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文档简介
专题三角函数图像:平移及图像性质一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】正弦到正弦的平移【题型二】余弦到余弦的平移【题型三】正弦到余弦的平移【题型四】余弦到正弦的平移【题型五】恒等变形平移【题型六】识图平移【题型奇】平移前后函数的轴、中心对称性质【题型把】最小平移【题型九】平移计算w【题型十】五点作图与识图:【题型十一】超越函数识图【题型十二】五点作图应用:三角函数零点【题型十三】五点作图应用:与幂指对等交点三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论一、三角函数图像函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R单调性[-eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(π,2)+2kπ](k∈Z)上递增;[eq\f(π,2)+2kπ,eq\f(3π,2)+2kπ](k∈Z)上递减[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减(-eq\f(π,2)+kπ,eq\f(π,2)+kπ)(k∈Z)上递增最值x=eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=-eq\f(π,2)+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ,0)(k∈Z)(eq\f(π,2)+kπ,0)(k∈Z)(eq\f(kπ,2),0)(k∈Z)对称轴方程x=eq\f(π,2)+kπ(k∈Z)x=kπ(k∈Z)周期2π2ππ二、确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法:(1)观察确定A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=eq\f(M-m,2),b=eq\f(M+m,2).(2)通过周期公式求ω:即ω=eq\f(2π,T). (3)特殊点代入求φ:通常代入“最值点”或“零点”;三、A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响(1)函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中参数A.φ、ω的作用参数作用AA决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值,通常称A为振幅.φφ决定了x=0时的函数值,通常称φ为初相,ωx+φ为相位.ωω决定了函数的周期T=.(2)图象的变换(1)振幅变换要得到函数y=Asinx(A>0,A≠1)的图象,只要将函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到.(2)平移变换要得到函数y=sin(x+φ)的图象,只要将函数y=sinx的图象上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度即可得到.(3)周期变换要得到函数y=sinωx(x∈R)(其中ω>0且ω≠1)的图象,可以把函数y=sinx上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的_倍(纵坐标不变)即可得到.四、形如函数y=Asin(ωx+φ)的图像及性质1.图像变换:①相位变换:y=sinx→y=sin(x+φ)的规则是:左加(φ>0)或右减(φ<0)|φ|个单位;②周期变换:y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ)的规则是:纵坐标不变,将横坐标缩小(伸长)为原来的|eq\f(1,ω)|倍;③振幅变换:y=sin(ωx+φ)→y=Asin(ωx+φ)的规则是:横坐标不变,将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A|倍;注意:y=sinωx→y=sin(ωx+φ)变换规则是:先提取后者x的系数ω,然后在左(右)平移|eq\f(φ,ω)|个单位;基本性质:①定义域:解三角函数不等式用“数形结合” ②值域:由内向外 ③单调性:同增异减周期公式:①y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=eq\f(2π,|ω|) ②y=|Asin(ωx+φ)|的周期T=eq\f(π,|ω|).对称性:换元思想,将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”,采用整体代入求解.①对称轴:最值处,令sin(ωx+φ)=1,则ωx+φ=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),可求得对称轴方程;②对称中心:零点处,令sin(ωx+φ)=0,ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标;正弦“第一零点”:;正弦“第二零点”:余弦“第一零点”:;余弦“第二零点”:4、奇偶性:利用“反向诱导法”理解掌握①函数y=Asin(ωx+φ),x∈R是奇函数⇔φ=kπ(k∈Z);函数y=Asin(ωx+φ),x∈R是偶函数⇔φ=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z);②函数y=Acos(ωx+φ),x∈R是奇函数⇔φ=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z);函数y=Acos(ωx+φ),x∈R是偶函数⇔φ=kπ(k∈Z);③函数y=Atan(ωx+φ),x∈R是奇函数⇔φ=kπ(k∈Z).热点考题归纳【题型一】正弦到正弦的平移【典例分析】1.(2021春·山西大同·高三校考阶段练习)已知函数,为了得到的图像,只需将的图像上所有点(
)A.向左平移个单位长度,纵坐标缩短到原来的,横坐标不变B.向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变C.向右平移个单位长度,纵坐标缩短到原来的,横坐标不变D.向右平移个单位长度,纵坐伸长到原来的3倍,横坐标不变【答案】D【解析】直接观察解析式,可发现需对纵坐标伸长3倍,从而排除A,C;再从选项的向右平移个单位长度,代入验证,即可得到答案.【详解】由向右平移个单位长度得:,纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变得:.故选:D2.(2023秋·江苏扬州·高三期末)要得到函数的图像,只需将函数的图像(
