专题33三角函数图像平移及图像性质（讲练）

专题三角函数图像：平移及图像性质一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】正弦到正弦的平移【题型二】余弦到余弦的平移【题型三】正弦到余弦的平移【题型四】余弦到正弦的平移【题型五】恒等变形平移【题型六】识图平移【题型奇】平移前后函数的轴、中心对称性质【题型把】最小平移【题型九】平移计算w【题型十】五点作图与识图：【题型十一】超越函数识图【题型十二】五点作图应用：三角函数零点【题型十三】五点作图应用：与幂指对等交点三、高考真题对点练四、最新模考题组练知识梳理与二级结论一、三角函数图像函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R单调性[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上递增；[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上递减[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上递增最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)对称轴方程x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ二、确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)观察确定A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)通过周期公式求ω：即ω＝eq\f(2π,T). (3)特殊点代入求φ：通常代入“最值点”或“零点”；三、A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用参数作用AA决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.φφ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.ωω决定了函数的周期T＝.（2）图象的变换（1）振幅变换要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．（2）平移变换要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．（3）周期变换要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的_倍（纵坐标不变）即可得到．四、形如函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及性质1.图像变换：①相位变换：y＝sinx→y＝sin(x＋φ)的规则是：左加(φ＞0)或右减(φ＜0)|φ|个单位；②周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的|eq\f(1,ω)|倍；③振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A|倍；注意：y＝sinωx→y＝sin(ωx＋φ)变换规则是：先提取后者x的系数ω，然后在左(右)平移|eq\f(φ,ω)|个单位；基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合” ②值域：由内向外 ③单调性：同增异减周期公式：①y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝eq\f(2π,|ω|) ②y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期T＝eq\f(π,|ω|).对称性：换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．①对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ)＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；②对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；正弦“第一零点”：；正弦“第二零点”：余弦“第一零点”：；余弦“第二零点”：4、奇偶性：利用“反向诱导法”理解掌握①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．热点考题归纳【题型一】正弦到正弦的平移【典例分析】1.（2021春·山西大同·高三校考阶段练习）已知函数，为了得到的图像，只需将的图像上所有点（

）A．向左平移个单位长度，纵坐标缩短到原来的，横坐标不变B．向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变C．向右平移个单位长度，纵坐标缩短到原来的，横坐标不变D．向右平移个单位长度，纵坐伸长到原来的3倍，横坐标不变【答案】D【解析】直接观察解析式，可发现需对纵坐标伸长3倍，从而排除A，C；再从选项的向右平移个单位长度，代入验证，即可得到答案.【详解】由向右平移个单位长度得：，纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变得：.故选：D2.（2023秋·江苏扬州·高三期末）要得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【解析】由三角函数图像平移变化规律求解即可【详解】解：因为，所以要得到函数的图像，只需将函数的图像向左平移个单位长度即可，故选：C【提分秘籍】正弦到正弦的要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．如果系数不为1，【变式演练】1.（2020秋·广东东莞·高三东莞市光明中学校考阶段练习）要得到函数的图像,只需将函数的图像A．横坐标缩小到原来的,纵坐标不变B．横坐标扩大到原来的2倍,纵坐标不变C．纵坐标缩小到原来的,横坐标不变D．纵坐标扩大到原来的2倍,横坐标不变【答案】A【解析】根据函数解析式的变化直接求解即可.【详解】函数的图像，横坐标缩小到原来的,纵坐标不变，就得到函数的图像.故选：A2.（2023春·吉林长春·高三校考期中）为了得到函数的图像，只需将函数的图像A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】C【分析】由，再根据平移规则，得到答案．【详解】由，所以为了得到函数的图像，函数需要向右平移个单位，即，故选：C．3.（2021春·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点（

