高中数学第二章概率二项分布北师大选修【完整版】PPT

高中数学第二章概率二项分布课件北师大选修学习目标1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1

知识点二项分布若把每一次投篮看成做了一次试验，则每次试验有几个可能的结果？答案在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用X表示3次投篮投中的次数.答案有2种结果：投中(成功)与未投中(失败).思考2

X＝2表示何意义？求P(X＝2).答案每种情况发生的可能性为0.82×0.2，二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有

的结果，可以分别称为“成功”和“失败”.(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为

.(3)各次试验是

的.用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝

.若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为

.梳理两个相互对立1－p相互独立X～B(n，p)题型探究例1在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率.假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投保人中：(1)全部活到70岁的概率；类型一利用二项分布求概率解答解设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～B(3,0.6)，故P(X＝k)＝0.6k·(1－0.6)3－k(k＝0，1,2,3).即全部活到70岁的概率为0.216.(2)有2个活到70岁的概率；解答(3)有1个活到70岁的概率.即有2个活到70岁的概率为0.432.即有1个活到70岁的概率为0.288.要判断n次独立重复试验中A发生的次数X是否服从二项分布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点为：(1)每次试验是在相同的条件下进行的.(2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相互独立的.(3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变.(4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生.反思与感悟跟踪训练1甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率；

(2)乙至少击中目标2次的概率；解答(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.解答解设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件.P(A)＝P(B1)＋P(B2)例2现有10道题，其中6道甲类题、4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；类型二求二项分布的分布列解答解设事件A：“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有：“张同学所取的3道题都是甲类题”.解答(2)已知所取的3道题中有2道甲类题、1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率是，答对每道乙类题的概率是，且各题答对与否相互独立，用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列.解X所有可能的取值为0,1,2,3.所以X的分布列为求二项分布的分布列的一般步骤(1)判断所述问题是否是相互独立试验.(2)建立二项分布模型.(3)求出相应概率.(4)写出分布列.反思与感悟跟踪训练2某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；解答解设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列.解答解由题意，ξ的可能取值为0,1,2,3.所以随机变量ξ的分布列为类型三二项分布的综合应用例3一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；解答故ξ的分布列为(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；解答故η的分布列为(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.解答解所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解.反思与感悟解答跟踪训练3一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，求p与n的值.又∵6p∈N，∴6p＝3，当堂训练234511.下列随机变量X不服从二项分布的是A.投掷一枚骰子5次，X表示点数为6出现的次数B.某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数D.某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n

次数据电脑被病毒感染的次数√答案解析23451解析选项A，试验出现的结果只有两种可能：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种可能，且每一次试验中各事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的胜率相等，进行5局比赛，相当于5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n,0.3).234512.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个反面”的概率是√答案解析23451答案√解析234514.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是A.[0.4,1] B.(0,0.4]C.(0,0.6] D.[0.6,1]解析解析由题意知p(1－p)3≤

p2(1－p)2，解得p≥0.4，又∵0≤p≤1，故选A.答案√5.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X的分布列.23451解答2345123451所以X的分布列为规律与方法1.各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件.本课结束高中数学第二章概率时离散型随机变量的方差课件北师大选修学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为思考1

试求EX，EY.答案思考2

能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？答案答案不能，因为EX＝EY.思考3

试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？答案方差.(1)离散型随机变量的方差的含义设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的

，E(X－EX)2是(X－EX)2的

，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为

.(2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系方差越

，随机变量的取值越分散；方差越

，随机变量的取值就越集中在其均值周围.(3)参数为n，p的二项分布的方差当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p).梳理平均偏离程度均值DX大小题型探究命题角度1已知分布列求方差类型一求离散型随机变量的方差例1已知X的分布列如下：(1)求X2的分布列；解答从而X2的分布列为(2)计算X的方差；解答(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.解答解因为Y＝4X＋3，所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11.方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.反思与感悟跟踪训练1已知η的分布列为(1)求方差；解答(2)设Y＝2η－Eη，求DY.解答解∵Y＝2η－Eη，∴DY＝D(2η－Eη)＝22Dη＝4×384＝1536.命题角度2未知分布列求方差例2某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地，每大块地分为n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差.解答解X可能的取值为0,1,2,3,4，即X的分布列为(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤①理解X的意义，写出X可能取的全部值.②求X取每个值的概率.③写X的分布列.④求EX，DX.(2)若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p).反思与感悟跟踪训练2在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差.解答解X的可能取值为1,2,3,4,5.∴X的分布列为由定义知，EX＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX＝0.2×(4＋1＋0＋1＋4)＝2.X12345P0.20.20.20.20.2例3某投资公司在2017年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为和.项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.类型二方差的实际应用解答解若按项目一投资，设获利X1万元，则X1的分布列为若按项目二投资，设获利X2万元，则X2的分布列为∴EX1＝EX2，DX1＜DX2，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能做出更准确的判断.反思与感悟跟踪训练3甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a，b的值；解答ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3解由离散型随机变量的分布列的性质，可知a＋0.1＋0.6＝1，所以a＝0.3.同理，0.3＋b＋0.3＝1，所以b＝0.4.(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况.解答解Eξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，Eη＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.Dξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，Dη＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于Eξ>Eη，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势.当堂训练A.0 B.1C.2 D.3234511.已知随机变量X的分布列为解析√答案2341523412.已知随机变量X