3 2利用导数研究函数极值

1．3.2利用导数研究函数的极值【问题导思】

1．从远处看大山，一个个山头此起彼伏，山峰与山谷彼此相邻，如果这样的美景在数学中可看作函数的图象，那么一个个山峰和山谷又称作什么呢？【提示】极大值和极小值．2．导数为0的点一定是极值点吗？【提示】

不一定．如f(x)＝x3，尽管f′(x)＝3x2＝0得出x＝0，但f(x)在R上是递增的，不满足在x＝0的左右两侧符号相反，故x＝0不是f(x)＝x3的极值点．极值点或极值概念名称定义表示法极值极大值已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，如果对x0附近的所有点x，都有___________，则称函数f(x)在点x0处取极大值记作：___________极值极小值已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，如果对x0附近的所有点x，都有___________，则称函数f(x)在点x0处取极小值记作：__________极值点________________________统称为极值点【问题导思】

1．极大值一定比极小值大吗？【提示】

极大值与极小值之间无确定的大小关系．在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值．如图所示．f(a)为极大值，f(d)为极小值，但f(a)<f(d)．2．函数的极值与单调性有什么联系？【提示】

极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性．求可导函数y＝f(x)的极值的步骤(1)求导数f′(x)；(2)求方程

的所有实数根；(3)考察在每个根x0附近，______________，导函数f′(x)的符号如何变化．f′(x)＝0从左到右【问题导思】

如图1－3－7所示为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．1．结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？【提示】存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？【提示】

不一定，也可能是区间端点的函数值．

3．怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？【提示】

比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得

和

，若函数在[a，b]内是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．最大值最小值(2013·福建高考)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(

)A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10.则a＝________，b＝________．(2)函数f(x)＝x2＋aln(1＋x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，则a的范围是________．(1)(2014·北京高二检测)函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，那么a＝________．(2)若函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3，2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1]．1．涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．2．不等式恒成立、能成立常见的转化策略：①a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立⇔a<f(x)min；②f(x)＞g(x)＋k恒成立⇔k＜[f(x)－g(x)]min；③f(x)＞g(x)恒成立⇔f(x)min＞g(x)max；④a＞f(x)能成立⇔a＞f(x)min，a＜f(x)能成立⇔a＜f(x)max.设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．分类讨论思想在求函数极值中的应用

(12分)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，