）A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，向左平移个单位长度C．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度D．横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度【答案】B【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：只需将函数的图象上所有的点，横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象；再向左平移个单位长度，可得函数的图象，故选：．【题型二】余弦到余弦的平移【典例分析】1.（2022秋·贵州·高三统考开学考试）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】C【分析】变形函数，再利用函数平移变换求解作答.【详解】因为，又函数的周期为，所以将函数的图象向左或向右平移个单位长度，即得的图象，显然当时，C满足，不存在整数k，使得选项A，B，D成立.故选：C.2.（2022·全国·高三专题练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【分析】根据平移变换的定义判断．【详解】，因此将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象.故选：C.【提分秘籍】余弦到余弦：要得到函数y＝cos（x＋φ）的图象，只要将函数y＝cosx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．如果系数不为1，【变式演练】1.（2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）.A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【分析】根据图象的平移变换左加右减法则得出结果即可.【详解】解：因为，而，所以将向右平移个单位即可得图象.故选：D2.（2019春·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）要得到函数的图像，只需将函数的图像A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A【详解】试题分析：首先要注意到：要得到的函数是的图像，否则易做反了.函数，向左平移个单位得到，故选A.考点：三角函数的图像变换.3.（2017春·陕西西安·高三长安一中校考期中）为了得到的图像，只需将的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【分析】根据三角函数平移变换求解即可.【详解】解：因为所以，为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度．故选：C．【题型三】正弦到余弦的平移【典例分析】1.（2023秋·高三课时练习）已知函数，为了得到函数的图象只需将的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A【分析】利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解.【详解】解：因为所以，只需将f(x)的图象向左平移个单位，故选：A.2.（2023·全国·高三专题练习）要得到的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【解析】化简函数，，即可判断.【详解】，，需将函数的图象向右平移个单位.故选：B.【提分秘籍】遇到正弦到余弦的平移。目标是函数化一致，理论上正弦化为余弦或者余弦化为正弦都可以，实际操作时，建议把正弦化为余弦较简单，原因主要是余弦是偶函数，可以利用xos（x）=cosx，达到转化系数为正的目的。【变式演练】1.（2021·江西·校联考模拟预测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（

）A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的，再向右移动个单位长度C．向左移动个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的D．向左移动个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍【答案】D【分析】将进行化简转化，根据选项直接判断即可.【详解】，将的图象，向左移动个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象.故选：D.2.（2020春·河北张家口·高三张家口市第一中学校考期中）已知函数，为了得到的图象，只需将的图象（

）A．向左平移个长度单位；B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位；D．向右平移个长度单位【答案】D【分析】首先利用诱导公式可得，，接下来结合选项，根据三角形函数的平移法则即可得到答案【详解】因为函数，所以将函数的图象向右平移个单位长度,即可得到函数的图象故选：D.3.（2021·全国·高三专题练习）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（

）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】D【分析】把变成正弦型函数，再根据左加右减规律即可【详解】解：，所以左移故选：D【题型四】余弦到正弦的平移【典例分析】1.（2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）要得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位【答案】A【分析】由函数图像平移的规则求解.【详解】,所以要得到函数的图像，只需将函数的图像向右平移个单位.故选：A2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）为了得到函数的图像，只需将函数的图象（