)A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【解析】由三角函数图像平移变化规律求解即可【详解】解:因为,所以要得到函数的图像,只需将函数的图像向左平移个单位长度即可,故选:C【提分秘籍】正弦到正弦的要得到函数y=sin(x+φ)的图象,只要将函数y=sinx的图象上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度即可得到.如果系数不为1,【变式演练】1.(2020秋·广东东莞·高三东莞市光明中学校考阶段练习)要得到函数的图像,只需将函数的图像A.横坐标缩小到原来的,纵坐标不变B.横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变C.纵坐标缩小到原来的,横坐标不变D.纵坐标扩大到原来的2倍,横坐标不变【答案】A【解析】根据函数解析式的变化直接求解即可.【详解】函数的图像,横坐标缩小到原来的,纵坐标不变,就得到函数的图像.故选:A2.(2023春·吉林长春·高三校考期中)为了得到函数的图像,只需将函数的图像A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位【答案】C【分析】由,再根据平移规则,得到答案.【详解】由,所以为了得到函数的图像,函数需要向右平移个单位,即,故选:C.3.(2021春·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中)要得到函数的图像,只需将函数的图像上所有的点(
)A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),向左平移个单位长度C.横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度D.横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度【答案】B【分析】由题意利用函数的图象变换规律,得出结论.【详解】解:只需将函数的图象上所有的点,横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得的图象;再向左平移个单位长度,可得函数的图象,故选:.【题型二】余弦到余弦的平移【典例分析】1.(2022秋·贵州·高三统考开学考试)为了得到函数的图象,只需将函数的图象(
)A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】C【分析】变形函数,再利用函数平移变换求解作答.【详解】因为,又函数的周期为,所以将函数的图象向左或向右平移个单位长度,即得的图象,显然当时,C满足,不存在整数k,使得选项A,B,D成立.故选:C.2.(2022·全国·高三专题练习)为了得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点(
)A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【分析】根据平移变换的定义判断.【详解】,因此将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象.故选:C.【提分秘籍】余弦到余弦:要得到函数y=cos(x+φ)的图象,只要将函数y=cosx的图象上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度即可得到.如果系数不为1,【变式演练】1.(2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考阶段练习)要得到函数的图象,只需将函数的图象(
).A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位【答案】D【分析】根据图象的平移变换左加右减法则得出结果即可.【详解】解:因为,而,所以将向右平移个单位即可得图象.故选:D2.(2019春·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习)要得到函数的图像,只需将函数的图像A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】A【详解】试题分析:首先要注意到:要得到的函数是的图像,否则易做反了.函数,向左平移个单位得到,故选A.考点:三角函数的图像变换.3.(2017春·陕西西安·高三长安一中校考期中)为了得到的图像,只需将的图像(
)A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【分析】根据三角函数平移变换求解即可.【详解】解:因为所以,为了得到的图像,只需将的图像向左平移个单位长度.故选:C.【题型三】正弦到余弦的平移【典例分析】1.(2023秋·高三课时练习)已知函数,为了得到函数的图象只需将的图象(
)A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】A【分析】利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解.【详解】解:因为所以,只需将f(x)的图象向左平移个单位,故选:A.2.(2023·全国·高三专题练习)要得到的图像,只需将函数的图像(
)A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】B【解析】化简函数,,即可判断.【详解】,,需将函数的图象向右平移个单位.故选:B.【提分秘籍】遇到正弦到余弦的平移。目标是函数化一致,理论上正弦化为余弦或者余弦化为正弦都可以,实际操作时,建议把正弦化为余弦较简单,原因主要是余弦是偶函数,可以利用xos(x)=cosx,达到转化系数为正的目的。【变式演练】1.(2021·江西·校联考模拟预测)为了得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点(
)A.横坐标伸长到原来的2倍,再向右移动个单位长度B.横坐标缩短到原来的,再向右移动个单位长度C.向左移动个单位长度,再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的D.向左移动个单位长度,再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍【答案】D【分析】将进行化简转化,根据选项直接判断即可.【详解】,将的图象,向左移动个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象.故选:D.2.(2020春·河北张家口·高三张家口市第一中学校考期中)已知函数,为了得到的图象,只需将的图象(
