山东科技大学线代重修例题

《线性代数》复习摘要

【周一227+周三1-120】=

【周二124+周四228】第1-2章行列式与矩阵的运算第3章线性方程组求解第4章向量组的线性相关性第5章相似矩阵与二次型山东科技大学路荣武2016.10.101.n阶行列式的定义定义1：n!项n个元素的乘积之和称为n

阶行列式(n≥1)，记作其中，t为排列的逆序数例1：写出四阶行列式中含有因子的项。-+正负号的确定（2413,2431的逆序数的奇偶性？）

§1.4

行列式的性质例题1（利用性质计算行列式）：例题2：计算“行等和”行列式§1.5

行列式按行(列)展开引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．行列式计算过程中，利用该引理可简化计算和书写过程例（例7续）例设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求分析利用行列式展开定理及其推论及解练习（大量题目，考试题目举例）§2.2

矩阵及其运算简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.一、矩阵的加法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.二、数与矩阵相乘定义：数

l与矩阵

A

的乘积记作

lA

或

Al

，规定为知识点比较一、矩阵与矩阵相乘定义：设，，那么规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．四、矩阵的转置定义：把矩阵

A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT

.例五、方阵的行列式定义：由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.运算性质定义：行列式|A|的各个元素的代数余子式

Aij

所构成的如下矩阵称为矩阵

A的伴随矩阵.元素的代数余子式位于第j行第i列性质§2.3

逆矩阵定理：若，则方阵A可逆，而且推论：若，则.例：求3阶方阵的逆矩阵.解：|A|=1，繁琐，易错方阵A可逆此时，称矩阵A为非奇异矩阵推论：对于n阶方阵A、B，如果那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵.定理：方阵A可逆的充要条件是．推论：如果n阶方阵A、B可逆，那么、、与AB也可逆，且练习请大家及时进行

大量练习！！第三章线性方程组的解主要知识点：

初等变换；行最简形矩阵；矩阵的秩；最高阶非零子式；矩阵的秩的性质；线性方程组的解定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作；以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；某一行加上另一行的k倍，记作.其逆变换是：把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．初等变换初等行变换初等列变换有限次初等变换矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.行最简形矩阵：非零行的第一个非零元为1;这些非零元所在的列的其它元素都为零.标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.行阶梯形矩阵标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换四、初等变换的应用,,,,初等矩阵的乘积

解例１即初等行变换例２解构造增广矩阵（A,E）,(A,B)，再利用初等行变换求解逆矩阵和矩阵方程AX=B.解1：先转置，再利用初等行变换；解2：求出逆矩阵，再右乘到等式两端。（B,E）=§3.2矩阵的秩定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式

D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么

D称为矩阵A

的最高阶非零子式，数r

称为矩阵

A

的秩，记作R(A)．定理：若A~B，则R(A)=R(B)

．也就是说，矩阵经过有限次初等变换后，秩不变。例：求矩阵A的秩，并求A

的一个最高阶非零子式．对应有:行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．

R(A0)=3，（尝试）计算A0的前3行构成的子式:因此这就是A

的一个最高阶非零子式．矩阵的秩的性质若

A为m×n

矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．

R(AT)=R(A)．若A~B，则R(A)=R(B)

．若P、Q

可逆，则R(PAQ)=R(A)

．

max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)

． 特别地，当B=b

为非零列向量时，有

R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1

．

R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

R(AB)≤min{R(A),R(B)}．若Am×nBn×l

=O，则R(A)＋R(B)≤n．练习题因为R(A)=2，知A的代数余子式全部为0，故A*=O，R(A*)=0.§3.3线性方程组的解定理：n

元线性方程组Ax=b无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n．例：求解非齐次线性方程组解：R(A)=R(A,b)=3<4，故原线性方程组有无穷多解．解（续）：即得与原方程组同解的方程组令x3