）A．左移个单位长度 B．左移个单位长度C．右移个单位长度 D．右移个单位长度【答案】D【分析】根据函数图象的平移变换即可求解.【详解】因为，所以为了得到函数的图像，只需将函数的图象右移个单位长度，故选:D.【提分秘籍】余弦到正弦的平移，和正弦到余弦一样思维。一些特殊数据。可以直接通过诱导公式互化。【变式演练】1.（2022秋·江苏徐州·高三学业考试）要得到函数的图像，只需将的图像上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】C【分析】将变形为，进而结合左右平移变换的特征即可得出结果.【详解】因为，所以只需将的图像上所有的点向左平移个单位长度即可，故选：C.2.（2023春·贵州毕节·高三校考阶段练习）要得到函数的图象只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】A【分析】将利用诱导公式变形为，再根据三角函数图象的变换规律求解.【详解】因为，，且，所以把函数的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象.故选：A.3..（2023·全国·高三专题练习）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位，即可得解．【详解】因为，故将已知转化为要得到函数的图象，又，所以将的图象向右平移个单位长度即可得到的图象.故选：D【题型五】恒等变形平移【典例分析】1.（2018·湖北荆州·荆州中学校考一模）我每天带给你惊喜和希望，思念就像正弦余弦曲线无尽延展......为了得到函数的图象，只需将函数的图象A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】D【分析】先根据诱导公式化简，再由左加右减，上加下减的原则确定平移的方向和单位即可得到答案【详解】要得到函数的图象只需要将函数的图象向左平移个单位长度故选2.（2019秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知函数，要得到的图象，只需将的图象（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【分析】将和利用三角公式化为的形式，然后观察可得平移的的方向和长度.【详解】解：由已知，则，故将的图象向右平移个单位长度可得到的图象.故选B.【提分秘籍】涉及到较复杂形式的函数平移，需要通过和、差、倍、半公式，降幂公式，辅助角公式等等恒等变形方法，转化为同名正余弦函数，再进行平移计算【变式演练】1.（2018·全国·校考三模）为了得到函数的图象，只需将函数的图象A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】D【详解】分析：先利用二倍角公式化简两个函数解析式，再用诱导公式化为同名函数，再利用图象平移进行判定．详解：因为，且，所以为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度．2.（2019秋·湖南·高三校联考阶段练习）要得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A【分析】由三角恒等变换的公式，化简得，再结合三角函数的图象的变换，即可求解.【详解】由题意，函数，将向左平移个单位，可得，故选A.3.（2020秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）要得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【分析】把化为一个角的一个三角函数形式（余弦型），然后由三角函数的图象变换可得．【详解】，∴把的图象向左平移个单位可得的图象．故选：B．【题型六】识图平移【典例分析】1.（2022·全国·高三专题练习）函数的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】D【分析】由周期求得ω，再结合最高点求得φ，得到函数的解析式，进而做出判定.【详解】由图可知，，所以，即，所以．所以，又，所以，所以，,将其图象向左平移个单位长度即可得到的图象．故选：D2.（2022·四川成都·成都七中校考模拟预测）函数(，常数，，)的部分图象如图所示，为得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位【答案】B【分析】利用最值和周期可得，，利用五点法可得，再通过诱导公式及函数的图象变换规律可得结论.【详解】解：根据函数(，常数，，)的部分图象，可得，，∴.再根据五点法作图，可得，故，函数.为得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个长度单位即可.故选：B.【提分秘籍】已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.【变式演练】1.（2019·安徽蚌埠·蚌埠二中校考二模）函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位【答案】C【解析】根据图象，由最高点纵坐标得出A的值；由图中的对称轴和对称中心的横坐标，求出周期，进而求出；再由五点作图法求出初相，从而求出函数的解析式.再利用诱导公式，图象变换规律，得出结论.【详解】根据函数的部分图象，可得，，，，再根据五点作图法可得：，则故，则将函数的图象向左平移个单位，可得的图象.故选：C.2.（2019秋·河南南阳·高三统考期中）函数（，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】C【分析】根据图象可得，再由自变量加减左右移可得，函数向右平移个单位长度得到的图象.【详解】由图象可得，所以，又，所以，所以.因为，所以向右平移个单位长度可得.故选C.3.（2019春·内蒙古乌兰察布·高三校考期中）函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象上所有点A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】A【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得得解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数（其中，，）的图象，可得，，．再利用五点法作图可得，求得，为了得到的图象，只需将的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选A．【题型七】平移前后函数的轴、对称中心等性质【典例分析】1.（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图像，若的图像都关于对称，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】根据函数图象的平移法则，可得的解析式，原条件等价于和的图像都关于轴对称，再结合正弦函数的对称性，得解．【详解】将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若和的图像都关于对称，则和的图像都关于轴对称，而，，所以且，，即，，又，所以的最小值为3．故选：B．2.（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知直线是函数图像相邻的两条对称轴，将的图像向右平移个单位长度后，得到函数的图像.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意先求出，再结合图像得出关于的不等式组，即可求得m的范围.【详解】解：由题意得,即，解得，则，向右平移个单位长度后，得到函数，又在上恰有三个不同的零点，所以转化为在上有三个不同的零点，其中，，则，要使在上有三个不同的零点，则或，解之得故选：A.