)A.向左平移个长度单位;B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位;D.向右平移个长度单位【答案】D【分析】首先利用诱导公式可得,,接下来结合选项,根据三角形函数的平移法则即可得到答案【详解】因为函数,所以将函数的图象向右平移个单位长度,即可得到函数的图象故选:D.3.(2021·全国·高三专题练习)为了得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点(
)A.向右平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向左平移个单位【答案】D【分析】把变成正弦型函数,再根据左加右减规律即可【详解】解:,所以左移故选:D【题型四】余弦到正弦的平移【典例分析】1.(2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习)要得到函数的图像,只需将函数的图像(
)A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位【答案】A【分析】由函数图像平移的规则求解.【详解】,所以要得到函数的图像,只需将函数的图像向右平移个单位.故选:A2.(2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末)为了得到函数的图像,只需将函数的图象(
)A.左移个单位长度 B.左移个单位长度C.右移个单位长度 D.右移个单位长度【答案】D【分析】根据函数图象的平移变换即可求解.【详解】因为,所以为了得到函数的图像,只需将函数的图象右移个单位长度,故选:D.【提分秘籍】余弦到正弦的平移,和正弦到余弦一样思维。一些特殊数据。可以直接通过诱导公式互化。【变式演练】1.(2022秋·江苏徐州·高三学业考试)要得到函数的图像,只需将的图像上所有的点(
)A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】C【分析】将变形为,进而结合左右平移变换的特征即可得出结果.【详解】因为,所以只需将的图像上所有的点向左平移个单位长度即可,故选:C.2.(2023春·贵州毕节·高三校考阶段练习)要得到函数的图象只需将函数的图象(
)A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【分析】将利用诱导公式变形为,再根据三角函数图象的变换规律求解.【详解】因为,,且,所以把函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象.故选:A.3..(2023·全国·高三专题练习)若要得到函数的图象,只需将函数的图象(
)A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】D【分析】利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数,然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位,即可得解.【详解】因为,故将已知转化为要得到函数的图象,又,所以将的图象向右平移个单位长度即可得到的图象.故选:D【题型五】恒等变形平移【典例分析】1.(2018·湖北荆州·荆州中学校考一模)我每天带给你惊喜和希望,思念就像正弦余弦曲线无尽延展......为了得到函数的图象,只需将函数的图象A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】D【分析】先根据诱导公式化简,再由左加右减,上加下减的原则确定平移的方向和单位即可得到答案【详解】要得到函数的图象只需要将函数的图象向左平移个单位长度故选2.(2019秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习)已知函数,要得到的图象,只需将的图象(
)A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】B【分析】将和利用三角公式化为的形式,然后观察可得平移的的方向和长度.【详解】解:由已知,则,故将的图象向右平移个单位长度可得到的图象.故选B.【提分秘籍】涉及到较复杂形式的函数平移,需要通过和、差、倍、半公式,降幂公式,辅助角公式等等恒等变形方法,转化为同名正余弦函数,再进行平移计算【变式演练】1.(2018·全国·校考三模)为了得到函数的图象,只需将函数的图象A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】D【详解】分析:先利用二倍角公式化简两个函数解析式,再用诱导公式化为同名函数,再利用图象平移进行判定.详解:因为,且,所以为了得到函数的图象,只需将函数的图象向左平移个单位长度.2.(2019秋·湖南·高三校联考阶段练习)要得到函数的图像,只需将函数的图像(
)A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位【答案】A【分析】由三角恒等变换的公式,化简得,再结合三角函数的图象的变换,即可求解.【详解】由题意,函数,将向左平移个单位,可得,故选A.3.(2020秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习)要得到函数的图像,只需将函数的图像(
)A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】B【分析】把化为一个角的一个三角函数形式(余弦型),然后由三角函数的图象变换可得.【详解】,∴把的图象向左平移个单位可得的图象.故选:B.【题型六】识图平移【典例分析】1.(2022·全国·高三专题练习)函数的部分图象如图所示,要得到的图象,只需将的图象(
)A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】D【分析】由周期求得ω,再结合最高点求得φ,得到函数的解析式,进而做出判定.【详解】由图可知,,所以,即,所以.所以,又,所以,所以,,将其图象向左平移个单位长度即可得到的图象.故选:D2.(2022·四川成都·成都七中校考模拟预测)函数(,常数,,)的部分图象如图所示,为得到函数的图象,只需将函数的图象(
