一类偏微分系统特征值的带权估计

一类偏微分系统特征值的带权估计

m（）是一个光滑的边界带。考虑到以下特征值估计问题：。其中s,t是任意的正整数,c1,c2为非负的实常数,x=(x1,x2,…,xm),n是边界∂Ω的单位外法向量,,且满足其中μ1,μ2为正实数.近年来,对包含拉普拉斯算子Δ的单个方程的特征值估计已取得了一系列成果,且问题(1)相应的高阶常微分系统特征值的估计结论已在文献中得到.本文参照并改进文中的讨论方法,进一步推广到类似问题(1)的高阶偏微分系统特征值估计,其中将权推广至x的任意函数s(x),获得了用前n个特征值来估计第n+1个特征值上界的不等式,其估计系数与区域Ω的度量无关,文和讨论的问题分别是本文问题(1)中当c1=c2=0,c=1,s=1,t=2,s(x)=1和c1=c2=0,c=1,s=2,t=3,s(x)=1时的特例,因此本文结论是文和的进一步推广,在偏微分方程的理论研究中有着广泛的参考价值.根据算子特征值理论知,问题(3)的特征值是离散的,且都是正实数,设其特征值为0<λ1≤λ2≤…≤λn≤…,与之相对应的带权正交特征向量为,即满足结合式(2)可得又由问题(3)中微分系统,经多次分部积分可得中常数akij=∫Ωxks(x)uiTujdx(i,j=1,2,…,n;k=1,2,…,m),显然akij=akji,φik与u1,u2,…un带权s(x)正交,且满足齐次边界条件,x∈∂Ω(r=0,1,…,t-1),于是,由Rayleigh定理知,对所有与前n个特征向量正交的且满足边界条件的连续函数φik所得瑞利商的最小值是第n+1个特征值λn+1,由此得到下列不等式根据问题(3),计算可得利用φik与uj(j=1,2,⋯,n)的正交性,以及恒等式∫Ωs(x)|φik|2dx=∫Ωxks(x)φTikuidx,从式(7)有设利用式(8)得利用式(6)和(9)有在式(10)中,用λn替代所有的λi(i=1,2,…,n),有1特征函数的获取引理1设ui是问题(3)对应特征值λi(i=1,2,…,n)的特征向量,则(其中a,b为实数,l=0,1,…,s-1;p=0,1,…,t-1).证明因为v1i,v2i分别是方程(-Δ)sv1+c1v1=λs(x)v2和(-Δ)sv2+c2v2=λs(x)v2对应特征值λi的特征函数,由文引理1和式(5)可知:于是即得引理1.引理2设ui是问题(3)对应特征值λi(i=1,2,…,n)的特征向量,则(其中为实数,l=0,1,…,s-1;p=0,1,…,t-1).证明(1)利用分部积分,并注意到问题(3)的边界条件,有(2)类似地由式(12)可得利用引理2(1)和式(13),有证毕.引理3设λ1,λ2,…,λn是问题(3)的n个特征值,则证明由于akij=akji,利用引理1和式(15)得证毕.引理4对于上述φik和λi(i=1,2,…,n;k=1,2,…,m),有下列不等式成立证明由φik的定义,有由等式akij=akji及∫ΩujTui,xkdx=-∫ΩuiTuj,xkdx,可知式(16)右端第二项恒等于零,又即利用式(16)、(17)和(4)得利用式(18)、Schwartz不等式和引理1(取a=b=p=l=1),有整理上式即得引理4.2维函数相关定理定理1设λi(i=1,2,…,n+1)是问题(3)的特征值,则证明利用引理3和引理4,从式(11),可得式(19),在式(19)右端用λn来替代λi,可得到式(20).定理2对于任何整数m≥2,n≥1,有证明选择参数σ>λn,利用式(10),得利用式(18)和Young不等式,有其中δ>0是待定常数.设将式(21)和(22)简化为利用引理1和式(24),有为了使(25)右端的值达到最小,取利用式(25)和(26),得将式(27)代入(23),得其中σ>λn,选取σ,使不等式(28)右端等于零,即为推导方便,记∇∙∇=∇2=∇,二维函数列向量,二阶算子矩阵Al,,其中l,p≥0为整数,f为任一算子,二阶常数矩阵,则可将问题(1)写成如下等价的矩阵形式:利用引理2(2),由式(14)知设,