做自由变量，则方程组的通解可表示为．例（重要）：设有线性方程组问l

取何值时，此方程组有(1)唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．增广矩阵附注：对含参数的矩阵作初等变换时，由于l+1，l+3等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换：否则，必须对l+1=0（或l+3=0）的情况另作讨论．于是当l≠0且l≠－3时，R(A)=R(B)=3，有唯一解．当l=0时，R(A)=1，R(B)=2，无解．当l=－3时，R(A)=R(B)=2，有无限多解．其中：唯一解的条件R(A)=R(B)=3，是最好处理的！！为什么？？？

当l=0时，R(A)=1，R(B)=2，方程组无解．当l=－3时，R(A)=R(B)=2，方程组有无限多个解，其通解为解法2：因为系数矩阵A

是方阵，所以方程组有唯一解的充分必要条件是|A|≠0．于是当l≠0且l≠－3时，方程组有唯一解．（其余步骤与解法1相同。）非齐次线性方程组无解否是无限多个解否是唯一解包含n-R(A)个自由变量的通解请大家及时进行

大量练习！！第四章

向量组的线性相关性§4.1

向量组及其线性组合知识点：向量组；线性组合；线性表示定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数

k1,k2,…,km

，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A

的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．定义：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组

A

的线性表示．定义：设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B

中的每个向量都能由向量组A

线性表示，则称向量组B

能由向量组A

线性表示．若向量组A

与向量组B

能互相线性表示，则称这两个向量组等价．向量组B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1,a2,…,am线性表示 存在矩阵K，使得AK=B

矩阵方程AX=B

有解

R(A)=R(A,B)（P.84定理2）

R(B)≤R(A)（P.85定理3）推论：向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)．证明：向量组A和B等价向量组B能由向量组A

线性表示向量组A能由向量组B

线性表示从而有R(A)=R(B)=R(A,B)．因为R(B)≤R(A,

B)R(A)=R(A,B)R(B)=R(A,B)例：设证明向量b能由向量组a1,a2,a3

线性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

线性表示，当且仅当R(A)=R(A,b)．因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

线性表示．行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．知识结构图n维向量向量组向量组与矩阵的对应向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的等价判定定理及必要条件判定定理§4.2

向量组的线性相关性知识点：线性相关，线性无关，判定条件向量组的线性相关性定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关 存在不全为零的实数k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齐次线性方程组

Ax=0有非零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m，即R(A)<m．（最常用！）

向量组A

中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．

m元齐次线性方程组

Ax=0只有零解． 矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m． 向量组A

中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线 性表示．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3

及向量组a1,a2

的线性相关性．解：R(a1,a2,a3

)=2，故向量组a1,a2,a3

线性相关；同时，R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关．例：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题．例：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法1：转化为齐次线性方程组的问题．已知，记作B=AK．设Bx=0，则(AK)x=A(Kx)=0．因为向量组a1,a2,a3

线性无关，所以Kx=0．又|K|=2≠0，那么Kx=0只有零解

x=0，从而向量组b1,b2,b3线性无关．例：已知向量组a1,a2,a3

线性无关，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法2：转化为矩阵的秩的问题．已知，记作B=AK．因为|K|=2

≠

0，所以K可逆，R(A)=R(B)，又向量组a1,a2,a3

线性无关，R(A)=3，从而R(B)=3，向量组b1,b2,b3线性无关．定理（5）

若向量组A：a1,a2,…,am线性相关，则向量组B：a1,a2,…,am,am+1

也线性相关． 其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关．m

个n

维向量组成的向量组，当维数n

小于向量个数m

时，一定线性相关． 特别地，n+1个n

维向量一定线性相关．设向量组A：a1,a2,…,am线性无关，而向量组B：a1,a2,…,am,b

线性相关，则向量b

必能由向量组A

线性表示，且表示式是唯一的．练习题§4.3

向量组的秩知识点：向量组的秩的定义；与矩阵的秩的关系；最大无关组的求法.向量组的秩的概念定义：设有向量组A

，如果在A

中能选出r个向量a1,a2,…,ar，满足：向量组A0：a1,a2,…,ar线性无关；向量组A

中任意r+1个向量（如果A

中有r+1个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0是向量组A

的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组．最大无关组所含向量个数

r

称为向量组A

的秩，记作RA．例：求矩阵A列向量组的秩，求其最大无关组，并将其余向量线性表示．选取行阶梯形矩阵中非零行的第一个非零元所在的列，对应选取矩阵A的第一、二、四列作为最大无关组．解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行最简形矩阵．行最简形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．