)A.向右平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向左平移个长度单位【答案】B【分析】利用最值和周期可得,,利用五点法可得,再通过诱导公式及函数的图象变换规律可得结论.【详解】解:根据函数(,常数,,)的部分图象,可得,,∴.再根据五点法作图,可得,故,函数.为得到函数的图象,只需将函数的图象向右平移个长度单位即可.故选:B.【提分秘籍】已知的部分图象求其解析式时,比较容易看图得出,困难的是求待定系数和,常用如下两种方法:(1)由即可求出;确定时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标,则令(或),即可求出.(2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出和,若对,的符号或对的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.【变式演练】1.(2019·安徽蚌埠·蚌埠二中校考二模)函数的部分图象如图所示,为了得到的图象,只需将的图象A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位【答案】C【解析】根据图象,由最高点纵坐标得出A的值;由图中的对称轴和对称中心的横坐标,求出周期,进而求出;再由五点作图法求出初相,从而求出函数的解析式.再利用诱导公式,图象变换规律,得出结论.【详解】根据函数的部分图象,可得,,,,再根据五点作图法可得:,则故,则将函数的图象向左平移个单位,可得的图象.故选:C.2.(2019秋·河南南阳·高三统考期中)函数(,)的图象如图所示,为了得到的图象,只需将函数的图象()A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度【答案】C【分析】根据图象可得,再由自变量加减左右移可得,函数向右平移个单位长度得到的图象.【详解】由图象可得,所以,又,所以,所以.因为,所以向右平移个单位长度可得.故选C.3.(2019春·内蒙古乌兰察布·高三校考期中)函数(其中,,)的图象如图所示,为了得到的图象,只需将的图象上所有点A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度【答案】A【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得得解析式,再利用函数的图象变换规律,得出结论.【详解】解:根据函数(其中,,)的图象,可得,,.再利用五点法作图可得,求得,为了得到的图象,只需将的图象上所有点向右平移个单位长度,即可,故选A.【题型七】平移前后函数的轴、对称中心等性质【典例分析】1.(2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习)已知将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图像,若的图像都关于对称,则的最小值为(
)A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【分析】根据函数图象的平移法则,可得的解析式,原条件等价于和的图像都关于轴对称,再结合正弦函数的对称性,得解.【详解】将函数的图像向右平移个单位长度,得到函数的图像,若和的图像都关于对称,则和的图像都关于轴对称,而,,所以且,,即,,又,所以的最小值为3.故选:B.2.(2023春·江西·高三校联考阶段练习)已知直线是函数图像相邻的两条对称轴,将的图像向右平移个单位长度后,得到函数的图像.若在上恰有三个不同的零点,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】根据题意先求出,再结合图像得出关于的不等式组,即可求得m的范围.【详解】解:由题意得,即,解得,则,向右平移个单位长度后,得到函数,又在上恰有三个不同的零点,所以转化为在上有三个不同的零点,其中,,则,要使在上有三个不同的零点,则或,解之得故选:A.
【提分秘籍】Asin(ωx+φ)形式函数的对称轴、对称中心性质(余弦可以借助五点图像类比得到):对称性:换元思想,将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”,采用整体代入求解.对称轴:最值处,令sin(ωx+φ)=1,则ωx+φ=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),可求得对称轴方程;对称中心:零点处,令sin(ωx+φ)=0,ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标;【变式演练】1.(2023·全国·模拟预测)已知函数的图像关于直线对称,将函数的图像向右平移个单位长度,得到函数的图像,则下列说法正确的是(
)A.B.的图像关于点对称C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减【答案】B【分析】由函数的图像关于直线对称,求得,再利用图象平移变换得到,然后逐项判断.【详解】解:因为函数的图像关于直线对称,所以,则,因为,所以,所以,将函数的图像向右平移个单位长度,得到,则,令,解得,则在上递增;令,解得,则在上递减,故选:B2.(2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模)将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像.若在上单调,则的值不可能为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由题知,进而得,故有或或,再解不等式求解即可.【详解】解:由题知,,因为,所以.因为,所以,又在上单调,所以或或,所以的取值范围是.所以,的值不可能为故选:B3.(2023春·辽宁·高三校联考期中)函数,将图像向右平移个单位长度得到函数的图像,若对任意,都有成立,则的值为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】先求出的解析式,再求出,由题意是的最大值,运用辅助角公式求出的最大值即可.【详解】依题意,,,其中,∴的最大值为,依题意有,即,;故选:A.【题型八】最小平移【典例分析】1.(2023·全国·高三专题练习)将函数的图像向右平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】把函数整理成正弦型函数,利用平移以后关于轴对称即可得到的式子,根据范围即可确定的具体值.【详解】,将图像向右平移个单位长度后,变为,此时图像关于轴对称,所以当时,,,则.又,则的最小值是.故选:D.2..(2023春·广东广州·高三广州市第七中学校考期中)已知向量,将函数的图像沿轴向左平移个单位后,得到的图像关于轴对称,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得,向左平移个单位,得到,从而有,,再结合,即可得解.【详解】解:,将函数的图像向左平移个单位,得到,因为该函数关于轴对称,所以,,解得,,又因为,所以的最小值为.故选:B.【提分秘籍】可以三角函数图像公式,再借助五点画图法,可直观观察对应的最小值。在求解最小平移时候,要结合五点图像,注意平移方向。【变式演练】1.(2022秋·新疆和田·高三统考期中)将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的函数为偶函数,则m的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】,再求出平移后的解析式,由其为偶函数,由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得的m值,从而得到最小值.【详解】,图像向左平移个单位后得到,由函数为偶函数,有,∴,得,∴,∴,,即.,由,所以当时,m的最小值为.故选:A2.(2021春·陕西咸阳·高三统考期中)将函数的图像向左平移个单位长度后,得到函数的图像,若,则实数t的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根据三角函数的图像变换关系以及三角函数的性质求解即可.【详解】函数的图像向左平移个单位长度后,所得,因为,所以为的一条对称轴,所以,解得,因为,所以当时,实数t有最小值为,故选:B.3.(2023·全国·高三专题练习)将函数的图像向左平移个单位长度,得到函数的图像,若函数在上单调递增,则的最小值为(