【提分秘籍】Asin(ωx＋φ)形式函数的对称轴、对称中心性质（余弦可以借助五点图像类比得到）：对称性：换元思想，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”，采用整体代入求解．对称轴：最值处，令sin(ωx＋φ)＝1，则ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可求得对称轴方程；对称中心：零点处，令sin(ωx＋φ)＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；【变式演练】1.（2023·全国·模拟预测）已知函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（

）A．B．的图像关于点对称C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减【答案】B【分析】由函数的图像关于直线对称，求得，再利用图象平移变换得到，然后逐项判断.【详解】解：因为函数的图像关于直线对称，所以，则，因为，所以，所以，将函数的图像向右平移个单位长度，得到，则，令，解得，则在上递增；令，解得，则在上递减，故选：B2.（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像．若在上单调，则的值不可能为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题知，进而得，故有或或，再解不等式求解即可.【详解】解：由题知，，因为，所以．因为，所以，又在上单调，所以或或，所以的取值范围是．所以，的值不可能为故选：B3.（2023春·辽宁·高三校联考期中）函数，将图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若对任意，都有成立，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的解析式，再求出，由题意是的最大值，运用辅助角公式求出的最大值即可.【详解】依题意，，，其中，∴的最大值为，依题意有，即，；故选：A.【题型八】最小平移【典例分析】1.（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向右平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把函数整理成正弦型函数，利用平移以后关于轴对称即可得到的式子，根据范围即可确定的具体值.【详解】，将图像向右平移个单位长度后，变为，此时图像关于轴对称，所以当时，，，则.又，则的最小值是.故选：D.2.．（2023春·广东广州·高三广州市第七中学校考期中）已知向量，将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得，向左平移个单位，得到，从而有，，再结合，即可得解．【详解】解：，将函数的图像向左平移个单位，得到，因为该函数关于轴对称，所以，，解得，，又因为，所以的最小值为．故选：B．【提分秘籍】可以三角函数图像公式，再借助五点画图法，可直观观察对应的最小值。在求解最小平移时候，要结合五点图像，注意平移方向。【变式演练】1.（2022秋·新疆和田·高三统考期中）将函数的图像向左平移个长度单位后，所得到的函数为偶函数，则m的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，再求出平移后的解析式，由其为偶函数，由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得的m值，从而得到最小值．【详解】，图像向左平移个单位后得到，由函数为偶函数，有，∴，得，∴，∴，，即．，由，所以当时，m的最小值为．故选：A2.（2021春·陕西咸阳·高三统考期中）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，若，则实数t的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的图像变换关系以及三角函数的性质求解即可.【详解】函数的图像向左平移个单位长度后，所得，因为，所以为的一条对称轴，所以，解得，因为，所以当时，实数t有最小值为，故选:B.3.（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】根据正弦型函数的图像变换性质，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，所以，当时，，因为函数在上单调递增，所以有，因此的最小值为.故选：A.【题型九】平移计算w【典例分析】1.．（2023·全国·高三专题练习）将函数（其中）的图像向右平移个单位长度，所得图像关于直线对称，则的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，，即可求出，由此求得的最小值．【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得，的图象关于直线对称，，，，，，的最小值为，故选：D．2.（2023·全国·高三专题练习）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.【提分秘籍】大多数时候，是代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。【变式演练】1.（2022秋·高三单元测试）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由图像平移求得的解析式，再利用换元法结合题设条件，得到关于的不等式组，解之即可.【详解】因为向右平移个单位，得到函数，所以，令，则在上单调递增，因为在上为增函数，故由，，得，即，所以在上为增函数，故，即，解得，故，因为，所以，所以由得，故，所以，即故选：B.2．（2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由函数的图像平移变换得到函数，再根据正弦函数的图像性质得到是函数一条对称轴，从而得出（），结合正弦函数的周期与单调性的关系得到，即可得到答案.【详解】由题意得：，又函数）的一个极值点是，即是函数一条对称轴，所以，则（），函数在上单调递增，则函数的周期，解得，则，，故选：A.3.（2021秋·高三课时练习）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则ω的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据已知化简可得，然后平移可得.由已知可得，结合正弦函数的单调性可知，求解即可得出答案.【详解】函数，将的图象向左平移个单位，得的图象，所以.因为，，所以.又在上为增函数，根据的单调性可知，解得，所以的最大值为2．故选：B．【题型十】五点作图与识图【典例分析】1.函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（

