性质：ABCA′B′C′∽几何语言表达∵△ABC∽△AB′C′

∴∠A=∠A′,∠B=∠B′,

∠C=∠C′.知识回顾动脑筋

如图，已知△ABC∽△，

AH、分别为对应边BC，上的高，那么吗？∴∵

△ABC∽，解△∴

∠B=∠∴△ABH∽△又∠AHB=∠=90°，类似地，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比.结论相似三角形对应高的比等于相似比.由此得到：

∵△ABC∽△，BC与为对应边

且AH⊥BC,

⊥.几何语言表达举例例9如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，DE⊥AC，垂足为点E.已知CD=2，AB=6，AC=4，求DE的长.∵

∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，在Rt△ABC与Rt△ACD中，解：∴

△ABC∽△ACD.又∵

CD，DE分别为它们的斜边上的高，∴

解得

DE=

∴

∠B=∠，

∠BAC=∠.又∵AT、分别为对应角∠BAC，∠的角平分线，∠==∠∴

∠BAT=∠BAC∴△ABT∽△∴求证：例10如图，已知△ABC∽△，

AT、分别为对应角∠BAC，∠的角平分线.类似地，我们可以得到另外两组对应角平分线的比也等于相似比.证明△ABC∽△∵结论相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.由此得到，

∵△ABC∽△，∠BAC与∠

为对应角

且AT平分∠BAC,平分∠.几何语言表达已知△ABC∽△,若AD、分别为，的中线，那么成立吗？由此你能得出什么结论？△ABC△相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.议一议议一议议一议结论相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.由此得到，

∵△ABC∽△，BC与为对应边，

且AD平分BC,平分

.几何语言表达练习已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别△ABC，△DEF的一条中线，且AM=6cm，AB=

8cm，DE=4cm，求DN的长.

1.

∴DN=3(cm).

AM，DN分别为它们对应的中线，∴∵

△ABC∽△DEF，解即ABCDFENM2.如图，，AD，BE

分别是△ABC

的高和中线，，分别是的高和中线，且AD=

4，=3，BE=6，求的长．

△ABC∽△△∵解△ABC∽△即∴

∴=4.5.1.两个相似三角形对应边比为8:9，那么相似比为

，对应边上的高之比为

，对应边上的中线比为

，对应角的角平分线比为

。8:98:98:98:9相似三角形对应边的比对应高的比对应中线的比对应角平分线的比都等于相似比.

随堂练习2.已知△ABC与△DEF相似且相似比为4：1，则△DEF与△ABC的对应边上的高之比为（）A．4：1B．1：4C．16：1D．2：1B3.5.如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个正方形零件的边长？解：设正方形的边长为xmm，则AK=80-x，

∵EFGH是正方形，

∴EH∥FG，

∴△AEH∽△ABC，即∴解得x=48mm，

相似三形的性质(2)湘教版数学九年级上册3.4.2相似三角形有哪些性质？1.对应角相等、对应边成比例;2.对应高之比、对应中线之比、对应角平

分线之比、对应边之比都等于相似比.知识回顾

相似三角形的周长有什么关系呢？归纳：相似三角形的周长比等于相似比.右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们彼此都相似．（2）与（1）的相似比＝________________，（2）与（1）的周长比＝________________;（3）与（1）的相似比＝________________，（3）与（1）的周长比＝________________.2:12:13:13:1从上面可以看出当相似比＝k时，周长比＝______k说一说动脑筋

如图，已知，相似比为k，则C△ABC∶C△的值是多少呢？△ABC∽△ACB分析：

∵△ABC∽△，相似比为k.结论相似三角形的周长比等于相似比.由此得到：ACB

∵△ABC∽△，相似比为k.∴C△ABCC△几何语言表示1.如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别在AB、AC边上,且DE∥BC.如果BC=8cm,,求△ADE的周长？

随堂练习ABCDE解:∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴C△ADEC△ABC即C△ADE3×8解得

C△ADE=6cm(相似比)82.已知

，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，=24cm，求BC，AC，，的长.△ABC∽△解:∵△ABC∽△∴它们的相似比为∴在△ABC中，AC=60-15-20=25(cm).ACB在△中，=72-18-24=30(cm).152420186072

相似三角形的面积有什么关系呢？2:1归纳：相似三角形的面积比等于相似比的平方.右图（1）（2）（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们彼此都相似．（2）与（1）的相似比＝________________，（2）与（1）的面积比＝________________;（3）与（1）的相似比＝________________，（3）与（1）的面积比＝________________.4:13:19:1从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝______

k2

说一说动脑筋

如图，已知，相似比为k，则S△ABC∶S△的值是多少呢？△ABC∽△分别作BC，边上的高AD，，则====∴S△ABCS△分析：ACBD∟∟结论相似三角形的面积比等于相似比的平方.由此得到，ACB几何语言表示

∵△ABC∽△，相似比为k.∴S△ABCS△3.两个相似三角形对应边比为3:5，那么相似比为

，周长比为

，面积比为

。3:59:253:54.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.

随堂练习解（1）△A1B1C1∽△A2B2C2（2）∵相似比为:==A1C1A2C24221S△A1B1C1∴S△A2B2C221=()241=举例例11如图，在△ABC中，EF∥BC，

S四边形BCFE=8，求S△ABC．，EF∥BC，解∵∴S△AEFS△ABC∴△AEF∽△ABC.又∵∴即S△ABC-S△ABCS四边形EBCF∴S△ABC-8S△ABC解得S△ABC=9.(相似比)△例12已知△ABC与的相似比为，且+=91，求△的面积.S△ABCS△

解的相似比为，△△ABC和∵设S△ABC=4x,则S△=9x,+=91，

又∵

S△ABCS△∴4x+9x=91,∴S△=9x=63解得x=7.ACB∴S△ABCS△1.对应角相等、对应边成比例;2.对应高之比、对应中线之比、对应角平分线、

对应边之比都等于相似比；3.周长之比等于相似比4.面积之比等于相似比的平方相似三角形有哪些性质：注意：“比”必须强调对应，否则不成立！小结与复习对应边的比对应高的比对应中线的比对应角平分线的比对应周长的比等于相似比.相似三角形的性质：3.对应面积的比等于相似比的平方1.对应角相等、对应边成比例;2.1.把一个三角形变成和它相似的三角形，则如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原来的______倍；如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的___倍。1000010练习2.已知，在△ABC中，DE||BC,DE:BC=3:5,则:

(1)AD:DB=

(2)△ADE的面积:梯形DECB的面积=

(3)△ABC的面积为25，则△ADE的面积=___。3:29:169ACBED3.有一个直角三角形的边长分别为3，4，5