)A.2 B. C.3 D.4【答案】A【分析】根据正弦型函数的图像变换性质,结合余弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数的图像向左平移个单位长度,得到函数的图像,所以,当时,,因为函数在上单调递增,所以有,因此的最小值为.故选:A.【题型九】平移计算w【典例分析】1..(2023·全国·高三专题练习)将函数(其中)的图像向右平移个单位长度,所得图像关于直线对称,则的最小值是(
)A. B.2 C. D.【答案】D【分析】由条件根据函数的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性可得,,即可求出,由此求得的最小值.【详解】解:将函数的图象向右平移个单位长度,得,的图象关于直线对称,,,,,,的最小值为,故选:D.2.(2023·全国·高三专题练习)将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】先由平移求出曲线的解析式,再结合对称性得,即可求出的最小值.【详解】由题意知:曲线为,又关于轴对称,则,解得,又,故当时,的最小值为.故选:C.【提分秘籍】大多数时候,是代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,或者利用单调区间,再结合图形解出值或者范围。【变式演练】1.(2022秋·高三单元测试)将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,若在上为增函数,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】先由图像平移求得的解析式,再利用换元法结合题设条件,得到关于的不等式组,解之即可.【详解】因为向右平移个单位,得到函数,所以,令,则在上单调递增,因为在上为增函数,故由,,得,即,所以在上为增函数,故,即,解得,故,因为,所以,所以由得,故,所以,即故选:B.2.(2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习)将函数()的图像向左平移个单位,得到函数的图像,若函数)的一个极值点是,且在上单调递增,则ω的值为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】先由函数的图像平移变换得到函数,再根据正弦函数的图像性质得到是函数一条对称轴,从而得出(),结合正弦函数的周期与单调性的关系得到,即可得到答案.【详解】由题意得:,又函数)的一个极值点是,即是函数一条对称轴,所以,则(),函数在上单调递增,则函数的周期,解得,则,,故选:A.3.(2021秋·高三课时练习)将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图像,若在上为增函数,则ω的最大值为(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】根据已知化简可得,然后平移可得.由已知可得,结合正弦函数的单调性可知,求解即可得出答案.【详解】函数,将的图象向左平移个单位,得的图象,所以.因为,,所以.又在上为增函数,根据的单调性可知,解得,所以的最大值为2.故选:B.【题型十】五点作图与识图【典例分析】1.函数的部分图象如图所示,下列说法不正确的是(
)A.函数的解析式为B.函数的单调递增区间为C.为了得到函数的图象,只需将函数的图象向右平移个单位长度,再向上平移一个单位长度D.函数的图象关于点对称宁夏银川一中2023届高三上学期第三次月考数学(理)试题【答案】D【分析】由题意求出的解析式可判断A;利用正弦函数的单调性和对称性可判断BD;由三角函数的平移变换可判断C.【详解】对于A选项,不妨设,则,,由,则,两式相减得,所以①,设函数的最小正周期为,因为,所以,结合①,,因为,所以,可得,因为,所以,,所以,故A正确;对于B,由,解得:,故B正确;对于C,将函数向右平移个单位得到,向上平移一个单位长度可得,故C正确;对于D,令,解得:,函数的图象关于点对称,所以D不正确;故选:D.2.已知函数的图象如图所示,则的表达式可以为(
)A. B.C. D.江西省丰城中学2023届高三(重点班)上学期第三次段考数学(文)试题【答案】A【分析】根据振幅可确定根据周期可确定,进而根据最高点确定,代入中化简即可求解.【详解】由图可知:,经过最高点,故,故,所以.故选:A.【提分秘籍】函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中参数A.φ、ω的作用参数作用AA决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值,通常称A为振幅.φφ决定了x=0时的函数值,通常称φ为初相,ωx+φ为相位.ωω决定了函数的周期T=.【变式演练】1.函数的部分图象如图所示,则的值分别是(
)A. B.C. D.四川省南充市南部县南部中学20222023学年高三上学期第一次月考(文科)月考数学试题【答案】A【分析】根据周期即可求解,代入最高点即可求解.【详解】由图象知函数周期,,把代入解析式,得,即.又故选:A2.已知函数的大致图像如图所示,将函数的图像向右平移后得到函数的图像,则(
)A. B. C. D.宁夏银川市第六中学2023届高三上学期期中考试数学(理)试题【答案】A【分析】根据图象先求得A和,得到,再将代入求得,再利用平移变换得到即可.【详解】解:依题意,,,故,故,故,将代入可知,,解得,故,故,则.故选:A.3.已知函数的最小正周期为,若,把的图象向左平移个单位长度,得到奇函数的图象,则(
)A. B.2 C. D.河南省郑州外国语学校20222023学年高三上期第二次调研考试文科数学试卷【答案】A【分析】根据平移得的表达式,由为奇函数以及可得,进而由可得,由代入即可求值.【详解】∴,∵为奇函数,∴,即,∴.又,∴,∵,∴,∴,∴,∴.故选:A.【题型十一】超越函数识图【典例分析】1.(2023·四川成都·校联考二模)函数的大致图象为(
)A.