）A．函数的解析式为B．函数的单调递增区间为C．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度D．函数的图象关于点对称宁夏银川一中2023届高三上学期第三次月考数学（理）试题【答案】D【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BD；由三角函数的平移变换可判断C.【详解】对于A选项，不妨设，则，，由，则，两式相减得，所以①，设函数的最小正周期为，因为，所以，结合①，，因为，所以，可得，因为，所以，，所以，故A正确；对于B，由，解得：，故B正确；对于C，将函数向右平移个单位得到，向上平移一个单位长度可得，故C正确；对于D，令，解得：，函数的图象关于点对称，所以D不正确；故选：D.2.已知函数的图象如图所示，则的表达式可以为（

）A． B．C． D．江西省丰城中学2023届高三（重点班）上学期第三次段考数学（文）试题【答案】A【分析】根据振幅可确定根据周期可确定，进而根据最高点确定，代入中化简即可求解.【详解】由图可知：,经过最高点，故,故，所以．故选：A．【提分秘籍】函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用参数作用AA决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.φφ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.ωω决定了函数的周期T＝.【变式演练】1.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（

）A． B．C． D．四川省南充市南部县南部中学20222023学年高三上学期第一次月考（文科）月考数学试题【答案】A【分析】根据周期即可求解，代入最高点即可求解.【详解】由图象知函数周期，，把​代入解析式，得，即​.​又​故选：A2.已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（

）A． B． C． D．宁夏银川市第六中学2023届高三上学期期中考试数学（理）试题【答案】A【分析】根据图象先求得A和，得到，再将代入求得，再利用平移变换得到即可.【详解】解：依题意，，，故，故，故，将代入可知，，解得，故，故，则.故选：A.3.已知函数的最小正周期为，若，把的图象向左平移个单位长度，得到奇函数的图象，则（

）A． B．2 C． D．河南省郑州外国语学校20222023学年高三上期第二次调研考试文科数学试卷【答案】A【分析】根据平移得的表达式，由为奇函数以及可得，进而由可得，由代入即可求值.【详解】∴，∵为奇函数，∴，即，∴．又，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故选:A．【题型十一】超越函数识图【典例分析】1.（2023·四川成都·校联考二模）函数的大致图象为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为，，所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，所以排除A，C选项；又，所以排除B选项，故选：D．2.（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）函数的图象可能是（