R(A0)=3，余下第三、五列可由最大无关组表示为：注意：由于行等价的矩阵对应的齐次方程组是同解，其列组的线性关系相同。所以，行最简形矩阵的列组之间线性表达式与原矩阵一致。

§4.4

线性方程组的解的结构齐次线性方程组的解的性质基础解系；解空间非齐次线性方程组的解的性质齐次线性方程组的解的性质性质1：若x=x1，

x=x2

是齐次线性方程组Ax=0

的解，则x=x1+x2

是Ax=0

的解．证明：A(x1+x2)=

Ax1+Ax2

=0+0=0．性质2：若x=x是齐次线性方程组Ax=0

的解，k为实数，则x=kx

是Ax=0.证明：

A(kx)=

k(Ax)

=k0=0．结论：若x=x1,

x=x2,...,,

x=xt

是齐次线性方程组Ax=0

的解，则x=k1x1+k2x2+…+ktxt

是Ax=0

的解.基础解系的概念定义：齐次线性方程组Ax=0的一组解向量：x1,x2,...,xr如果满足①

x1，x2，...，xr线性无关；②方程组中任意一个解都可以表示x1,x2,...,xr的线性组合，那么，称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．定理：设m×n

矩阵的秩R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩RS=n

−r．基础解系的求解例：求齐次线性方程组的基础解系．方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．即令x3=c1，x4=c2，得通解表达式因为方程组的任意一个解都可以表示为x1,x2

的线性组合．x1,x2的四个分量不成比例，所以x1,x2线性无关．所以x1,x2是原方程组的基础解系．方法2：先求出基础解系，再写出通解．即令合起来便得到基础解系，得还能找出其它基础解系吗？问题：是否可以把x1

选作自由变量？答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解．当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组同解．令x1=c1，x2=c2，得通解表达式即从而可得另一个基础解系：h1和h2．非齐次线性方程组的解的性质性质3：若

x=h1,

x=h2

是非齐次线性方程组A

x=b

的解，则

x=h1−h2

是对应的齐次线性方程组A

x=0

（导出组）的解．证明：A(h1−h2)=

Ah1−Ah2

=b

−b=0．性质4：若

x=h是非齐次线性方程组Ax=b

的解，

x=x是导出组A

x=0

的解，则

x=x+h

是Ax=b．证明：

A(x+h

)=

Ax+Ah

=0+b=b

．例：求线性方程组的通解．

1.已知矩阵，求其列向量组的一个最大无关组，并把余下的向量用最大无关组线性表示。

2.求矩阵列向量组的最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。

请大家及时进行

大量练习！！第五章

相似矩阵及二次型知识点：

向量的长度与正交性；

特征值与特征向量；

相似矩阵；对称矩阵的对角化；

二次型及其标准型§5.1

向量的内积、长度及正交性向量的内积定义：设有n维向量令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

，则称[x,y]为向量x

和y

的内积．说明：内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数．内积可用矩阵乘法表示：[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．向量的长度定义：令称||x||为n维向量x的长度（或范数）．当||x||=1时，称x为单位向量．向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，||x||=0；当x≠0（零向量）时，||x||>0．齐次性：||l

x||=|l|

·

||x||．向量的正交性定义：当x≠0且y≠0时，把称为n维向量x

和y

的夹角．当[x,y]=0，称向量x

和y

正交．结论：若x=0，则x

与任何向量都正交．定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．定理：若n维向量a1,a2,…,ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,…,ar线性无关．证明：设k1a1+k2a2+…+krar=

0（零向量），那么

0=

[a1,0]