B.
C.
D.
【答案】D【分析】对函数化简后,利用排除法,先判断函数的奇偶性,再取特殊值判断即可【详解】因为,,所以为偶函数,所以函数图象关于轴对称,所以排除A,C选项;又,所以排除B选项,故选:D.2.(2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测)函数的图象可能是(
).A.B.C. D.【答案】A【分析】利用排除法,结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.【详解】因为定义域为,且,所以为奇函数,函数图象关于原点对称,故B,D都不正确;对于C,时,,,所以,所以,故C不正确;对于选项A,符合函数图象关于原点对称,也符合时,,故A正确.故选:A.【提分秘籍】超越型函数“识图”与“解图”,从以下几方面入手:函数中定义域是否有限制。函数值大致的正负分界(一些容易观察出现的零点可以作为分界点)代入一些容易运算的特殊值进行判断。函数是否有具有“奇偶”(函数乘除(加减需要同奇偶)构成,容易观察处奇偶)函数是否具有“渐近线”可以利用极限思想,在0与∞处进行正负判断比值判断法:借助与相对的“暴增”函数做比值判断【变式演练】1.(2023·贵州毕节·校考模拟预测)函数的大致图象是(
)A.B.C.D.【答案】A【分析】求函数的定义域,证明函数为偶函数,排除CD,再证明当时,,排除B,由此可得结论.【详解】由题意可知,函数的定义域为,定义域关于原点对称,又,所以为偶函数,排除选项C,D;当时,,所以,则,所以,排除B.故选:A.2.(2023·贵州遵义·统考三模)函数在上的大致图象是(
)A.
B.
C.
D.
【答案】D【分析】先确定函数的奇偶性,排除C,代入特殊点的函数值,排除AB,得到D正确.【详解】定义域为R,又,故为奇函数,排除C选项,又,排除B选项,,因为在上单调递增,在上单调递减,且关于对称,又,所以,故,即,排除A选项,故D正确.故选:D3.(2023·四川·校联考模拟预测)函数在上的图象大致为(
)A.
B.
C.
D.
【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性,即可排除C、D,再由特殊值排除B,即可判断.【详解】因为,,则,所以为偶函数,函数图象关于轴对称,故排除C、D;又,由于,所以,故排除B;故选:A【题型十二】五点画图应用:三角函数零点【典例分析】1.(2023春·江西上饶·高三上饶市第一中学校考阶段练习)已知函数在区间上恰有3个零点,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】利用正弦函数的图像性质列出关于的不等式,进而求得的取值范围.【详解】函数的简图如下:函数在区间上恰有3个零点,则,解之得.故选:C2.(2023秋·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考开学考试)已知函数(),若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用整体换元法,结合余弦函数的性质即可求解.【详解】函数.当时,令,则,若在有且仅有3个零点和3条对称轴,则在有且仅有3个零点和3条对称轴,则,解得.故选:A.【提分秘籍】一些形如的正余弦三角函数零点,可以借助五点画图法,画出区间内的函数图像,由函数周期性,以及对称轴,对称中心等的周期性,进行求解计算【变式演练】1.(2023·江西鹰潭·统考一模)设函数在区间恰有3个极值点,2个零点,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】由题意,利用余弦函数的图象和性质,求得的取值范围.【详解】函数在区间恰有3极值点,2个零点,在恰有3个零点,又函数在区间恰有2零点,由于,则,故问题转化为在上有3个零点,在上有2个零点,结合正余弦函数图象可得:,故.故选:C.
.