）．A．B．C． D．【答案】A【分析】利用排除法，结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.【详解】因为定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；对于C，时，，，所以，所以，故C不正确；对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故A正确．故选：A.【提分秘籍】超越型函数“识图”与“解图”，从以下几方面入手：函数中定义域是否有限制。函数值大致的正负分界（一些容易观察出现的零点可以作为分界点）代入一些容易运算的特殊值进行判断。函数是否有具有“奇偶”（函数乘除（加减需要同奇偶）构成，容易观察处奇偶）函数是否具有“渐近线”可以利用极限思想，在0与∞处进行正负判断比值判断法：借助与相对的“暴增”函数做比值判断【变式演练】1.（2023·贵州毕节·校考模拟预测）函数的大致图象是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】求函数的定义域，证明函数为偶函数，排除CD，再证明当时，，排除B，由此可得结论.【详解】由题意可知，函数的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为偶函数，排除选项C，D；当时，，所以，则，所以，排除B．故选：A.2.（2023·贵州遵义·统考三模）函数在上的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先确定函数的奇偶性，排除C，代入特殊点的函数值，排除AB，得到D正确.【详解】定义域为R，又，故为奇函数，排除C选项，又，排除B选项，，因为在上单调递增，在上单调递减，且关于对称，又，所以，故，即，排除A选项，故D正确.故选：D3.（2023·四川·校联考模拟预测）函数在上的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除C、D，再由特殊值排除B，即可判断.【详解】因为，，则，所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；又，由于，所以，故排除B；故选：A【题型十二】五点画图应用：三角函数零点【典例分析】1.（2023春·江西上饶·高三上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用正弦函数的图像性质列出关于的不等式，进而求得的取值范围.【详解】函数的简图如下：函数在区间上恰有3个零点，则，解之得.故选：C2.（2023秋·四川眉山·高三眉山市彭山区第一中学校考开学考试）已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.【详解】函数．当时，令，则，若在有且仅有3个零点和3条对称轴，则在有且仅有3个零点和3条对称轴，则，解得.故选：A．【提分秘籍】一些形如的正余弦三角函数零点，可以借助五点画图法，画出区间内的函数图像，由函数周期性，以及对称轴，对称中心等的周期性，进行求解计算【变式演练】1.（2023·江西鹰潭·统考一模）设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，利用余弦函数的图象和性质，求得的取值范围.【详解】函数在区间恰有3极值点，2个零点，在恰有3个零点，又函数在区间恰有2零点，由于，则，故问题转化为在上有3个零点，在上有2个零点，结合正余弦函数图象可得：，故.故选：C.

.

.2.（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）已知函数的最小正周期为，若，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦函数的周期公式和求出，再根据余弦函数的图象可得结果.【详解】由题意的最小正周期为T，则，又，可得，即，又，所以，在区间上恰有3个零点，当时，，结合函数的图象如图所示：则在原点右侧的零点依次为，，，，…，所以，解得，即的取值范围为．故选：D．3.（2023春·湖南长沙·高三校联考期中）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出，将问题转化为在有两个零点，列出不等式求得的取值范围.【详解】当时，，因为在上有且仅有2个零点，所以在有两个零点，则有，解得.故选：D【题型十三】五点画图应用：与幂指对等交点【典例分析】1.（2023·江西·校联考模拟预测）函数在区间上的零点设为…，，则（

）A．6 B．18 C．12 D．16【答案】B【分析】化简可得，令可得，易得与均关于点对称，再根据对称性结合函数图象即可得解.【详解】由得，即，∵与均关于点对称，由图可知，两函数有个交点，不妨设为，根据对称性得，故函数在上所有零点之和为．故选B．2.（2023春·四川成都·高三成都七中校考期末）函数零点个数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函数、的图象，观察两个函数图象的公共点个数，可得出结论.【详解】令可得，作出函数、的图象如下图所示：当时，，又因为，所以，函数、在上的图象没有交点，观察图象可知，函数、的图象有三个交点，因此，函数的零点个数为.故答案为：B.【提分秘籍】含有三角函数和幂指对等的函数零点，借助“分离函数”思想，分离出三角函数图像与幂指对等函数图像，研究两个函数的交点情况。【变式演练】1.（2023春·山东淄博·高三校考阶段练习）函数的零点个数有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】令，，则问题转化为两函数的交点个数，数形结合即可判断.【详解】函数的零点，即方程的解，令，，也就是函数与的交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示，由图可知与有6个交点，即有6个零点.故选：C2.（2022秋·四川凉山·高三统考期末）函数，且）最多有6个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数零点的定义结合函数与的图像性质，列式得出答案.【详解】，则，的最小正周期，根据函数与的图像性质可得，若函数，且）最多有6个零点，当，则，解得，当，则，解得，故实数a的取值范围是，故选：D.3.．（2023秋·福建龙岩·高三统考期末）函数在区间上的所有零点之和为（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】根据题意整理可得，将函数的零点问题转化为与的交点问题，利用图象结合对称性分析运算.【详解】由题意可得：，令，且，可得，∵与均关于点对称，由图可设与的交点横坐标依次为，根据对称性可得，故函数在上所有零点之和为.故选：B.高考真题对点练1．（2023·全国·统考高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.【详解】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.3．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中，B选项中，C选项中，D选项中，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，故选：B.4．（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D5．（全国·高考真题）为得到函数的图像，只需将函数的图像（

