一类偏积分微分方程的二阶差分格式

一类偏积分微分方程的二阶差分格式

1.关于二者正则性方程在这项研究中，我们研究了以下有限差分格式：。(其中核β(t)=t-1/2/Γ(1/2),在t=0点是奇异的)0≦x≦1,0≦t≦T,满足如下边界条件:和初始条件:问题(1.1)-(1.3)常出现在带有粘弹性流体模型及带有记忆功能的热传导物质.它的齐次方程曾被Sanz-Serna研究,它是介于标准热传导(抛物)方程和波动(双曲)方程之间的一类方程.实际上,积分算子I1/2将每一个(局部可积的)函数f(t)(t>0),映射为如下函数:满足下列性质(见):因此π-1/2I1/2能看成不定积分算子的平方根,通过运用分数次计算的理论(见),可以定义微分算子d=d/dt的平方根D1/2:在(1.1)的齐次方程两边运用D1/2可得:因此方程(1.1)的齐次方程可被看作介于方程:Du=auxx与D2i=buxx(a,b为正常数)之间的一类方程.近年来,国内外有很多人研究了这类方程.陈传淼、和Wahlbin采用向后Euler格式,空间方向采用线性有限元,积分项通过内积求积技巧进行离散,得到解的正则性条件及误差估计.-Marcos研究了一类非线性的积分微分方程,采用了一阶时间全离散差分格式.Mclean,使用了Euler和二阶向后差分格式,空间方向用Galerkin有限元方法,并给出了问题(1.1)-(1.3)的正则性估计.Sanz-Serna也研究了这类问题,在时间方向,他采用了向后Euler格式和一阶卷积求积逼近积分项,对光滑与非光滑的初始值导出了相应的误差估计.徐大考虑了Euler和Crank-Nicolson格式和一阶、二阶卷积求积,得到了带权的误差估计.由于时间离散必须保留前面所有的值,它将要求大量的内存,为了克服这些困难,黄元清提出了一种迭代格式,从而减少了大量的计算和内存.Sloan,建议减少求积区间,使用高阶的求积公式.本文运用二阶向后差分格式进行时间离散,空间方向采用有限二阶差分格式,对积分项采用二阶卷积求积.由于方程的解在t=0不光滑,导致误差估计在整个过程都不能达到时间的二阶精度.全文中,我们假设附注1.对充分光滑v(x)及f(x,t),(1.1)-(1.3)存在唯一的解,并且满足下面的正则性.类似地,时间导数满足:如果在(1.8),(1.9)中,选取适当的θ和r,就能得到如下正则性估计(‖·‖0为连续的L2模)(见的(7.12)):全文按如下安排:第二节介绍数值格式,第三节讨论数值格式的稳定性,第四节给出误差估计,及一些归纳性的附注.最后一节给出数值例子,数值结果与我们的理论分析十分吻合.2.阶积分近似我们给出如下网格xj=jh,j=0,1,…,J,其中h=1/J(J是正整数),时间步长记为k,给出时间的一个划分tn=nk,n=0,1,…,N,(N=[T/k]),记近似u(xj,tn),定义二阶向后差分为:我们介绍以下二阶积分近似,运用二阶卷积积分公式(见)其中βp是下列级数的系数:采用校正积分权wn0以保证积分能达到二阶精度,因此积分公式(2.2)对多项式1准确成立,即:定义以下差分记号:则(1.1)-(1.3)的离散格式可以写成如下形式:当n≥2时即当n=1时即其中为了后面的需要,我们收集了差分计算的一些记号和结论.用记号Un(n=0,1,…,N)表示RJ-1中的向量,即Un表示向量().在分析过程中,如遇到U0和UJ,我们定义U0=UJ=0.如(V1,V2,…,VJ-1),(W1,W2,…,WJ-1)为RJ-1中的向量,我们规定:容易验证下面的等式成立(见):3.稳定性本节给出离散格式(2.4)-(2.6)的稳定性.首先由Cauchy不等式很容易得到下述引理.引理3.1.当U0=UJ=0时有:2)当0≤n≤N,0≤m≤N时:证明.同理可得故证毕.引理3.2.如果实值序列{a0,a1,…,an,…}满足在开球域D={z∈C:|z|<1}内是解析的.