=[a1,k1a1+k2a2+…+krar]=k1[a1,a1]+k2[a1,a2]+…+kr

[a1,ar]=k1[a1,a1]

+

0

+

…+0

=k1||a1||2从而k1

=

0．同理可证，k2=k3=…=kr=0．综上所述，a1,a2,…,ar线性无关．定义：n维向量e1,e2,…,er是向量空间中的向量，满足e1,e2,…,er是向量空间V

中的一个基（最大无关组）；e1,e2,…,er两两正交；e1,e2,…,er都是单位向量，则称e1,e2,…,er

是V

的一个规范正交基．例：是

R4的一个规范正交基．求规范正交基的方法第一步：正交化【施密特（Schimidt）正交化过程】设a1,a2,…,ar

是向量空间V

中的一个基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3第二步：单位化设b1,b2,…,br

是向量空间V

中的一个正交基，那么令从而e1,e2,…,er

是向量空间V

中的一个规范正交基．练习：设，试把这组向量规范正交化．答案：定义：如果

n阶矩阵A满足ATA=E，即A－1=AT，则称矩阵A

为正交矩阵，简称正交阵．方阵A

为正交阵的充分必要条件是A

的列向量都是单位向量，且两两正交．即

A

的列向量组构成Rn

的规范正交基．方阵A

为正交阵的充分必要条件是A

的行向量都是单位向量，且两两正交．正交矩阵具有下列性质：若A

是正交阵，则A−1

也是正交阵，且|A|=1或－1．若A

和B是正交阵，则

A

和B也是正交阵．定义：若P

是正交阵，则线性变换y=Px

称为正交变换．经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性．§5.2

方阵的特征值与特征向量一、基本概念定义：设A

是n阶矩阵，如果数l

和n维非零向量

x

满足Ax=l

x，那么这样的数l

称为矩阵A

的特征值，非零向量x

称为A

对应于特征值l

的特征向量．Ax=l

x=lE

x

非零向量x

满足(A−lE)

x=0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式|A−lE|=0特征方程: |A−lE|=0特征多项式:f(l)=|A−lE|例：求矩阵的特征值和特征向量．解：所以A

的特征值为l1=−1，l2=l3=2．例：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当l1=−1时，因为解方程组(A+E)

x=0．解得基础解系．k

p1（k

≠

0）就是对应的特征向量．例：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当l2=l3=2时，因为解方程组(A−2E)

x=0．解得基础解系．k2

p2+k3

p3（k2,k3

不同时为零）就是对应的特征向量．二、基本性质在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|若l是

A的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为l

的全体特征向量的最大无关组．例：设l是方阵A

的特征值，证明(1)l2

是A2

的特征值；(2)当A

可逆时，1/l

是A−1

的特征值．结论：若非零向量p

是A对应于特征值l

的特征向量，则l2

是A2

的特征值，对应的特征向量也是p

．lk

是Ak

的特征值，对应的特征向量也是p

．当A

可逆时，1/l

是A−1

的特征值，对应的特征向量仍然是p

．二、基本性质在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|若l是

A的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为l

的全体特征向量的最大无关组．若l是

A的一个特征值，则

j

(l)=a0+a1l+…+aml

m是矩阵多项式j

(A)=a0+a1A+…+amA

m

的特征值．

定理：设l1,l2,…,lm

是方阵A

的特征值，p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量，如果l1,l2,…,lm

各不相同，则p1,p2,…,pm

线性无关．§5.3

相似矩阵定义：设A,B

都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P

满足P

−1AP=B，则称B为矩阵A

的相似矩阵，或称矩阵A

和B相似．对A

进行运算P

−1AP称为对A

进行相似变换．称可逆矩阵P

为把A

变成B的相似变换矩阵．定理：若n阶矩阵A

和B相似，则A

和B的特征多项式相同,从而A

和B的特征值也相同．证明：根据题意，存在可逆矩阵P

，使得

P

−1AP=B．于是

|B−lE|=|P

−1AP−P

−1(lE)P|=|P

−1(A−lE)P|=|P

−1||A−lE||P|=|A−