.2.(2023秋·山西大同·高三统考开学考试)已知函数的最小正周期为,若,且在区间上恰有个零点,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据余弦函数的周期公式和求出,再根据余弦函数的图象可得结果.【详解】由题意的最小正周期为T,则,又,可得,即,又,所以,在区间上恰有3个零点,当时,,结合函数的图象如图所示:则在原点右侧的零点依次为,,,,…,所以,解得,即的取值范围为.故选:D.3.(2023春·湖南长沙·高三校联考期中)已知函数在上有且仅有2个零点,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】求出,将问题转化为在有两个零点,列出不等式求得的取值范围.【详解】当时,,因为在上有且仅有2个零点,所以在有两个零点,则有,解得.故选:D【题型十三】五点画图应用:与幂指对等交点【典例分析】1.(2023·江西·校联考模拟预测)函数在区间上的零点设为…,,则(
)A.6 B.18 C.12 D.16【答案】B【分析】化简可得,令可得,易得与均关于点对称,再根据对称性结合函数图象即可得解.【详解】由得,即,∵与均关于点对称,由图可知,两函数有个交点,不妨设为,根据对称性得,故函数在上所有零点之和为.故选B.2.(2023春·四川成都·高三成都七中校考期末)函数零点个数为()A. B. C. D.【答案】B【分析】作出函数、的图象,观察两个函数图象的公共点个数,可得出结论.【详解】令可得,作出函数、的图象如下图所示:当时,,又因为,所以,函数、在上的图象没有交点,观察图象可知,函数、的图象有三个交点,因此,函数的零点个数为.故答案为:B.【提分秘籍】含有三角函数和幂指对等的函数零点,借助“分离函数”思想,分离出三角函数图像与幂指对等函数图像,研究两个函数的交点情况。【变式演练】1.(2023春·山东淄博·高三校考阶段练习)函数的零点个数有(
)A.4个 B.5个 C.6个 D.7个【答案】C【分析】令,,则问题转化为两函数的交点个数,数形结合即可判断.【详解】函数的零点,即方程的解,令,,也就是函数与的交点的横坐标,在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示,由图可知与有6个交点,即有6个零点.故选:C2.(2022秋·四川凉山·高三统考期末)函数,且)最多有6个零点,则实数a的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】根据函数零点的定义结合函数与的图像性质,列式得出答案.【详解】,则,的最小正周期,根据函数与的图像性质可得,若函数,且)最多有6个零点,当,则,解得,当,则,解得,故实数a的取值范围是,故选:D.3..(2023秋·福建龙岩·高三统考期末)函数在区间上的所有零点之和为(
)A.6 B.8 C.12 D.16【答案】B【分析】根据题意整理可得,将函数的零点问题转化为与的交点问题,利用图象结合对称性分析运算.【详解】由题意可得:,令,且,可得,∵与均关于点对称,由图可设与的交点横坐标依次为,根据对称性可得,故函数在上所有零点之和为.故选:B.高考真题对点练1.(2023·全国·统考高考真题)函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到,则的图象与直线的交点个数为(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】先利用三角函数平移的性质求得,再作出与的部分大致图像,考虑特殊点处与的大小关系,从而精确图像,由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为,所以,而显然过与两点,作出与的部分大致图像如下,考虑,即处与的大小关系,当时,,;当时,,;当时,,;所以由图可知,与的交点个数为.故选:C.2.(2023·全国·统考高考真题)已知函数在区间单调递增,直线和为函数的图像的两条相邻对称轴,则(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期,再根据其最小值求出初相,代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增,所以,且,则,,当时,取得最小值,则,,则,,不妨取,则,则,故选:D.3.(2023·天津·统考高考真题)已知函数的一条对称轴为直线,一个周期为4,则的解析式可能为(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值,排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性:A选项中,B选项中,C选项中,D选项中,排除选项CD,对于A选项,当时,函数值,故是函数的一个对称中心,排除选项A,对于B选项,当时,函数值,故是函数的一条对称轴,故选:B.4.(2023·天津·统考高考真题)函数的图象如下图所示,则的解析式可能为(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】由图知函数为偶函数,应用排除,先判断B中函数的奇偶性,再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项,即得答案.【详解】由图知:函数图象关于y轴对称,其为偶函数,且,由且定义域为R,即B中函数为奇函数,排除;当时、,即A、C中上函数值为正,排除;故选:D5.(全国·高考真题)为得到函数的图像,只需将函数的图像(