则对任意正整数N,任意序列(V0,V1,V2,…,VN)∈RN+1有当且仅当:证明.见[3,p27;8,命题3.5].容易验证β(t)为正类型核,即,对于Res>0.当|z|<1时,有,因此,得到,对于|z|<1.发生函数,满足引理3.2的条件.下面给出格式的稳定性.定理3.3.如果按照(2.4)-(2.6)定义,当k=O(h2)时,那么证明.当m=1,2时,记,由定义很容易验证故由(3.3),对2≤n≤N求和得因此对2≤n≤N有当n≥2时,在(2.4.1)的两边同时乘以,并对j(1≤j≤(J-1))求和可得当n=1时,在式(2.4.2)的两边同时乘以,并对j(1≤j≤(J-1))求和可得故当n≥2时由(2.8),先交换求和次序,再对每个固定的j,由引理3.2可将上式等号的右边第一项化为因此由(3.5)及引理3.2和上式可得整理得假设,则进一步得到从而得到当N≥2时:当N=1时,由(3.7)得即不等式是由基本不等式及引理3.1得<δ2U1,U1〉≤0.因此由于wn0=O(k1/2n-1/2)(见[4,定理2.4.(1)])(1≤n≤N),可得由(3.9)、(3.10)及(3.11)即得.证毕.4.当n2时,解析定理推导,当n2时,当n2时,当n2时,重新解释,重新确定,得到了上下方型的假设,并确定了上下方方程的数值解这一节将研究离散格式(2.4)-(2.6)的误差估计.首先给出ε(uxx)(tn)=(E(uxx)-I1/2uxx)(tn)界,其中E(φ)(tn)在(2.2)中被定义.引理4.1.如果β(t)=t-1/2/Γ(1/2),则对n≥1有证明.见[8,引理7.2].引理4.2.若uxx是0≤t≤T上实的,连续可微的函数,且uxxtt在0<t<T上连续可积,则存在一个仅仅依赖于T的正常数C,满足:证明.从假设(1.7)得到当n=1时,当n≥2时,其中第二个不等式运用了积分中值定理(tn-1≤ξ≤tn)由(4.3)-(4.5)及引理4.1即得.证毕.定理4.3.假设u为问题(1.1)-(1.3)的解,(U0,…,UN)(N=[T/k])是满足(2.4)-(2.6)的数值解,对充分光滑的v(x)及f(x,t),u满足u∈C((0,T];,进一步假设问题(1.1)-(1.3)的解满足假设条件(1.7),当k=O(h2)时证明.令,其中,则当n≥2时,而故其中当n=1时,其中根据定理3.3,可得由带积分余项的Taylor展开可得,对一切x(0≤x≤1)均有:当n≥3时,由上述两式可得(1≤j≤J-1)当n=2时由上述两式可得(1≤j≤J-1)当n=1时故(1≤j≤J-1)对一切1≤j≤J-1,n≥3,由假设条件(1.7)均有即同理可得因此很容易得到很显然,对一切0≤t≤T和1≤j≤J-1有如下一致估计故由引理4.2及(2.3),对一切1≤n≤N和1≤j≤J-1有故根据(4.7),(4.8),(4.10)即得.证毕.从上述结论可知,虽然在时间,空间方向上均采用了二阶离散格式,却并不能得到所期待的二阶精度,但与一阶离散格式的结果(见)相比,它的精度有了明显的提高.附注3.对格式作稍微的调整能够使它适合类似如(1.1)的弱奇异方程,其中积分项由代替,通过平行的分析就能得出上述方程数值解的稳定性和收敛性.5.偏积分微分方程假设这一节,我们给出求积公式中的βp及数值例子.在做数值计算过程中,遇到的最主要的困难是βp的确定,Sanz-Serna中已经给出一阶离散格式,得到了一阶卷积求积格式的系数cp其中.而且下面我们将确定βp,其中βp是下列级数的系数通过比较系数可得例1.考虑如下偏积分微分方程假设u(x,t)=x(1-x)(t3/2+1),可知,我们利用离散格式(2.4)-(2.6),选择k=h2,这时误差阶应为O(k3/2+h2).取步长分别为k=0.01,h=0.1,对于t=0.2,