）A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位【答案】A【分析】设出向左平移个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.【详解】，将函数向左平移个长度单位，得到，故，解得即向左平移个长度单位.故选：A6．（全国·高考真题）如图是函数的图象，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由、在函数的图象结合五点作图法可得答案.【详解】因为在函数的图象上，所以，，所以，此时，，又点在函数的图象上，所以，由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以，.故选：C.7．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D故选：A.8．（2022·全国·统考高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.二、填空题9．（2023·全国·统考高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则．【答案】【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．【详解】设，由可得，由可知，或，，由图可知，，即，．因为，所以，即，．所以，所以或，又因为，所以，．故答案为：．【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．10．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为．【答案】【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为，（，）所以最小正周期，因为，又，所以，即，又为的零点，所以，解得，因为，所以当时；故答案为：最新模考真题一、单选题1．（2023·四川成都·校联考二模）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若在上有且仅有3个极值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意得出函数，当时，，要使在上有且仅有3个极值点，需满足，解不等式即可.【详解】由题可知，，当时，．因为在上有且仅有3个极值点，所以，解得，所以的取值范围为：．故选：C.2．（2023·四川成都·模拟预测）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用辅助角公式得到，得到，进而得到不等式组，求出的取值范围.【详解】，，时，，要想在区间内无零点，则要满足，解得，要想不等式组有解，则要，解得，故或0，当时，，解得，当时，，解得，则的取值范围是.故选：D3．（2023·河南开封·统考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，再根据余弦函数的图象可得，求解即可.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象.时，，在轴右方的零点为因为函数的图象在区间内有5个零点，所以，解得.故选:D.4．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．在上单调递增D．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象【答案】D【分析】根据给定的函数图象，求出周期及，进而求出解析式，再逐项判断作答.【详解】对于A，由图象得函数的周期，A错误；对于B，由图象得，，即有，又图象过点，则，即，又，于是，因此，B错误；对于C，因为，所以，，而，即有，即，则，在上不单调，C错误；对于D，因为，将函数的图象向左平移个单位，得的图象，D正确.故选：D5．（2023·四川·校联考一模）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根据图象变换求出的解析式，利用周期缩小的范围，再从反面求解可得结果.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，即，因为函数在上没有零点，则，即，即，则，由，得，得，若函数在上有零点，则，，即，又，则.当时，解得.当时，解得.当时，解得，与矛盾.综上，若函数在上有零点，则或，则若没有零点，则或.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用三角函数平移法则求出函数的解析式，利用间接法求解的范围是解决本题的关键.6．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据图象变换可得，根据题意结合诱导公式可得，运算求解即可得结果.【详解】将的图象向左平移个单位长度后，得到，则，解得，所以当时，的最小值为.故选：C.7．（2023·江西赣州·统考模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度（纵坐标不变）后得到函数的图象，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简的解析式，然后根据三角函数图象变换的知识求得正确答案.【详解】，，所以的最小值为.故选：D8．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知，若对任意实数都有，其中，则的所有可能的取值有（

）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【答案】C【分析】利用正余弦的二倍角公式、两角和的正弦展开式化简得成立，所以，再分情况讨论的值可得答案．【详解】由已知得，∵对于任意实数都有成立，即对于任意实数都有成立，∴与的最值和最小正周期相同，∴，即．①当时，，又或；②当时，，又或；③当时，，