)A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位【答案】A【分析】设出向左平移个长度,利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数,列出方程,求出答案.【详解】,将函数向左平移个长度单位,得到,故,解得即向左平移个长度单位.故选:A6.(全国·高考真题)如图是函数的图象,那么(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】由、在函数的图象结合五点作图法可得答案.【详解】因为在函数的图象上,所以,,所以,此时,,又点在函数的图象上,所以,由五点作图得该点是“五点”中的第五个点,所以,.故选:C.7.(2022·全国·统考高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像,则该函数是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设,则,故排除B;设,当时,,所以,故排除C;设,则,故排除D故选:A.8.(2022·全国·统考高考真题)将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】先由平移求出曲线的解析式,再结合对称性得,即可求出的最小值.【详解】由题意知:曲线为,又关于轴对称,则,解得,又,故当时,的最小值为.故选:C.二、填空题9.(2023·全国·统考高考真题)已知函数,如图A,B是直线与曲线的两个交点,若,则.【答案】【分析】设,依题可得,,结合的解可得,,从而得到的值,再根据以及,即可得,进而求得.【详解】设,由可得,由可知,或,,由图可知,,即,.因为,所以,即,.所以,所以或,又因为,所以,.故答案为:.【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式,从而解出,熟练掌握三角函数的有关性质,以及特殊角的三角函数值是解题关键.10.(2022·全国·统考高考真题)记函数的最小正周期为T,若,为的零点,则的最小值为.【答案】【分析】首先表示出,根据求出,再根据为函数的零点,即可求出的取值,从而得解;【详解】解:因为,(,)所以最小正周期,因为,又,所以,即,又为的零点,所以,解得,因为,所以当时;故答案为:最新模考真题一、单选题1.(2023·四川成都·校联考二模)将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图象.若在上有且仅有3个极值点,则的取值范围为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】先根据题意得出函数,当时,,要使在上有且仅有3个极值点,需满足,解不等式即可.【详解】由题可知,,当时,.因为在上有且仅有3个极值点,所以,解得,所以的取值范围为:.故选:C.2.(2023·四川成都·模拟预测)已知函数,,若在区间内没有零点,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】先利用辅助角公式得到,得到,进而得到不等式组,求出的取值范围.【详解】,,时,,要想在区间内无零点,则要满足,解得,要想不等式组有解,则要,解得,故或0,当时,,解得,当时,,解得,则的取值范围是.故选:D3.(2023·河南开封·统考模拟预测)将函数的图象向右平移个单位长度后,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的,得到函数的图象,若在区间内有5个零点,则的取值范围是(
)A.B.C. D.【答案】D【分析】根据三角函数图象的平移变换可得,再根据余弦函数的图象可得,求解即可.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的,得到函数的图象.时,,在轴右方的零点为因为函数的图象在区间内有5个零点,所以,解得.故选:D.4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测).函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(
)A.的最小正周期为B.C.在上单调递增D.将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象【答案】D【分析】根据给定的函数图象,求出周期及,进而求出解析式,再逐项判断作答.【详解】对于A,由图象得函数的周期,A错误;对于B,由图象得,,即有,又图象过点,则,即,又,于是,因此,B错误;对于C,因为,所以,,而,即有,即,则,在上不单调,C错误;对于D,因为,将函数的图象向左平移个单位,得的图象,D正确.故选:D5.(2023·四川·校联考一模)将函数的图象先向左平移个单位长度,再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍,得到函数的图象,若函数在区间内没有零点,则的取值范围是(
)A.B.C. D.【答案】C【分析】根据图象变换求出的解析式,利用周期缩小的范围,再从反面求解可得结果.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度,得到,再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍,得到函数的图象,即,因为函数在上没有零点,则,即,即,则,由,得,得,若函数在上有零点,则,,即,又,则.当时,解得.当时,解得.当时,解得,与矛盾.综上,若函数在上有零点,则或,则若没有零点,则或.故选:C.【点睛】关键点点睛:利用三角函数平移法则求出函数的解析式,利用间接法求解的范围是解决本题的关键.6.(2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根据图象变换可得,根据题意结合诱导公式可得,运算求解即可得结果.【详解】将的图象向左平移个单位长度后,得到,则,解得,所以当时,的最小值为.故选:C.7.(2023·江西赣州·统考模拟预测)将函数图象上的所有点向左平移个单位长度(纵坐标不变)后得到函数的图象,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】化简的解析式,然后根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.【详解】,,所以的最小值为.故选:D8.(2023·海南海口·海南华侨中学校考二模)已知,若对任意实数都有,其中,则的所有可能的取值有(
)A.2个 B.4个 C.6个 D.8个【答案】C【分析】利用正余弦的二倍角公式、两角和的正弦展开式化简得成立,所以,再分情况讨论的值可得答案.【详解】由已知得,∵对于任意实数都有成立,即对于任意实数都有成立,∴与的最值和最小正周期相同,∴,即.①当时,,又或;②当时,,又或;③当时,,
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